第二十二章 二次函数 单元复习题 （含解析）人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 单元复习题
一、选择题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象开口（　　）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
3．抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为(　　)
A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=2 D．直线x=7
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．已知函数是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．任意实数
7．下列对于二次函数图象描述中，正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
8．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(　　)
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5
10．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
二、填空题
11．若是关于x的二次函数，则m的值是　 　．
12．已知抛物线的顶点在y轴上，则k的值是　 　.
13．如图，二次函数的图象过点且对称轴为直线，则关于的一元二次方程的解为　 　．
14．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的成绩是 　 　m．
三、解答题
15．已知y=(m-2) +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线的开口方向，写出对称轴及顶点坐标.
16．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
17．已知二次函数．若函数图象经过点（1，-4），（-1，0），求，的值．
18．已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
四、综合题
19．已知直线与轴交于点，与轴交于点第一象限的点在直线上，过点作轴于点，过点作轴于点，设长方形的面积为．
（1）　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）求关于的函数解析式，写出的取值范围；
（3）当时，求点的坐标．
20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若．求m的值；
（4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
21．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
22．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是　 　．
23．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）设每千克涨价为元，每天的总盈利为元.若涨价为整数，则总盈利最大值为多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向下
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2中，当a<0时，图象开口向下；当a>0时，图象开口向上.
3．【答案】A
【解析】【解答】解： 抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为直线x=3.
故答案为：A.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k中其对称轴直线是x=h可直接得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：D．
【分析】将解析式化为顶点式，即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵当x=3.24时，y=-0.02，当x=3.25时，y=0.03，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间，
∴x的范围是3.24＜x＜3.25.
故答案为：C.
【分析】 根据由图象法求一元二次方程的根的方法可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围应在ax2+bx+c的值由负变正时所对应的x的两个值之间，即可得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知，，解得：；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A.∵，
∴抛物线开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，
∴当时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得a=-1<0，图象开口向下，有最大值，据此判断A、C；根据顶点式可得对称轴，据此判断B；根据开口方向以及对称轴可得增减性，据此判断D.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，但一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，且一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】y=ax2+bx，当a>0、b>0时，图象开口向上，对称轴在y轴左侧；当a>0、b<0时，图象开口向上，对称轴在y轴右侧；当a<0、b>0时，图象开口向下，对称轴在y轴右侧；当a<0、b<0时，图象开口向下，对称轴在y轴左侧；
y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
9．【答案】D
【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5
故答案为：D
【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是x＝＝12，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故答案为：C．
【分析】由此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，可求出抛物线的对称轴，从而求出顶点的横坐标，进而得出炮弹所在高度最高时x的值．
11．【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【分析】根据二次函数的定义可得且，据此解答即可.
12．【答案】-1
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据顶点在y轴上可得x==0，代入求解可得k的值.
13．【答案】，
【解析】【解答】解：由图像可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为：，
∴的解为，，
故答案为：，．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出方程的解即可。
14．【答案】10
【解析】【解答】当时，则
，
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：10
【分析】当y=0时，由题意得出关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可。
15．【答案】解：∵y=(m-2) +3x+6是二次函数，
∴m-2≠0且m2-m=2，解得m=-1.
将m=-1代入，得y=-3x2+3x+6.
抛物线开口向下，对称轴为x=- ，将x= 代入得y= ，
∴抛物线的顶点坐标为 .
【解析】【分析】根据二次函数的定义，自变量的最大指数是2，二次项的系数不能为0，列出混合组，求解得出m的值，从而得出睾的解析式，根据抛物线的顶点坐标公式即可求出其顶点坐标，对称轴直线，根据二次项的系数判断出开口方向。
16．【答案】解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
【解析】【分析】可根据公式y=配方；由a=-2可知，抛物线开口向下；对称轴为x=；顶点坐标为（，）.
17．【答案】解：∵二次函数的图象经过点，
∴代入得
∴解得．
【解析】【分析】将（1，-4）、（-1，0）代入y=ax2+bx-3中进行计算可得a、b的值.
18．【答案】解：二次函数
∵ ， ， ，
∴
，
而 ，
∴ ，即m为任何实数时， 方程 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
【解析】【分析】计算判别式，并且配方得到△= ，然后根据判别式的意义得到结论．
19．【答案】（1）4；0；0；4
（2）解：轴，轴，点的坐标为，
，，
点在直线上，
，
；
（3）解：，
，
解得或，
点的坐标为或
【解析】【解答】解：（1）令，则，令，则，解得，
点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
故答案为：4，0；0，4；
【分析】（1）由y=-x+4求出x=0时y值，y=0时x值， 即得A、B的坐标；
（2）由P（m，n）可得PC=n，PD=m，将P（m，n）代入y=-x+4中，可得n=-m+4，根据 S=PD×PC即可求解；
（3）将S =2代入（2）所求的函数解析式求出m值即可.
20．【答案】（1）m2
（2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2．
解得m1=-3，m2=1；
（3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2．
①-2m+3-m2=2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）-3＜m≤-1或m＞1
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x=m代入y=x2，得y=m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案为：m2；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。
21．【答案】（1）解：当时，
，
，
（2）解：，
又，
，
；
（3）证明：二次函数的对称轴为直线，
二次函数经过两点，
，即，
，
【解析】【分析】（1）当b=1时，y1=6+c，y2=c，据此进行比较；
（2）分别将x=-2、x=1代入可得y1=4+2b+c，y2=1-b+c，根据y1（3）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，由图象过（-2，y1）、（m，y1）两点可得|2|+=m-，则m=2+b，结合b的范围可得m的范围.
22．【答案】（1）解：根据题意得，
， ，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）解：y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x＝2，
∴点B的坐标是B（5，0）；
（3）﹣9≤t＜0
【解析】【解答】解：（3）y＝x2 4x 5＝（x 2）2 9，
x＝ 1时，y＝9 9＝0，
x＝3时，y＝1 9＝ 8，
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c t＝0（t为实数）在 1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2＋bx＋c与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当 9≤t＜0时，在 1＜x＜3的范围内有解．
故答案为： 9≤t＜0.
【分析】（1）分别将点A，C，D的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，对称轴，利用对称性可求出点B的坐标.
（3）将函数解析式转化为顶点式，分别将x=-1和x=3代入函数解析式，可求出对应的y的值，利用二次函数与一元二次方程根的关系，可得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c t＝0（t为实数）在 1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2＋bx＋c与直线y＝t的交点的横坐标，即可求出t的取值范围.
23．【答案】（1）解：
∵a=-20，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=7或8时，y的最大值为6120.
答：总盈利y的最大值为6120元
（2）解：设每千克应涨价x元，根据题意得
（10+x）（500-20x）=6000
解之：x1=5，x2=10
答：若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价5元或10元
【解析】【分析】（1）利用总盈利y=每一千克的利润×销售量，可得到y与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
（2）利用每一千克的利润×销售量=6000，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.