专项4 探究题（广州中考真题+中考模拟）（含答案） —2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(广州专用)

2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(广州专用)
专项4 探究题（广州中考真题+中考模拟）
一、实践探究题
1．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
2．（2024·深圳）为了测量抛物线的开口大小， 某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置， 并分别以水平放置的直尺和坚直放置的直尺为 轴建立如图所示平面直角坐标系， 该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示， 设 的读数为 读数为 抛物线的顶点为 .
（1）①列表：
　 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
②描点： 请将表格中的 描在图 2 中；
③连线： 请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接， 并求出 与 的关系式；
（2） 如图 3 所示， 在平面直角坐标系中， 抛物线 的顶点为 ， 该数学兴趣小组用水平和坚直直尺测量其水平跨度为 ， 坚直跨度为 ， 且 ， 为了求出该抛物线的开口大小， 该数学兴趣小组有如下两种方案， 请选择其中一种方案， 并完善过程：
方案一： 将二次函数 平移， 使得顶点 与原点 重合， 此时抛物线解析式为 .
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； （用含 的式子表示)
方案二： 设 点坐标为
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； (用含 的式子表示)
（3）【应用】如图 4， 已知平面直角坐标系 中有 两点， ， 且 轴，二次函数 和 都经过 两点， 且 和 的顶点 距线段 的距离之和为 10 ， 若 轴且 ， 求 的值.
3．（2024·广东）【问题背景】
如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点.
（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.
（3）【深入探究】
如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.
4．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在中，是BC边上一点，连接AD，若，则称点是中BC边上的“亮点”．
（1）【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中，分别是的高线，角平分线，中线．请判断三点中哪些是中BC边上的“亮点”，并说明理由．
（2）【性质应用】
如图（c），在中，．若是BC边上的“亮点”，求BD的长．
（3）【拓展提升】
如图（d），内接于是中BC边上的“亮点”且．若，求的值．
5．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为 ▲ ；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
6．（2025九下·深圳模拟）综合与实践
背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其它费用）
7．（2025·茂南模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
8．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C　 　（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为　 　；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
9．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
10．（2025·潮阳模拟）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；
（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长．
11．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，）
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速
问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
12．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
13．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
14．（2025·白云模拟）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
15．（2025九下·佛山模拟）综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点为顶点：线段（实际生产时取）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）
答案解析部分
1．（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
2．（1）解：②如图所示：
③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0，0)，对称轴为y轴设抛物线的解析式为y=ax2，
将点(2，1)代入得1=4a，得a=，故抛物线的解析式为y=x2；
（2）；；；
（3）解：由题知 的对称轴为 ，
令x=-h-2，则.
∴ 顶点坐标为 ，
所以 顶点距 的距离为 ，
所以 顶点距 的距离为 .
故 的顶点坐标为 或
①若 顶点坐标为 ， 则
把 代入得： ， 解得
②若 顶点坐标为 ， 则 ，
把 代入得： ， 解得 .
综上所述， 的值为 或
解：（2）
方案一：①题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为； 故第一空：.
②将顶点坐标代入.得n=a，得a=，故第二空：.
方案二：
①可视作函数平移得到，故顶点平移至.
②将坐标代入得a=的值；第4空： .
(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；
(2)方案一：①由题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为；
②将坐标代入 . 即可得a的表达式；
②方案二：①可视作函数平移得到，故顶点平移至，②将坐标代入得a的值；
(3)先求出曲线C1和C2的顶点坐标，由C1顶点到AB的距离为8，得C2顶点到AB的距离为2，可得C2的顶点坐标有两个分别是 或 ，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即可求出a的值.
3．（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，
∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，
∴点A(t，as)，C(s，at)，
∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，
∴，
此时，若x=s，则y=，
故反比例函数经过点C. C
（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，
∵B(1，2)，代入直线，
∴2=a，即直线，
设点D(2m，4m)，
此时点C(2m，2)，A(1，4m)，
即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，
∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠CDB=∠FCE，
在Rt△CFE和Rt△DCB中，
tan∠BDC=tan∠ECF，
∴，即，
∴EF=m，
同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，
在Rt△BFE和Rt△DGE中，
tan∠BEF=tan∠EDG，
∴，即，
∴GE=2，
∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，
解得m=，
∴2m=，即点C(，2)，代入 反比例函数 ，
∴k=.
（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，
∵ 矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，
此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，
∴OM=PM，
在等腰Rt△OMP中，
∵，
∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)
设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，
易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，
∴当03时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大，
即当BD越短或AC越短时，k越大.
①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
又∵BD=2BP，
∴OB=2BP，即OB=，
由勾股定理得，解得a=4，
∴k=a(-a+6)=4×2=8；
②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
同理，OA=AC=2AP，
∵∠APB=90°，
∴∠AOP=30°，OP=，
∴OB=，
由勾股定理，解得a=，
此时k=a(-a+6)==6；
综上所述，6≤k≤8.
（1）利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD，设点代入A表示k，检验C是否在满足该关系式即可；
（2）同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折的勾股或相似得出第一条等量关系，即，进而利用矩形性质利用一线三垂直相似得到第二条关系式，即，建立等量关系后解之即可；
（3）结合对称性翻折分析可知此时矩形ABCD为正方形，进而利用正方形和反比例函数的对称性分析表示点坐标，其中，k的动态变化可通过二次函数分析，最后利用临界交点结合正方形性质及特殊角的比例关系分析找出等量关系解之即可得出k值.
4．（1）.
理由：是的高线，
，
又
点是中BC边上的亮点
在Rt中，AF是的中线，
点是中BC边上的亮点.
（2）解：①当时，
如图，作于点，
，
，
设，
则有，
解得（舍）
即.
②当时，由①可知，设，则有，
解得（舍）
即.
综上所述，或9.
（3）解：延长AD交于点，连接，
，
．
点是中BC边上的亮点，
，
．
由可知CE是直径.
设，则．
．
在Rt中，．
又，
．解得．
．
（1）根据三角形高的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即点是中BC边上的高点，再根据三角形中线性质可得，即，再根据亮点定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，作于点，根据正弦定义可得AE，再根据勾股定理可得CE，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2，再根据边之间的关系即可求出答案；②当时，由①可知，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得a=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长AD交于点，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据亮点定义可得，则，再根据正弦定义可得，设，则，根据勾股定理可得AE，CD，再代入等式，解方程即可求出答案.
5．（1）4
（2）解：①将代入函数表达式得：，则，
故函数的表达式为；
②如图所示
③根据函数的性质，
当时，取得最大值12，
由可知当时，取得最小值-4，
．
（3）解：
随增大而增大，
当时，，当时，.
的图象经过点，
，即，
两个函数的相等，
当，则随增大而减小，
当时，，解得.
当，则，
由图象可知，
当时，解得（舍），
，即.
综上所述，或3.
解：（1）∵k=6>0
∴反比例函数的图象，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y的最大值为6
当x=3时，y的最小值为2
∴R[1，3]的值为：6-2=4
故答案为：4
（1）根据新定义及反比例函数的性质即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将点(2，-3)代入二次函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出图象即可求出答案.
②根据二次函数的性质结合新定义即可求出答案.
（3）根据新定义及正比例函数的性质可得a的值，再分类讨论即可求出答案.
6．任务1：
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得，
解得．
答：当每年行驶里程大于4500km时，买新能源车的年费用更低．
7．【尝试】 ：（1）（，-）．
（2）∵将x＝1代入y=2x2 7x+5，得 y＝0，
∴点A（1，0）在抛物线l上．
（3）将x＝2代入抛物线 y=2x2 7x+5的解析式中，得：
n＝-1．
【发现】 ：（1，0）、（2，-1）．
【应用】 ：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝2代入，计算得：y＝ 6≠-1，
即可得抛物线不经过点B，
二次函数不是二次函数和一次函数y＝ x＋1的一个“再生二次函数”．
解：【尝试】（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x2 7x+5＝2（x ）2 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．
【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：
＝t（x 1）（x-3） （x-1）+t(x-1)= t（x 1）（x-2） （x-1）
∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．
【尝试】：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用】：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．
8．（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
9．解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
10．（1）；
（2）解：．
理由：如图，
过点作于点，
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
．
．
是以为底边的等腰三角形，，
，．
．
．
．
，
．
设，则，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：（1）当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（1）根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质可得，，再根据余弦定义可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）过点作于点，过点作，交延长线于点，根据直线平行判定定理可得，再根据旋转性质可得，则，再根据等腰三角形性质可得，，再根据三角形外角性质可得，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，设，则，根据平行线分线段成比例定理可得，则．根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，代值可得BE=6，建立方程，解方程即可求出答案.
11．解：任务一：，，长，
，
的值为：；
任务二：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
任务一：利用勾股定理求出，即可求出答案.
任务二：过点作于，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得BE，求出时间，再比较大小即可求出答案.
12．（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
13．（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
14．（1）①1；②；③1
（2）或．
15．（实践操作）解：如图所示，即为所求．
（1）解：∵点为顶点，
∴可设二次函数的表达式为，
把代入表达式，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：根据题意可得，当座椅位于图3位置时，体积最小，此时，所需的长方体的长宽高分别是，
设计图如图所示．
（实践操作）根据尺规作平行线的方法作图即可求出答案.
（1）设二次函数的表达式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意得出当座椅位于图3位置时，体积最小，画图即可．