第二章 一元二次方程 培优提高训练（含详解） 北师大版九年级数学上册

一元二次方程培优提高训练
1、已知实数x满足(x2﹣2x+1)2+2(x2﹣2x+1)﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为(　　)
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
2、已知实数x满足(x2﹣x)2﹣2(x2﹣x)﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
3、已知x为实数,且满足,则的值为___________.
4、已知(x＋y－3)(x＋y＋4)＝－10，求x＋y的值．
5、已知(x2＋y2－4)(x2＋y2＋2)＝7，求x2＋y2的值．
6、先阅读材料，然后按照要求答题阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为 ①解得。
当时，，当
∴原方程的解为：
仿造上题解方程：，
7、基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为(x﹣3)(x+2)＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．(1)试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
(2)若实数m、n满足(m2+n2)(m2+n2﹣1)﹣6＝0，求m2+n2的值．
8、阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
用换元法分解因式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+2)﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝(y+1)(y+2)﹣12＝y2+3y﹣10＝(y+5)(y﹣2)＝(x2﹣4x+5)(x2﹣4x﹣2)
(1)请你用换元法对多项式(x2﹣3x+2)(x2﹣3x﹣5)﹣8进行因式分解；
(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：(x2﹣2x+1)(x2﹣2x﹣3)＝0．
9、阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为 ①，解得，．
当时，，∴；当时，，∴；原方程有四个根：，，，．
在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
解方程．
10、阅读例题，解答问题：
例：解方程x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0.
解得y1＝2，y2＝－1(不合题意，舍去)．∴|x|＝2.∴x＝±2.∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
11：解方程：x2＋－1＝0.
解：(1)当x＋1≥0，即x≥－1时，原方程化为x2＋x＋1－1＝0，即x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
(2)当x＋1＜0，即x＜－1时，
原方程化为x2－(x＋1)－1＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵x＜－1，∴x1＝－1，x2＝2都舍去．综上所述，原方程的解是x1＝0，x2＝－1.
依照上述解法，解方程：x2－2－4＝0.
12、阅读下列内容，并解题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n(n－3)．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n(n－3)＝20.整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8或n＝－5.∵n为大于或等于3的整数，∴n＝－5不合题意，舍去，∴n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，解答下列问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学的说法正确吗？为什么？
13、设x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，求x13＋2018x2－2017的值．
解：∵x2－x－2017＝0，∴x2＝x＋2017，x＝x2－2017.又∵x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝
14、已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．
解析与答案
1、已知实数x满足(x2﹣2x+1)2+2(x2﹣2x+1)﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为(　　)
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
解：设x2﹣2x+1＝a，∵(x2﹣2x+1)2+2(x2﹣2x+1)﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即(x﹣1)2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．
2、已知实数x满足(x2﹣x)2﹣2(x2﹣x)﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
解：令x2﹣x＝t，∴t＝x2﹣x＝(x)2，∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1(舍去)，∴t＝3，
即x2﹣x＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．
3、已知x为实数,且满足,则的值为___________.
解：
没有实数根.
4、已知(x＋y－3)(x＋y＋4)＝－10，求x＋y的值．
解：设t＝x＋y，则原方程变形为(t－3)(t＋4)＝－10，即t2＋t－2＝0，∴(t＋2)(t－1)＝0，∴t1＝－2，t2＝1，∴x＋y＝－2或x＋y＝1.
5、已知(x2＋y2－4)(x2＋y2＋2)＝7，求x2＋y2的值．
解：设t＝x2＋y2，则原方程变形为(t－4)(t＋2)＝7，即t2－2t－15＝0，解得t1＝5，t2＝－3(不合题意，舍去)，∴x2＋y2＝5.
6、先阅读材料，然后按照要求答题阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为 ①解得。
当时，，当
∴原方程的解为：
仿造上题解方程：，
7、基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为(x﹣3)(x+2)＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．(1)试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
(2)若实数m、n满足(m2+n2)(m2+n2﹣1)﹣6＝0，求m2+n2的值．
解：(1)由原方程，得x(3x﹣1)＝0∴x＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝0，x2； (2)t＝m2+n2(t≥0)，则由原方程，得t(t﹣1)﹣6＝0．整理，得(t﹣3)(t+2)＝0．所以t＝3或t＝﹣2(舍去)．即m2+n2的值是3．
8、阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
用换元法分解因式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+2)﹣12．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝(y+1)(y+2)﹣12＝y2+3y﹣10＝(y+5)(y﹣2)＝(x2﹣4x+5)(x2﹣4x﹣2)
(1)请你用换元法对多项式(x2﹣3x+2)(x2﹣3x﹣5)﹣8进行因式分解；
(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：(x2﹣2x+1)(x2﹣2x﹣3)＝0．
解：(1)设x2﹣3x＝y，原式＝(y+2)(y﹣5)﹣8＝y2﹣3y﹣18＝(y﹣6)(y+3)＝(x2﹣3x﹣6)(x2﹣3x+3)；
(2)设t＝x2﹣2x．则(t+1)(t﹣3)＝0．解得t＝﹣1或t＝3．当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即(x﹣1)2＝0．解得x1＝x2＝1．当t＝3时，x2﹣2x＝3，即(x﹣3)(x+1)＝0．解得x3＝3，x4＝﹣1．综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
9、阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为 ①，解得，．
当时，，∴；当时，，∴；原方程有四个根：，，，．
在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
解方程．
解换元，降次;
设，原方程可化，解得，．
由，得，．由，得方程，
，此时方程无实根．
所以原方程的解为，．
10、阅读例题，解答问题：
例：解方程x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0.
解得y1＝2，y2＝－1(不合题意，舍去)．∴|x|＝2.∴x＝±2.∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0.令y＝|x－1|，原方程化成y2－5y－6＝0.
解得y1＝6，y2＝－1(不合题意，舍去)．
∴|x－1|＝6.∴x－1＝±6.解得x1＝7，x2＝－5.∴原方程的解是x1＝7，x2＝－5.
11、解方程：x2＋－1＝0.
解：(1)当x＋1≥0，即x≥－1时，原方程化为x2＋x＋1－1＝0，即x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
(2)当x＋1＜0，即x＜－1时，
原方程化为x2－(x＋1)－1＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵x＜－1，∴x1＝－1，x2＝2都舍去．综上所述，原方程的解是x1＝0，x2＝－1.
依照上述解法，解方程：x2－2－4＝0.
解：x2－2|x－2|－4＝0.(1)当x－2≥0，即x≥2时，原方程化为x2－2(x－2)－4＝0，即x2－2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.∵x≥2，∴x＝0舍去．
(2)当x－2＜0，即x＜2时，原方程化为x2＋2(x－2)－4＝0，即x2＋2x－8＝0，
解得x1＝－4，x2＝2.∵x＜2，∴x＝2舍去．综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－4.
12、阅读下列内容，并解题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n(n－3)．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n(n－3)＝20.整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8或n＝－5.∵n为大于或等于3的整数，∴n＝－5不合题意，舍去，∴n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，解答下列问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学的说法正确吗？为什么？
解：(1)设多边形的边数为n，根据题意得n(n－3)＝14，整理得n2－3n－28＝0，解得n＝7或n＝－4.
∵n为大于或等于3的整数，∴n＝－4不合题意，舍去，∴n＝7，即多边形的边数是7.
(2)A同学的说法不正确．理由如下：当n(n－3)＝10时，整理得n2－3n－20＝0，
解得n＝，∴符合方程n2－3n－20＝0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有10条．
13、设x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，求x13＋2018x2－2017的值．
解：∵x2－x－2017＝0，∴x2＝x＋2017，x＝x2－2017.又∵x1，x2是方程x2－x－2017＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2018x2－2017＝x1·x12＋2017x2＋x2－2017
＝x1·(x1＋2017)＋2017x2＋x2－2017＝x12＋2017x1＋2017x2＋x2－2017
＝(x1＋2017)＋2017x1＋2017x2＋x2－2017＝x1＋x2＋2017(x1＋x2)＋2017－2017＝1＋2017＝2018.
14、已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．
解：(1)∵方程有实数根，∴b2－4ac＝(－4)2－4m＝16－4m≥0，∴m≤4.
(2)∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2，∴x1＝－2.把x1＝－2代入x2－4x＋m＝0，得
(－2)2－4×(－2)＋m＝0，解得m＝－12.