1.2.2 完全平方公式　教学设计　初中数学湘教版（2024）七年级下册同步授课教案

平方差公式
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识以及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了知识技能基础.
学生活动经验基础：学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定自主探究意识以及与同伴合作交流的能力.前期数形结合思想的渗透，为本节课的探究活动做好了知识、经验准备.
教学任务分析
学生在上节课经历了平方差公式的探索和推导过程，并能够运用平方差公式进行简单计算.在此基础上，教材提出本节课的学习任务，是对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.本节课又通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释，目的是使学生对平方差公式有一个直观的认识，进一步体会数形结合的数学思想.本节课的教学目标是：
1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.
2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.
3.情感与态度： 了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
三、教学过程设计
基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：口算速算、引入新课；活动探究、寻找依据；拼图游戏、验证公式；典例分析、巩固提高；挑战自我、能力提升；课堂小结、布置作业.
第一环节 口算速算、引入新课
活动内容：要求快而且准确计算（1）103×97 （2）118×122 等待有1-2名同学举手即可提问：答案是多少？如何算？若有同学把这两个算式转化为平方差公式即可顺藤摸瓜引入课题；若同学是借助草稿纸通过演算得出答案，那就郑重设计意图，此时，教师接过问题，快速说出答案，并问学生：想知道老师是如何快速算出来的吗？学生肯定说：想!接着教师引导学生观察这两个因数，发现它们都比较接近某个整数，于是把它们转化为两数和与这两个数的积，接着问：这两个算式长得非常像我们刚学过的什么公式？学生肯定回答：平方差公式。教师紧接着说：这就是我们今天还要继续学习的“平方差公式”，并板书课题：1.5 平方差公式，同时写出平方差公式的字母表达式。完毕，和学生一起用平方差公式板书完成这两个题。并告知学生这就是老师快而准得出结果的计算办法。此时学生肯定会深深叹上一口气：太好了！稍停片刻后教师总结：平方差公式可以用来简化一些具有一定规律的两个数的乘积运算。
活动目的：运用平方差公式进行速算，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，让学生体会到，利用公式可以进行一些有关于数的简便运算，激发学生的学习热情和学习欲望．
实际教学效果：学生在已有的知识的基础上，灵活运用平方差公式，解决生活中常见的数的计算类问题，体会数学的现实意义，并在运用平方差公式过程中，进一步体会平方差公式在简化数的计算过程中的价值.
第二环节 活动探究、寻找依据
活动内容：
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点
3×5= 4×6= 11×13=
4×4= 5×5= 12×12=
从以上过程中，你发现了什么规律？
请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
活动目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这个过程包括了符号表示和符号运算，学生通过（1）中各组算式的特点，提出猜想，并且可以利用字母表示出这一猜想（a-1）（a+1）=a2-1，然后利用平方差公式计算得到（a-1）（a+1）=a2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用。
实际教学效果：学生能够利用小学时已有的数的计算经验，得到两个算式值差1的规律，并利用字母表示数的知识，将这一发现进行符号表示，进而再利用上节课平方差公式的知识，对猜想进行证明，从而体会到平方差公式在数的计算中的简便性，从理论上证实了两数的计算可用平方差公式来进行的理论依据。
第三环节 剪拼图形、验证公式
活动内容：
(
a
b
)
如图：（1）在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，所得六边形的面积是 。
（2） 现将它剪切一刀，再把所得图形拼接成一个特殊四边形，请问你是如何剪又是如何拼的？所拼图形的面积是 ，比较（1）（2）的结果，验证了哪个公式？
活动目的：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识,避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病. 通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想。
实际教学效果：为了引领学生思路，本活动采取全开放的个人先思考动手→小组合作探究→成果展示→师生共同评价的方式进行。问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法，根据图形的拼接原理，利用阴影部分面积相等的思想，得到等量关系，进而化简得到平方差公式，活动的设计，为平方差公式赋予几何背景，渗透数形结合的思想，进一步验证平方差公式存在的合理性.
第四环节 典例分析、巩固提高
活动内容：
例 计算：
a2（a+b）（a-b）+a2b2 ； （2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）
巩固练习：
计算：
（1）9.9 ×10.1
（2）x（x－1）－
活动目的：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.
实际教学效果：学生能根据平方差公式的形式，在混合运算中，灵活运用公式简化运算，但部分学生出现知识混淆，还有个别学生出现符号错等问题，教师在引领计算过程中，应该抓好落实，力求让所有学生明白每一步的算理，做到步步有据，尽可能避开粗心错.
第五环节 挑战自我、能力提升
活动内容：1. 计算：
2001×1999 －20002
（2）先化简，再求值：(b-a)(a+b)-b(b-1)，其中a=-1,b=1.
2.如图，在边长为a的大正方形中央剪去一边长为b的小正方形后，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，那么通过计算两个图形的面积，可以验证的公式为（ ）
A a2 -b2 =(a+b)(a－b) B (a+b)2=a2 +2ab +b2
C (a-b)2=a2 -2ab +b2 D a2 -b2 =(a－b)2
3. 观察下列各式：
1×3=22 -1，
2×4=32 -1
3×5=42 -1
4×6=52 -1
(1)将你猜想到的规律用含 n 的式子表示出来＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(2)请运用所学知识证明这个规律的正确性。
4.计算：(21+1)( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
活动目的：为学生提供自我检测和自我提升的机会，及时反馈，查漏补缺.
第六环节 课堂小结、布置作业
活动内容：
1.平方差公式：
1）公示的符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;
2）公式的应有：简化计算.
(
a
b
a
b
图
1-4
)3）公式的几何解释：
[]
应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的.
布置作业
1. 必做题：教材习题1.10
教学设计反思
1、本节课虽然算不上课本中的难点，但却是整式一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式的适用范围和使用方法，以提高运算速度.授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节，然后再通过逐层深入的练习，巩固平方差公式的应用.
2、教学中，教师应该有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测，然后利用符号间的运算验证猜测或解决问题，同时鼓励学生有条理的表达自己的思考过程.
3、符号运算对于数学而言必不可少，培养学生的基本运算技能，是本节课一个重要的目标，因此本设计中适当、分层的提供一些必要的训练，使学生能够准确地进行基本的符号运算，并能说明每一步的算理，培养学生的基本运算能力和条理的表达能力.
4、关注学生从具体问题情境中抽象出数量关系，以及借助情境进行公式推导的过程，关注学生的参与度，及时评价，同时注意评价方式多元化，使每个学生都能在数学学习中，收获成功体验，从而培养学习数学的兴趣和信心.