物理
第讲 曲线运动 运动的合成与分解
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第五章第1节阅读“曲线运动的速度方向”这一部分内容，思考：为什么说曲线运动是变速运动？
提示：速度是个矢量，方向改变，速度就改变了。
第五章第1节阅读“物体做曲线运动的条件”这一部分内容，总结物体做直线运动的条件是什么？物体做曲线运动的条件是什么？
提示：当物体所受合力的方向与它的速度方向在同一直线上时，物体做直线运动；当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
第五章第1节[练习与应用]T5，大致画出物体由A至D的运动轨迹。
提示：如图所示。
第五章第2节[思考与讨论]，合运动的轨迹是直线还是曲线是由什么决定的？
提示：是由合速度的方向与质点所受合力的方向决定的，若合力(或合加速度)的方向与合速度的方向在同一直线上，则轨迹为直线，否则为曲线。
第五章第2节[练习与应用]T5。
提示：无论河水是否流动，汽艇驶到对岸的时间都是t＝＝100 s，由于河水流动，汽艇沿河水流动方向的位移l＝v2t＝×100 m＝100 m，即汽艇在对岸下游100 m处靠岸。
第五章[复习与提高]B组T6。
提示：(1)由vx t图像可知，质点在x方向做初速度为v0x＝4 m/s的匀加速直线运动，加速度为ax＝＝2 m/s2，t＝0．5 s时vx＝v0x＋axt＝5 m/s，方向沿x轴正方向。
由y t图像可知，质点沿y方向做匀速直线运动，沿y方向的分速度为vy＝＝－5 m/s，即方向沿y轴负方向。
故当t＝0．5 s时，v＝＝5 m/s，tanθ＝＝1，即质点速度方向与x轴正方向的夹角为45°斜向第四象限。
(2)质点在x方向的位移x＝v0xt＋axt2，在y方向的位移y＝y0＋vyt。t＝0．5 s时，将t＝0．5 s、v0x＝4 m/s、ax＝2 m/s2、y0＝10 m、vy＝－5 m/s代入，解得x＝2．25 m，y＝7．5 m。故当t＝0．5 s时，质点的位置坐标为(2．25 m，7．5 m)。
(3)t＝0时，质点位于y轴上，x＝0，y＝10 m；t＝2 s时，y＝0，
由x＝v0xt＋axt2知，x＝12 m。又质点的合加速度沿x轴正方向，则轨迹向右弯曲，画出质点在2 s内的运动轨迹如图所示。
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的方向时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( ) 2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( ) 3．做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向曲线的凹侧。( ) 4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。( ) 答案：1．× 2．× 3．√ 4．√
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3．合力与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
[答案] D
[解析] 由图可知，小车做曲线运动，则其所受合力应指向运动轨迹即轨道的凹侧，故A、B错误；由题意可知，小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，则合力对小车一直做正功，故合力方向与小车运动方向(沿轨道切线向右)的夹角一直为锐角，故C错误，D可能正确。
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作分运动，物体的实际运动叫作合运动。
(2)运动的合成：由分运动求合运动的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由合运动求分运动的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
1．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( ) 2．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( ) 答案：1．× 2．√
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．合运动性质的判断
(1)合加速度(或合力)
(2)
例2 (2022·辽宁高考)如图所示，桥式起重机主要由可移动“桥架”“小车”和固定“轨道”三部分组成。在某次作业中桥架沿轨道单向移动了8 m，小车在桥架上单向移动了6 m。该次作业中小车相对地面的位移大小为( )
A．6 m B．8 m
C．10 m D．14 m
[答案] C
[解析] 由题意可知小车沿轨道方向的位移与沿桥架方向的位移相互垂直，根据矢量的合成与分解可知，该次作业中小车相对地面的位移大小为x＝＝ m＝10 m，故选C。
例3 (多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
[答案] BC
[解析] 两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
考点三 运动合成与分解的应用——关联速度问题
1．问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例4 (2025·黑龙江省哈尔滨市实验中学高三上9月月考)(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为vcosθ2
C．细绳的拉力等于mgsinθ1
D．细绳的拉力大于mgsinθ1
[答案] BD
[解析] 将小车的速度v沿细绳方向和垂直于细绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿细绳方向的速度相等，则有vP＝vcosθ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知细绳对P的拉力T>mgsinθ1，C错误，D正确。
关联速度问题常见模型 把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相同。
例5 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
[答案] A
[解析] 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞沿杆方向的分速度为0，由于汽缸的限制，活塞垂直于杆方向的分速度为0，故活塞运动的速度等于0，C、D错误。
考点四 运动合成与分解的应用——小船渡河问题
1．模型特点：船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．三种情境
渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船例6 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2．5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1．5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头与上游河岸成60°角 24 s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸方向的分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s
渡河用时t＝＝＝ s＝36 s
船的合速度v合＝＝ m/s
船的位移x＝v合t＝90 m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，位移为x＝d＝180 m
渡河用时t＝＝＝ s＝24 s。
(3)若v2＝1．5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为β，则航程x＝，欲使航程最短，需β最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心、v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
此时sinβ＝＝，得β＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
船渡河用时t＝＝ s＝150 s
船的位移x＝＝300 m。
求解小船渡河问题的方法 小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 (2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝＝＝求解。 (4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
课时作业
[A组 基础巩固练]
1．对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A．所受合力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度可能和运动方向相同
答案：B
解析：做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2．如图所示，将六块塑料板拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法错误的是( )
A．小球在B点速度方向沿切线
B．小球离开C点后做直线运动
C．若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将做直线运动
答案：C
解析：小球做曲线运动时，在某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力(摩擦力)方向与速度方向在同一直线上，所以小球离开C点后做直线运动，故B正确；若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误；若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故D正确。本题选说法错误的，故选C。
3．(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是( )
答案：A
解析：由题图可知篮球做曲线运动，所以篮球所受合力F应指向运动轨迹的凹侧，故只有A可能正确。
4．如图所示，一塔式起重机正在工作，在某段时间内，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速移动，同时吊车正下方的重物Q先匀减速竖直上升，后匀加速竖直上升。该段时间内，重物Q的运动轨迹可能是( )
答案：C
解析：由运动轨迹与力的关系可知运动轨迹向力的方向弯曲，由题可知，重物Q的加速度先向下后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的运动轨迹先向下弯曲，然后向上弯曲，故C正确，A、B、D错误。
5．某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的水平航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风，若不考虑地球自转，则( )
A．飞机的飞行方向为北偏西θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝
B．飞机的飞行方向为北偏东θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝
C．飞机实际的飞行速度大小为100 m/s
D．飞机实际的飞行速度大小为100 m/s
答案：B
解析：若使飞机严格按照从南到北的水平航线飞行，则其速度方向如图所示，则飞机的飞行方向为北偏东θ角，且sinθ＝＝＝，故A错误，B正确；飞机实际的飞行速度大小为v＝＝ km/h＝36 km/h＝10 m/s，故C、D错误。
6．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B．vB∶vA
C．v∶v D．v∶v
答案：D
解析：两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即＝＝＝cosθ，而v水＝＝，即cosθ＝，所以＝，故D正确，A、B、C错误。
7．(2025·福建省泉州市四校高三上10月月考)(多选)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
答案：BD
解析：设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则甲球的速度v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cosθ，乙球的速度v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sinθ，而v1杆＝v2杆，当乙球距离起点3 m时，甲球距离地面 m＝ m，有cosθ＝，sinθ＝，联立可得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时v2＝＝0，可知乙球的速度为零，故C错误，D正确。
8．在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则( )
A．绳对船的拉力逐渐增大 B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变 D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
答案：A
解析：对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
9．(2025·福建省厦门市同安第一中学高三上第一次月考)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
答案：C
解析：由题图乙、丙可知，0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，则合力与初速度方向不在同一直线上，因此，无人机做匀变速曲线运动，A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故B错误；0～4 s内，无人机在竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，且t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，之后向下运动，所以t＝4 s时，无人机运动到最高点，C正确；由v t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，0～5 s内，无人机的水平位移为x＝9 m，竖直位移为y＝1．75 m，则合位移为≠9 m，D错误。
[B组 综合提升练]
10．“歼－35”闪亮登场2024珠海航展。如图所示，战机先水平向右，再沿曲线ab向上，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合力不变 B．所受合力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度不变 D．水平方向的分速度逐渐减小
答案：D
解析：战机飞行速率不变，则合力方向始终与速度方向垂直且指向轨迹凹侧，即垂直轨迹切线向上，可知战机所受合力方向不断变化，不是竖直向上的，故A、B错误；战机沿ab段曲线飞行过程中，战机速度大小不变，速度方向与水平方向的夹角θ逐渐增大，则竖直方向的分速度vy＝vsinθ逐渐增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐渐减小，故C错误，D正确。
11．如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒斜向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝，故B正确。
12．(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图像如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案：BD
解析：v t图像中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v t图像的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
13．某军事兴趣小组在进行无人机战争模拟撞击训练中，无人机以10 m/s的速度水平飞过地面A点正上方40 m的位置时，收到操作员发出的指令，立即以5 m/s2的恒定加速度运动且恰好撞上A点。则无人机从收到指令到撞上A点所用时间为( )
A．3 s B．3 s
C．4 s D．4 s
答案：C
解析：设无人机加速度沿水平方向和竖直方向的分量分别为ax、ay，无人机从收到指令到撞上A点所用时间为t，根据匀变速直线运动规律，水平方向有v0t－axt2＝0，竖直方向有h＝ayt2，又a＋a＝a2，其中h＝40 m，v0＝10 m/s，解得t＝4 s(t＝－4 s舍去)，故选C。
[C组 拔尖培优练]
14．(2023·江苏高考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
答案：D
解析：设罐子运动的加速度大小为a，某时刻漏出某粒沙子时的速度为v0，之后在时间t内这粒沙子下落的高度h＝gt2，水平向右运动的距离x＝v0t，比这粒沙子晚Δt(Δt17(共61张PPT)
第四章 曲线运动
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一 曲线运动的条件和特征
考点二 运动的合成与分解
考点三运动合成与分解的应用——关联速度问题
考点四运动合成与分解的应用——小船渡河问题
课时作业
4
5
6
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第五章第1节阅读“曲线运动的速度方向”这一部分内容，思考：为什么说曲线运动是变速运动？
第五章第1节阅读“物体做曲线运动的条件”这一部分内容，总结物体做直线运动的条件是什么？物体做曲线运动的条件是什么？
提示：速度是个矢量，方向改变，速度就改变了。
提示：当物体所受合力的方向与它的速度方向在同一直线上时，物体做直线运动；当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
第五章第1节[练习与应用]T5，大致画出物体由A至D的运动轨迹。
第五章第2节[思考与讨论]，合运动的轨迹是直线还是曲线是由什么决定的？
提示：如图所示。
提示：是由合速度的方向与质点所受合力的方向决定的，若合力(或合加速度)的方向与合速度的方向在同一直线上，则轨迹为直线，否则为曲线。
章第2节[练习与应用]T5。
第五章[复习与提高]B组T6。
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的____方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的______时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是______运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的________的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受______的方向与它的速度方向不在同一直线上。
切线
方向
变速
加速度
合力
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( )
3．做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向曲线的凹侧。( )
4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。( )
×
×
√
√
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3．合力与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
解析 由图可知，小车做曲线运动，则其所受合力应指向运动轨迹即轨道的凹侧，故A、B错误；由题意可知，小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，则合力对小车一直做正功，故合力方向与小车运动方向(沿轨道切线向右)的夹角一直为锐角，故C错误，D可能正确。
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作________，物体的实际运动叫作________。
(2)运动的合成：由_______求________的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由________求________的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从______________。
分运动
合运动
分运动
合运动
合运动
分运动
矢量运算法则
1．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( )
2．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
×
√
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
例2 (2022·辽宁高考)如图所示，桥式起重机主要由可移动“桥架”“小车”和固定“轨道”三部分组成。在某次作业中桥架沿轨道单向移动了8 m，小车在桥架上单向移动了6 m。该次作业中小车相对地面的位移大小为( )
A．6 m B．8 m
C．10 m D．14 m
例3 (多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
解析 两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
考点三 运动合成与分解的应用——关联速度问题
1．问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
例4 (2025·黑龙江省哈尔滨市实验中学高三上9月月考)(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为vcosθ2
C．细绳的拉力等于mgsinθ1
D．细绳的拉力大于mgsinθ1
解析 将小车的速度v沿细绳方向和垂直于细绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿细绳方向的速度相等，则有vP＝vcosθ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知细绳对P的拉力T>mgsinθ1，C错误，D正确。
关联速度问题常见模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相同。
例5 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0
的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞沿杆方向的分速度为0，由于汽缸的限制，活塞垂直于杆方向的分速度为0，故活塞运动的速度等于0，C、D错误。
考点四 运动合成与分解的应用——小船渡河问题
1．模型特点：船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．三种情境
例6 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2．5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1．5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
课时作业
[A组 基础巩固练]
1．对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A．所受合力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度可能和运动方向相同
解析：做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2．如图所示，将六块塑料板拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法错误的是( )
A．小球在B点速度方向沿切线
B．小球离开C点后做直线运动
C．若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将做直线运动
解析：小球做曲线运动时，在某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力(摩擦力)方向与速度方向在同一直线上，所以小球离开C点后做直线运动，故B正确；若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误；若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故D正确。本题选说法错误的，故选C。
3．(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是( )
解析：由题图可知篮球做曲线运动，所以篮球所受合力F应指向运动轨迹的凹侧，故只有A可能正确。
4．如图所示，一塔式起重机正在工作，在某段时间内，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速移动，同时吊车正下方的重物Q先匀减速竖直上升，后匀加速竖直上升。该段时间内，重物Q的运动轨迹可能是( )
解析：由运动轨迹与力的关系可知运动轨迹向力的方向弯曲，由题可知，重物Q的加速度先向下后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的运动轨迹先向下弯曲，然后向上弯曲，故C正确，A、B、D错误。
8．在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则( )
A．绳对船的拉力逐渐增大
B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变
D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
解析：对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
9．(2025·福建省厦门市同安第一中学高三上第一次月考)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
[B组 综合提升练]
10．“歼－35”闪亮登场2024珠海航展。如图所示，战机先水
平向右，再沿曲线ab向上，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路
径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合力不变 B．所受合力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度不变 D．水平方向的分速度逐渐减小
解析：战机飞行速率不变，则合力方向始终与速度方向垂直且指向轨迹凹侧，即垂直轨迹切线向上，可知战机所受合力方向不断变化，不是竖直向上的，故A、B错误；战机沿ab段曲线飞行过程中，战机速度大小不变，速度方向与水平方向的夹角θ逐渐增大，则竖直方向的分速度vy＝vsinθ逐渐增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐渐减小，故C错误，D正确。
12．(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员
在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑
翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每
次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图像如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
[C组 拔尖培优练]
14．(2023·江苏高考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
