10.1.1　两角和与差的余弦 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.1　两角和与差的余弦
1. 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体会向量和三角函数间的关系．
2. 能用两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用．
3. 能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
活动一 掌握两角和与差的余弦公式的推导
探究1：(1) 设向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则向量a与向量b的夹角θ是多少？
(2) 分别用公式a·b＝|a|·|b|cos θ及 a·b＝x1x2＋y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？
(3) 上述结论能否进行推广？即已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，你能得到什么结论？
探究2：如何根据两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？
思考
两角差与两角和的余弦公式的结构特征．
活动二　掌握两角和与差的余弦公式的简单应用　
例1　利用两角和(差)的余弦公式证明以下诱导公式：
(1) cos ＝sin α；
(2) cos ＝sin α.
例2　求cos 105°的值．
使用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式中前后的运算符号．
求cos 15°，cos 75°的值．
活动三　掌握两角和与差的余弦公式的综合应用　
例3　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
在使用公式时，涉及两个角的正余弦值时，一定要注意两个角所在的象限，从而在使用同角的平方关系时，确定开方后的符号．
已知sin α＝，且α是第二象限角，则cos (－α)＝________．
例4　(2023淮安期末)已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0<β<<α<π.求：
(1) cos 的值；
(2) cos 的值．
了解简单的配角关系，如α＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，在解决问题时，看清条件中的角和所求角之间的关系，有时要将α＋看成整体，而不是看成两角的和．
已知α∈，且cos ＝，求cos α的值．
1. (教材改编)cos 121°cos 61°＋sin 121°sin 61°的值为(　　)
A. 1 B. － C. D.
2. (2024湖南月考)2cos 80°－cos 20°等于(　　)
A. sin 20° B. sin 20° C. －sin 20° D. －sin 20°
3. (多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于点A，B，若点A，B的坐标分别为和，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝ B. cos β＝
C. cos (α＋β)＝0 D. cos (α－β)＝0
4. (教材改编)若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β＝________．
5. (2024中山月考)已知sin α＝－，α∈.
(1) 求cos 的值；
(2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求角β的值．
10．1.1　两角和与差的余弦
【活动方案】
探究1：(1) 60°
(2) a·b＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°，
|a|＝1，|b|＝1，
则a·b＝1×1×cos 60°＝cos 60°＝cos (75°－15°)，
所以cos (75°－15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°.
(3) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
探究2：cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]
＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β)
＝cos αcos β－sin αsin β.
思考：同名三角函数相乘，符号相反．
例1　(1) cos ＝cos cos α＋sin sin α＝sin α.
(2) cos ＝cos cos α－sin sin α＝sin α.
例2　cos 105°＝cos (60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝.
跟踪训练　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.
cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝.
例3　因为α∈，β是第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
sin β＝－＝－，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
跟踪训练　　因为sin α＝，且α是第二象限角，所以cos α＝－，所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝.　
例4　 (1) 因为<α<π，
所以cos α＝－＝－，
所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝－.
(2) 因为<α<π，所以<α－<，
由(1)可得sin ＝＝.
因为0<β<<α<π，
所以α＋β∈，
所以cos(α＋β)＝－＝－，
所以cos ＝cos ＝cos (α＋β)·cos ＋sin (α＋β)sin (α－)＝－×＋×＝.
跟踪训练　因为α∈，
所以－α∈，
所以sin ＝－＝－，
所以cos α＝cos ＝cos cos (－α)＋sin sin
＝－.
【检测反馈】
1. C　cos 121°cos 61°＋sin 121°sin 61°＝cos (121°－61°)＝cos 60°＝.
2. C　由题意，得2cos 80°－cos 20°＝2cos (60°＋20°)－cos 20°＝2cos 60°cos 20°－2sin 60°sin 20°－cos 20°＝cos 20°－sin 20°－cos 20°＝－sin 20°.
3. AD　由三角函数定义，得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，故A正确，B错误；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝0，故C错误，D正确．故选AD.
4. 　由题意，得所以
所以tan αtan β＝＝.
5. (1) 因为sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－<0，
α∈，
所以α∈，且cos α＝，
则cos ＝cos αcos －sin αsin ＝.
(2) 因为α∈，β∈，所以－<α＋β<.
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，sin(α＋β)＝－，
所以－<α＋β<0，所以cos (α＋β)＝，
则cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.
因为β∈，所以β＝.