10．1.3　两角和与差的正切 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．1.3　两角和与差的正切(1)
1. 会由两角和与差的正余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2. 从推导的过程中体会到化归思想的作用．
3. 掌握两角和与差的正切公式的简单应用．
活动一　两角和与差的正切公式的推导　
探究：用tan α和tan β来表示tan (α±β).(借助S(α±β)和C(α±β))
活动二　掌握两角和与差的正切公式的简单应用　
例1　求tan 75°的值．
要求已知角的三角函数值，需要把角转化为特殊角，然后去求值．
求的值．
例2　已知tan α，tan β是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan (α＋β)的值．
充分利用两角和与差的正切公式，把求的角转化为已知角去求解．
若tan α＝3，tan (β－α)＝5，求tan (β－2α)的值．
例3　如图，三个相同的小正方形排成一排，求证：α＋β＝.
　　
要求一个角或证明一个角的大小，务必先求这个角的某个三角函数值，同时要注意这个角的范围．
已知α，β，γ都是锐角，且它们的正切值分别为，，，求证：α＋β＋γ＝.
活动三 掌握两角和与差的正切公式的变形使用
例4　求tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值．
灵活使用两角和与差的正切公式的变形公式：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)和tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
当α＋β＝时，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
1. tan 525°的值为(　　)
A. －2＋ B. －2－3 C. 2－ D. 2＋
2. (2024天津期末)已知tan ＝－7，则tan α的值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)(2024辽阳期中)下列各式中，计算结果为 的是(　　)
A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B. cos 85°cos 25°－sin 85°sin 25°
C. D.
4. (教材改编)若tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则tan (α＋β)＝________．
5. (2024江西期中)已知α为第二象限角，且sin α＝.
(1) 求tan α的值；
(2) 若tan β＝，求tan (α＋β)的值．
10．1.3　两角和与差的正切(2)
能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
活动一 掌握两角和与差的正切公式的应用——求值
例1　已知sin α＝－，α是第四象限角，求tan .
求两角和与差的三角函数值，只要利用相应的两角和与差的公式，分别求出一个角的三角函数值代入即可．
已知tan α＝2，tan β＝3，且α∈，β∈，求α＋β的值．
活动二 掌握两角和与差的正切公式的应用——恒等式证明
例2　在斜三角形ABC中，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.
在△ABC中，tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)，再利用两角和的正切公式展开即可得到tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，但要注意式子成立的条件是△ABC为非直角三角形.
在△ABC中，如果tan A tan B＞1，那么△ABC是________三角形．
活动三　掌握两角和与差的正切公式的综合应用　
例3　已知A，B，C是△ABC的内角，在斜三角形ABC中，若2B＝A＋C，且tan A tan C＝2＋，求△ABC三个内角的大小．
如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角(∠CAD)为45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
在解决平面上的实际问题时，把角放在三角形中，然后转化为两角和与差的三角函数．
1. (2024郴州月考)如图，AD为△ABC的边BC上的高，B＝，AD＝BC，则tan ∠BAC的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. －3 D. －4
2. (2023盐城阜宁中学月考)在△ABC中，“△ABC是钝角三角形”是“tan A tan B<1”的(　　)
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(教材改编)已知α，β∈，且sin β＝2cos (α＋β)sin α，则下列结论中正确的是(　　)
A. tan (α＋β)＝3tan α B. tan β有最大值
C. tan β有最大值 D. tan β有最小值
4. (2023济宁月考)已知tan ＝2，则2sin αcos α－cos2α＝________．
5．(教材改编)已知α∈，β∈，且cos α＝，sin β＝.求：
(1) tan (α＋β)的值；
(2) 2α＋β的值．
10．1.3　两角和与差的正切(1)
【活动方案】
探究：tan (α＋β)＝＝＝，　
同理tan (α－β)＝.
例1　原式＝tan (30°＋45°)＝＝2＋.
跟踪训练　原式＝＝tan 60°＝.
例2　因为tan α，tan β是方程x2＋5x－6＝0的两根，
所以tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝－6，
所以tan (α＋β)＝＝－.
跟踪训练　tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝＝.
例3　设小正方形的边长为1，
则tan α＝，tan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝1.
又由α，β∈，得α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
跟踪训练　由题意，得tan (α＋β)＝＝，
所以tan (α＋β＋γ)＝＝1.
又由题意可得α，β，γ∈，
得α＋β＋γ∈，
所以α＋β＋γ＝.
例4　因为tan 60°＝＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝－tan 20°tan 40°，
所以原式＝.
跟踪训练　因为α＋β＝，
所以tan (α＋β)＝＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋tan αtan β＋tan α＋tan β
＝1＋tan αtan β＋1－tan αtan β＝2.
【检测反馈】
1. A　tan 525°＝tan (360°＋165°)＝tan 165°＝tan (180°－15°)＝－tan 15°＝－tan (45°－30°)＝－＝－＝－2＋.
2. B　因为tan ＝＝＝－7，所以tan α＝－.
3. ACD　对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝tan 60°＝，故A正确；对于B, cos 85°cos 25°－sin 85°sin 25°＝cos (85°＋25°)＝cos 110°≠，故B错误；对于C，＝＝＝tan (15°＋45°)＝，故C正确；对于D, ＝＝＝，故D正确．故选ACD.
4. 3　由tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，得tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β).显然tan αtan β≠1，所以tan (α＋β)＝＝3.
5. (1) 因为α为第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－，
则tan α＝＝－.
(2) 因为tan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝－.
10．1.3　两角和与差的正切(2)
【活动方案】
例1　因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝，所以tan α＝－，
所以tan ＝＝－7.
跟踪训练　由题意，得tan (α＋β)＝＝－1.
又α∈，β∈，
所以α＋β∈(π，2π)，
所以α＋β＝.
例2　由题意，得tan (A＋B)＝tan (π－C)，
即＝－tan C，
整理，得tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.
跟踪训练　锐角　在△ABC中，由tan A tan B>1，得tan A>0，tan B>0，即A，B均为锐角，所以cos A>0，cos B>0.因为tan A tan B>1，所以>1，即sin A sin B>cos A cos B，所以cos (A＋B)<0.又cos (A＋B)＝cos (π－C)，所以cos C>0，故C为锐角，则△ABC是锐角三角形．
例3　由得B＝，
所以A＋C＝，
所以tan (A＋C)＝＝－，
所以tan A＋tan C＝＋3.
联立
解得或
所以△ABC三个内角的大小为，，.
跟踪训练　过点A作AE⊥CD，垂足为E，
可得DE＝9 m，EC＝6m.
设AE＝xm，∠CAE＝α，则∠DAE＝45°－α.
在Rt△AEC和Rt△AED中，
有tan α＝，tan (45°－α)＝.
因为tan (45°－α)＝，
所以＝，解得x＝18(负值舍去)，
即AE＝18m，所以BD＝AE＝18m.
【检测反馈】
1. C　在Rt△ABD中，因为∠BAD＝，所以AD＝BD，tan ∠BAD＝1.又AD＝BC，所以在Rt△ACD中，有tan ∠CAD＝＝2，所以tan ∠BAC＝tan (∠BAD＋∠CAD)＝＝＝－3.
2. A　若△ABC是钝角三角形，当A或B为钝角时，tan A tan B<0<1；当C为钝角时，tan C＝－tan (A＋B)＝－＝<0.又tan A>0，tan B>0，则tan A tan B<1，即充分性成立．若tan A tan B<1，当tan A tan B<0时，A或B为钝角，△ABC为钝角三角形；当tan A tan B＝0时，tan A＝0或tan B＝0，A，B无解；当03. AC　因为sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α，又sin β＝2cos (α＋β)sin α，所以sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，则tan (α＋β)＝3tan α，故A正确；令tan α＝t，则tan (α＋β)＝3tan α＝3t.因为α，β∈，所以tan α>0，则t>0，所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝≤＝，当且仅当3t＝，即t＝，tan α＝，tan (α＋β)＝，即α＝β＝时取等号，所以tan β有最大值 ，故C正确，B，D错误．故选AC.
4. －　因为tan ＝＝＝2，所以tan α＝，则2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－.
5. (1) 由题意，得sin α＝，cos β＝，
所以tan α＝，tan β＝7，
所以tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2) 由α，β为锐角，可得2α＋β∈，
因为tan (2α＋β)＝tan ＝＝＝－1，
所以2α＋β＝.