10.2.1　二倍角的三角函数 同步学案（含答案） 024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10.2.1　二倍角的三角函数
1. 掌握二倍角公式的推导及简单应用．
2. 从推导的过程中体会化归思想的作用．
活动一　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 复习两角和的正弦、余弦、正切公式．
2. 探究二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3. 在二倍角的余弦公式中结合同角三角函数基本关系式的平方关系可得到怎样的变形？
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α常为开方作准备，而cos2α＝，sin2α＝常为降幂提供方便．
活动二　掌握公式的简单应用　
例1　已知sin α＝，α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
直接利用二倍角公式去解决，对于cos 2α中的3个形式，在使用时尽量用已知条件中α的三角值．
已知sin sin ＝，且α∈，求sin 4α的值．
例2　求值：cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°.
由于已知条件中的角之间的关系都是二倍关系，而且形式上是乘积，所以联想到二倍角的正弦公式，因此只要分子分母同乘以2sin 20°即可．
求cos cos cos cos 的值．
思考
如何化简cos αcos 2αcos 4α…cos 2n-1α？
例3　求证：＝tan θ.
三角恒等式的证明，主要看等式两边角的关系，再看三角函数名称，然后选择适当的公式去处理．
已知角θ满足tan ＝，求的值．
1. (教材改编)若α∈(0，π)且cos α＝－，则sin 2α的值为(　　)
A. － B. C. － D. －
2. (2024北京期中)已知△ABC满足AB＝AC，tan B＝2，则tan A的值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)(教材改编)下列等式中，正确的是(　　)
A. 2cos215°－1＝ B．(sin 15°－cos 15°)2＝
C. sin222.5°－cos222.5°＝ D．＝
4．(2023泰州中学期中)设α∈，若sin α＝，则cos ＝________．
5. 已知sin ＝，α∈(π，2π)，求sin α，cos α，tan α的值．
10.2.1　二倍角的三角函数
【活动方案】
1. sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，
tan (α＋β)＝.
2. sin 2α＝2sin αcos α，
cos 2α＝cos2α－sin2α，
tan2α＝.
3．cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
sin2α＝，cos2α＝.
例1　因为α∈，
所以cos α＝－，tan α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
tan 2α＝＝＝.
跟踪训练　由题意，得(cos α－sin α)＝－＝，
所以cos2α－sin2α＝，即cos2α＝.
又因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－，
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
例2　原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝＝
＝＝＝.
跟踪训练　原式＝
＝＝
＝＝.
思考：原式＝
＝＝.
例3　左边＝
＝＝
＝tan θ＝右边．
跟踪训练　由题意，得tan θ＝tan [－]＝＝－，所以＝＝＝tan θ＝－.　
【检测反馈】
1. A　因为α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2. A　在△ABC中，因为AB＝AC，tan B＝2，所以A＝π－2B，则tan A＝－tan 2B＝－＝－＝.
3．BD　对于A，2cos215°－1＝cos30°＝，故A错误；对于B，(sin 15°－cos 15°)2＝sin215°＋cos215°－2sin15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝，故B正确；对于C，sin222.5°－cos222.5°＝－cos45°＝－，故C错误；对于D，＝·＝tan45°＝，故D正确．故选BD.
4. －　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以sin2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝×－×＝－.
5. 因为α∈(π，2π)，所以∈.
因为sin ＝，所以cos ＝－，
所以sin α＝2sin cos ＝－，
cos α＝cos2－sin2＝－＝－，
tanα＝＝.