10.2.2　二倍角的三角函数 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．2.2　二倍角的三角函数
掌握二倍角公式在三角恒等变换中的应用．
活动一　掌握二倍角公式的应用——化简　
例1　(1) 化简：sin2＋sin2(α＋)－sin2α；　
(2)化简：，α∈(0，π).
遇到式子中的平方，首先想到的是降幂，而不是展开，遇到根号，首先想到的是根式里边配成完全平方，有利于开方．
化简：－＝________．
活动二 掌握二倍角公式的应用——求值
例2　已知tan (α＋β)＝3，tan ＝2，求tan 2α的值．
求值过程中，应当注意前后角之间的关系，到底是单角与复角关系还是和差关系，再选择恰当的公式去解决．
若cos ＝－，＜x＜，求的值．
活动三　利用二倍角公式解决实际问题　
例3　在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
思考
如果将半圆改成圆心角为的扇形，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
对于平面几何中的应用问题，有时选择适当的角作为变量，然后列出函数关系式，再用三角函数的知识去解决，最后回到实际问题中去．
如图，扇形钢板POQ的半径为1 m，圆心角为.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
(1) 设∠AOB＝θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S(θ)，并指出θ的取值范围；
(2) 若截取的四边形钢板ABCO的面积最大，则θ为何值？
活动四　掌握二倍角公式的综合应用　
例4　已知f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在x∈上的最大值和最小值；
(2) 若f(x0)＝，x0∈，求cos (2x0＋)的值．
借助于二倍角等三角函数公式，化简三角函数表达式，从而能够解决它的一些性质或图象问题．
已知函数f(x)＝cos ＋2sin (x－)sin .
(1) 求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2) 求函数f(x)在区间上的值域．
1. (教材改编)若270°<α<360°，则等于(　　)
A. sin B. cos C. －sin D. －cos
2. (2024湖南期中)如图，已知⊙O的半径为4，若劣弧的长为π，则劣弧所对圆周角的正弦的平方为(　　)
A.
B.
C. －
D. ＋
3. (多选)已知函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B. 函数f(x)在区间上单调递减
C. 函数f(x)的图象关于点对称
D. 函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
4. (2024石家庄期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin (B＋A)－sin 2A＝sin (A－B)，则△ABC的形状是________．
5. (教材改编)已知α，β为锐角，tan α＝，sin (α－β)＝.
(1) 求sin 2α的值；
(2) 求2α－β的大小．
10．2.2　二倍角的三角函数
【活动方案】
例1　(1) 原式＝＋－＝＝.
(2) 原式＝
＝
＝＝
＝＝
＝.
因为α∈(0，π)，所以∈.
当∈，即α∈时，sin ≤cos ，
所以原式＝cos －sin ＝sin ；
当∈，即α∈时，sin >cos ，
所以原式＝sin －cos ＝sin (－).　
跟踪训练　2cos 100°　原式＝－＝|sin 100°＋cos 100°|－|sin 100°－cos 100°|＝sin 100°＋cos 100°－sin 100°＋cos 100°＝2cos 100°.
例2　由tan β＝tan ＝＝－3，tan α＝tan (α＋β－β)＝＝－，
得tan 2α＝＝＝－.
跟踪训练　由题意，得cos x＋sin x＝－，①
即sin ＝－.
因为x∈，所以x＋∈，
所以cos ＝，
即cos x－sin x＝.②
由①②得sin x＝－，cos x＝－，tan x＝7，
所以原式＝＝＝－.
例3　连接OB.设∠AOB＝θ，θ∈，半径为R，则AB＝R sin θ，DA＝2OA＝2R cos θ，
所以S矩形ABCD＝2R2sin θcos θ＝R2sin 2θ，
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，矩形的面积最大，此时OA＝R，故当这个矩形在半圆直径上的两个顶点到圆心的距离都是半圆半径的倍时，所截取的矩形的面积最大．
思考：①当矩形的一边在扇形的半径上时，如图1.
设∠BOC＝θ，θ∈，半径为R，
则BC＝R sin θ，OB＝R cos θ.
在△AOD中，AO＝＝＝，
所以AB＝R cos θ－，
所以矩形面积S＝AB·BC＝R2
＝＝－
＝sin －.
因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S取最大值，为；
②当矩形的边不在扇形的半径上时，如图2.
取的中点E，连接OE，OB，OE分别交AD，BC于点G，F.
设∠BOE＝θ，θ∈，半径为R，
则BF＝R sin θ，OF＝R cos θ，BC＝2R sin θ，
AG＝BF＝R sin θ.
因为∠DOA＝，OA＝OD，OG⊥AD，
所以OG＝AG＝R sin θ，
所以GF＝OF－OG＝R cos θ－R sin θ，
所以矩形面积S＝GF·BC
＝(R cos θ－R sin θ)·2R sin θ
＝2R2(sin θcos θ－sin2θ)
＝2R2
＝2R2sin －R2.
因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S取最大值，为(2－)R2.
因为R2>(2－)R2，所以按如图1所示的截法，且当∠BOC＝时，所截矩形的面积最大．
图1 图2
　
跟踪训练　(1) 因为∠AOB＝θ，扇形钢板POQ的圆心角为，所以∠BOC＝－θ.
因为扇形钢板POQ的半径为1 m，AB⊥OP，BC⊥OQ，
所以OA＝cos θ，AB＝sin θ，
所以S△OAB＝OA·AB＝sin θcos θ＝sin 2θ.　
又OC＝cos ，BC＝sin ，
所以S△OBC＝OC·BC＝cos (－θ)·sin (－θ)＝sin ，　
所以四边形钢板ABCO的面积
S(θ)＝S△OAB＋S△OBC
＝[sin 2θ＋sin ]，θ∈.
(2) 由(1)知，S(θ)＝
＝(sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ)
＝
＝
＝sin .
因为θ∈，
所以2θ＋∈，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，四边形钢板ABCO的面积S(θ)最大，最大值为 m2.
例4　(1) 由题意，得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin ，
则最小正周期T＝＝π.
因为x∈，所以2x＋∈，
所以f(x)max＝f＝2，f(x)min＝f＝－1.
(2) 由(1)得f(x0)＝2sin ＝，所以sin ＝.
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－.
跟踪训练　(1) f(x)＝cos ＋2sin (x－)sin (x＋)
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin ，
所以最小正周期T＝＝π.
由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数图象的对称轴为直线x＝＋(k∈Z).
(2) 因为x∈，所以2x－∈，
所以－≤sin ≤1，
即函数f(x)在区间[－，]上的值域为[－，1].
【检测反馈】
1. D　因为＋cos 2α＝＋(2cos2α－1)＝cos2α，270°<α<360°，所以cosα>0，cos <0，所以＝cos α，所以＝＝＝－cos.
2. C　设劣弧所对的圆周角为θ，则其所对的圆心角为2θ.由题意，得2θ＝，则cos 2θ＝.又cos 2θ＝1－2sin2θ，解得sin2θ＝－.
3．AB　因为f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1－1＝sin2x＋cos 2x－1＝sin －1.对于A，因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，则f(x)在区间上单调递减，故B正确；对于C，因为f＝－1，故C不正确；对于D，函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故D不正确．故选AB.
4. 等腰三角形或直角三角形　由sin (B＋A)－sin 2A＝sin (A－B)，得sin (B＋A)＋sin (B－A)＝2sin A cos A，则sin A cos B＋cos A sin B＋sin B cos A－cos B sin A＝2sin A cos A，整理，得cos A(sin A－sin B)＝0，所以cos A＝0或sin A＝sin B.因为05. (1) 因为tan α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.
(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，
所以cos (α－β)＝＝，
所以tan(α－β)＝＝＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又β为锐角，所以－<2α－β<π，
则tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝，
所以2α－β＝.