第二十二章 二次函数 单元自测题（含解析）人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数 单元自测题
一、单选题
1．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
4．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）
A．6m B．12m C．8m D．10m
6．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(　　)
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
7．关于抛物线，下列说法：①图象开口向上；②图象与轴有两个交点；③当时，有最小值-4.正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（　　）
A． B．
C． D．
9．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（　　）
A． B．
C． D．
10．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
二、填空题
11．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为　 　.
12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.小球运动到　 　时，达到最大高度．
13．已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 　 　.
14．已知抛物线经过点两点，则、的大小关系是 　 　.
三、解答题
15．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求二次函数的解析式.
16．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
17．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
18．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．
19．用配方法求二次函数 的最值.
四、综合题
20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
21．已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点．
22．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是　 　．
23．“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：要将抛物线平移后得到抛物线，
需要将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由解析式，令，解得，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是
故答案为：B.
【分析】由，求出x=0时y值，即可得解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1.
故答案为：B.
【分析】观察表格可知：当x＝0.5时，y＝-0.5<0；当x＝1时，y＝1>0，据此不难得到方程ax2+bx+c＝0的解的范围.
4．【答案】B
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程解的个数和二次函数与x轴的交点个数的关系求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：令＝0，
整理得：x2 8x 20＝0，
（x 10）（x＋2）＝0，
解得x1＝10，x2＝ 2（舍去），
故该运动员此次掷铅球的成绩是10m，
故答案为：D．
【分析】将y=0代入求出x的值即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故答案为：B．
【分析】将y=0代入求出x的值即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由抛物线，
①、因为，开口向上，故此说法正确；
②、当时，，，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有2个交点，故此说法正确；
③、因为函数图象开口向上，顶点坐标是，所以，当时，有最小值-4，故原说法不正确.
所以，正确的说法是①②.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的解析式可得a=1>0，据此判断①；令y=0，求出△的值，据此判断②；由函数解析式可得当x=2时，y取得最小值，据此判断③.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，据此判断.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程解为，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），接下来根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是x＝＝12，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故答案为：C．
【分析】由此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，可求出抛物线的对称轴，从而求出顶点的横坐标，进而得出炮弹所在高度最高时x的值．
11．【答案】或
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为：或.
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2，据此可得对应的解析式.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：，
∴对称轴为，抛物线开口向下，
在对称轴的左边，随的增大而增大，
∵
∴当时，达到最大高度，
故答案为：6．
【分析】将变形为=，再利用二次函数的性质求解即可。
13．【答案】，
【解析】【解答】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，.
【分析】根据对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，然后根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根进行解答.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线.
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】根据抛物线解析式可得其图象开口向下，对称轴为直线x=1，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越小进行比较.
15．【答案】解：设二次函数的解析式，
因为顶点坐标为（1，－6），
所以，
把点（2，－8）代入得，，
所以a=-2，
所以二次函数的解析式是y=-2(x-1)-6.
【解析】【分析】利用待定系数法（顶点式）求出二次函数的解析式.
16．【答案】解：（方法一）
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（方法二）把 ， 分别代入原方程，
可得： ，
解得： ，
∴ .
【解析】【分析】方法一：根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1x2=n，结合x1、x2的值可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
方法二：将x1=-2、x2=4代入方程中可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
17．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
18．【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
设y=ax2+h，
将（5，0）和（4，1.8）代入解析式得：，
解得：a＝-0.2，h＝5，
∴该大门的高为5米.
【解析】【分析】如图，合理建立平面直角坐标系，设y=ax2+h，再把（5，0）和（4，1.8）代入解析式得到方程组，解之即可求解问题.
19．【答案】解:∵
又∵
∴抛物线开口向下
当 时,函数y有最大值为 ,y无最小值.
【解析】【分析】利用配方法把二次函数从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点可得出结果.
20．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）解：∵二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为-3
【解析】【分析】（1）将A（1，-1）代入y=ax2+bx+3中并化简可得a+b的值；
（2）根据顶点坐标公式可得y0= ，则ay0=-(a-2)2-3，然后根据二次函数的性质可得最大值.
21．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
原方程为，
，
．
（2）证明：令，则，
，
二次函数图象与轴有2个交点．
【解析】【分析】（1）将代入方程求出，可得方程，再求出方程的根即可；
（2）利用根的判别式求解即可。
22．【答案】（1）解：根据题意得，
， ，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）解：y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x＝2，
∴点B的坐标是B（5，0）；
（3）﹣9≤t＜0
【解析】【解答】解：（3）y＝x2 4x 5＝（x 2）2 9，
x＝ 1时，y＝9 9＝0，
x＝3时，y＝1 9＝ 8，
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c t＝0（t为实数）在 1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2＋bx＋c与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当 9≤t＜0时，在 1＜x＜3的范围内有解．
故答案为： 9≤t＜0.
【分析】（1）分别将点A，C，D的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，对称轴，利用对称性可求出点B的坐标.
（3）将函数解析式转化为顶点式，分别将x=-1和x=3代入函数解析式，可求出对应的y的值，利用二次函数与一元二次方程根的关系，可得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c t＝0（t为实数）在 1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2＋bx＋c与直线y＝t的交点的横坐标，即可求出t的取值范围.
23．【答案】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：
（2）解：设总利润为元，则
；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）.
（3）解：由题意可得：第20天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则
当时，取得最大值，
最大值为：；
当最大值为时，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
综上：第天时，取得最大值，当利润为元时，.
【解析】【分析】（1）由题意可得y是x的一次函数，设y=kx+b，将x=1、y=220；x=2、y=240代入求出k、b的值，可得y与x的关系式；设z=mx+n，将x=1、z=98；x=2、z=96代入求出m、n的值，可得z与x之间的函数关系式；
（2）设总利润为w元，根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）由题意可得：第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元，每件商品的利润为(-2x+80-a)元，设此时利润为w1元，根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.