2024-2025学年北京十五中高一（下）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京十五中高一（下）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 45.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-10 17:11:20 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若且，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知，且是第四象限角，则的值为( )
A. B. C. D.
3.计算：( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于点对称
10.已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则 ______．
12.已知且，则等于______．
13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ______； ______．
14.在中，，．
若，则 ______；
面积的最大值为______．
15.已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论：
函数的最小正周期是；
函数在区间上单调递增；
函数的图象过点；
直线为函数的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，均为锐角，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知向量，设函数．
Ⅰ求的最小正周期．
Ⅱ求在上的零点．
18.本小题分
在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，且的面积，求的值．
19.本小题分
已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
Ⅰ的值及的单调递增区间；
Ⅱ在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
设为正整数，若满足：
，，，，；
对于，均有；
则称具有性质．
对于和，定义集合，，，，．
Ⅰ设，若具有性质，写出一个及相应的；
Ⅱ设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
Ⅲ设和具有性质，对于给定的，求证：满足，，，的有偶数个．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ因为为锐角，，又因为，所以，
所以．
Ⅱ因为，为锐角，，，
所以，
同理，所以．
所以
17.解：Ⅰ已知向量，
则．
则的最小正周期．
Ⅱ因为，
当时，，
令，
则或，
所以或．
所以函数在上的零点为和．
18.解：Ⅰ在中，
因为，
所以由余弦定理得：．
因为，
所以，
Ⅱ因为，
由正弦定理得，
即．
又因为的面积，
即，
所以，
故．
19.解：Ⅰ ．
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，
所以，故，，，
令，
解得，，
所以的单调递增区间为．
Ⅱ因为，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为．
20.解：Ⅰ因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，所以；
Ⅱ选条件：；
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件：；
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
选条件：；
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以，
又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
21.解：根据题意，令，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
同理可得，若，则相应的一个，；
若，则相应的一个，；
假设存在，和均具有性质，且，，，，，，
则，因为与同奇同偶，
所以与同奇同偶
而本题中由中结论可知，，，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，
因此假设不成立．
综上可得，不存在具有性质的，，满足，，，，，．
证明：不妨设，构成一个对应数表：
交换数表中两行数据，可得对应数表：
调整数表中各列的顺序，并假设调整后的第一行数据为，，，，设调整后的数据第二行为，，，，
令，则具有性质，且，，，，，
假设，与相同，则，，，，
不妨设，，则有，故，
，，，，，
，
，
，
显然地，结论，前后矛盾，
故对于具有性质的，若具有性质，且，，，，，
则存在一个具有性质的，使得，，，，，
且与不同．
并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定．
同样地，由，，也仅能构造出．
综上，命题得证．
第1页，共1页
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若且，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知，且是第四象限角，则的值为( )
A. B. C. D.
3.计算：( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于点对称
10.已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则 ______．
12.已知且，则等于______．
13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ______； ______．
14.在中，，．
若，则 ______；
面积的最大值为______．
15.已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论：
函数的最小正周期是；
函数在区间上单调递增；
函数的图象过点；
直线为函数的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，均为锐角，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知向量，设函数．
Ⅰ求的最小正周期．
Ⅱ求在上的零点．
18.本小题分
在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，且的面积，求的值．
19.本小题分
已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求：
Ⅰ的值及的单调递增区间；
Ⅱ在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
设为正整数，若满足：
，，，，；
对于，均有；
则称具有性质．
对于和，定义集合，，，，．
Ⅰ设，若具有性质，写出一个及相应的；
Ⅱ设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
Ⅲ设和具有性质，对于给定的，求证：满足，，，的有偶数个．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ因为为锐角，，又因为，所以，
所以．
Ⅱ因为，为锐角，，，
所以，
同理，所以．
所以
17.解：Ⅰ已知向量，
则．
则的最小正周期．
Ⅱ因为，
当时，，
令，
则或，
所以或．
所以函数在上的零点为和．
18.解：Ⅰ在中，
因为，
所以由余弦定理得：．
因为，
所以，
Ⅱ因为，
由正弦定理得，
即．
又因为的面积，
即，
所以，
故．
19.解：Ⅰ ．
因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，
所以，故，，，
令，
解得，，
所以的单调递增区间为．
Ⅱ因为，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为．
20.解：Ⅰ因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，所以；
Ⅱ选条件：；
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件：；
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
选条件：；
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以，
又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
21.解：根据题意，令，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
若，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个，；
同理可得，若，则相应的一个，；
若，则相应的一个，；
假设存在，和均具有性质，且，，，，，，
则，因为与同奇同偶，
所以与同奇同偶
而本题中由中结论可知，，，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，
因此假设不成立．
综上可得，不存在具有性质的，，满足，，，，，．
证明：不妨设，构成一个对应数表：
交换数表中两行数据，可得对应数表：
调整数表中各列的顺序，并假设调整后的第一行数据为，，，，设调整后的数据第二行为，，，，
令，则具有性质，且，，，，，
假设，与相同，则，，，，
不妨设，，则有，故，
，，，，，
，
，
，
显然地，结论，前后矛盾，
故对于具有性质的，若具有性质，且，，，，，
则存在一个具有性质的，使得，，，，，
且与不同．
并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定．
同样地，由，，也仅能构造出．
综上，命题得证．
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