2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元专项练习09：
八种问题其五·圆柱与圆锥中的等积变形问题
1．如下图：甲容器中有一些水，深度为4.5分米，如将甲容器中的水倒入乙容器，此时水面的高度是多少？
2．把一块长3.14分米，宽2分米，高3分米的长方体铁块熔铸成一个底面直径是2分米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少分米？
3．把一个底面积为，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？
4．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？
5．把一个底面半径3厘米，高8分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是2分米的圆锥体。这个圆锥体的高是多少厘米？
6．把一块底面直径6厘米，高12厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米？
7．把一个棱长为15cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径是10cm的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（结果保留整数）
8．把一块长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个底面直径是的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留一位小数）
9．把一个长、宽、高分别是9cm、7cm、3cm的长方体铁块和一个棱长是5cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径是10cm的圆锥形铁块，这个圆锥的高是多少厘米？
10．将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高？
11．把一个长、宽、高分别为9cm、7cm、3cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10cm的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高有多少厘米？
12．把一块长15.7厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米、高24厘米的圆柱体铝块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥体铝块，这个圆锥体铝块的高是多少厘米？
13．把一块长30厘米，宽20厘米，高5厘米的长方形铝锭，和一底面周长为37.68（厘米），高30厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面圆半径为13厘米的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块的高是多少？（π=3.14）
14．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米。如果用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
15．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高3米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面，能够铺多少米？
16．将一个底面半径是3厘米，高16厘米的圆锥形容器装满水，倒入一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱形容器中，圆柱形容器中水面的高度是多少厘米？
17．有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是8厘米。乙水桶的底面半径是6厘米。甲水桶里没有水，乙水桶里有水且高度是25厘米，现把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使两只水桶里的水的高度一样。求这时甲水桶里有水多少立方厘米？
18．为了测量一个如图形状的酒瓶容积，一位同学先向酒瓶倒入了一些水，塞上瓶盖，量得了一些数据，再将酒瓶旋转过来又量得一些数据。你能帮他算一下酒瓶的容积吗？（单位：厘米）
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第三单元专项练习09：
八种问题其五·圆柱与圆锥中的等积变形问题
1．如下图：甲容器中有一些水，深度为4.5分米，如将甲容器中的水倒入乙容器，此时水面的高度是多少？
【答案】2分米
【分析】根据题意，已知甲容器的底面半径和水的深度，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积；
把甲容器中的水倒入乙容器，那么水的体积不变；先根据圆的面积公式S＝πr2，求出乙容器的底面积；再根据圆柱的高h＝V÷S，即可求出乙容器中水的高度。
【详解】水的体积：
3.14×22×4.5
＝3.14×4×4.5
＝56.52（立方分米）
乙容器的底面积：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方分米）
乙容器中水的高度：
56.52÷28.26＝2（分米）
答：此时水面的高度是2分米。
【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，明确甲、乙容器中水的体积不变是解题的关键。
2．把一块长3.14分米，宽2分米，高3分米的长方体铁块熔铸成一个底面直径是2分米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少分米？
【答案】6分米
【分析】把长方体铁块熔铸成一个圆柱形铁块，体积不变，则长方体的体积除以圆柱的底面积即可求出这个圆柱形铁块的高，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此计算即可。
【详解】
＝6.28×3÷[3.14×1]
＝18.84÷3.14
＝6（分米）
答：这个圆柱形铁块的高是6分米。
【点睛】本题考查长方体和圆柱的体积，明确体积不变是解题的关键。
3．把一个底面积为，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？
【答案】
【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出铁块体积，用铁块体积÷长方体底面积＝长方体的高，据此列出综合算式即可。
【详解】根据分析，列式为：
【点睛】关键是掌握圆柱和长方体的体积公式。
4．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？
【答案】4厘米
【分析】这个圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积，其中，圆柱的体积＝长方体的体积＋正方体的体积；长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的底面积＝×半径2。
【详解】7×3×9＋53
＝21×9＋125
＝189＋125
＝314（立方厘米）
3.14×（10÷2）2
＝3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
314÷78.5＝4（厘米）
答：这个圆柱的高是4厘米。
【点睛】利用圆柱和高及底面积之间的关系，代入数据即可求出结论，注意理清思路，抓住不变量。
5．把一个底面半径3厘米，高8分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是2分米的圆锥体。这个圆锥体的高是多少厘米？
【答案】5.4厘米
【分析】根据圆柱体积：，先算出圆柱体铁块的体积；圆锥体积与圆柱体积相等，再根据圆锥体积：，求出圆锥的高即可。
【详解】8分米＝80厘米
2分米＝20厘米
圆锥体积：
（立方厘米）
圆锥的高：
（厘米）
答：这个圆锥体的高是5.4厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。
6．把一块底面直径6厘米，高12厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米？
【答案】9厘米
【分析】根据题意，将一块圆柱形铁块熔铸成一个圆锥体，可知铁块的形状变了，但体积不变；先根据V柱＝πr2h，求出铁块的体积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥体的高。
【详解】铁块的体积：
3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（立方厘米）
圆锥的高：
339.12×3÷（3.14×62）
＝339.12×3÷113.04
＝1017.36÷113.04
＝9（厘米）
答：这个圆锥体的高是9厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
7．把一个棱长为15cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径是10cm的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（结果保留整数）
【答案】32cm
【分析】熔铸后，体积不变，先利用正方体的体积公式V＝a3求出正方体铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝，逆推公式，用铁块的体积除以和底面积的积即可。
【详解】
（cm）
答：这个圆锥形铁块的高约是32cm。
【点睛】此题的解题关键是根据等积变形的方法，利用转化的思想，借助正方体的体积公式和圆锥的体积公式，求出最终的结果。
8．把一块长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个底面直径是的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留一位小数）
【答案】9.2厘米
【分析】根据题意可知，长方体和圆锥的体积相等；根据 “长方体体积＝长×宽×高”求出长方体的体积，即圆锥的体积，再根据“圆锥的高＝体积×3÷底面积”解答即可。
【详解】12×8×10×3÷[3.14×（20÷2） ]
＝2880÷314
≈9.2（厘米）；
答：这个圆锥形铁块的高约是9.2厘米。
【点睛】明确长方体和圆锥的体积相等是解答本题的关键，熟记长方体和圆锥的体积计算公式。
9．把一个长、宽、高分别是9cm、7cm、3cm的长方体铁块和一个棱长是5cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径是10cm的圆锥形铁块，这个圆锥的高是多少厘米？
【答案】3cm
【分析】由题意可知，长方体的体积与正方体的体积之和等于圆锥的体积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。
【详解】（9×7×3＋5×5×5）×3÷（3.14×102）
＝（189＋125）×3÷（3.14×100）
＝314×3÷314
＝3（厘米）
答：这个圆锥的高是3厘米。
【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积公式的灵活运用。
10．将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高？
【答案】96厘米
【分析】首先要明确铝块无论被压成什么形状，它的体积是不变的，因此可以分别求出两块铝块的体积，也就等于知道了圆柱形铝块的体积，从而利用圆柱体的体积公式即可求出圆柱形铝块的高。
【详解】（×3.14×202×27+3.14×302×20）÷（3.14×152），
=（3.14×400×9+3.14×900×20）÷（3.14×225），
=（1256×9+2826×20）÷706.5，
=（11304+56520）÷706.5，
=67824÷706.5，
=96（厘米）；
答：这个圆的高是96厘米。
11．把一个长、宽、高分别为9cm、7cm、3cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10cm的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高有多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】由题意可知，长方体的体积与正方体的体积之和等于圆锥的体积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。
【详解】9×7×3＋53
＝189＋125
＝314（立方厘米）
10÷2＝5（厘米）
314×3÷（3.14×52）
＝942÷78.5
＝12（厘米）
答：圆锥形铁块的高是12厘米。
【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积公式的灵活运用。
12．把一块长15.7厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米、高24厘米的圆柱体铝块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥体铝块，这个圆锥体铝块的高是多少厘米？
【答案】19.5厘米
【详解】试题分析：根据熔铸后体积不变，进行解答：先根据“长方体的体积=长×宽×高”求出长方体铝锭的体积；然后根据“圆柱的体积=πr2h”求出圆柱形铝块的体积，进而根据体积不变，得出圆锥的体积，继而根据“圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积”解答即可；
解：[（15.7×8×5+3.14×（6÷2）2×24]×3÷（3.14×82），
=[628+678.24]×3÷200.96，
=3918.72÷200.96，
=19.5（厘米）；
答：这个圆锥形铝块的高是19.5厘米．
点评：解答此题的关键是要明确体积不变，即长方体铝锭的体积和圆柱形铝块的体积和为后来熔铸成的圆锥的体积，然后根据圆锥体积和底面积及高的关系进行解答即可．
13．把一块长30厘米，宽20厘米，高5厘米的长方形铝锭，和一底面周长为37.68（厘米），高30厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面圆半径为13厘米的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块的高是多少？（π=3.14）
【答案】36厘米
【详解】试题分析：根据熔铸后体积不变，进行解答：先根据“长方体的体积=长×宽×高”求出长方体铝锭的体积；然后根据“圆柱的体积=πr2h”求出圆柱形铝块的体积，进而根据体积不变，得出圆锥的体积，继而根据“圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积”解答即可；
解：[（30×20×5+3.14×（37.68÷3.14÷2）2×30]×3÷（3.14×132），
=[3000+3391.2]×3÷530.66，
=19173.6÷530.66，
≈36（厘米）；
答：这个圆锥形铝块的高是36厘米．
点评：解答此题的关键是要明确体积不变，即长方体铝锭的体积和圆柱形铝块的体积和为后来熔铸成的圆锥的体积，然后根据圆锥体积和底面积及高的关系进行解答即可．
14．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米。如果用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
【答案】25.12米
【分析】圆锥形沙堆的体积为：，公路上铺沙是长方体的体积为：长×宽×高，两者体积相等，计算可得出铺的长度。
【详解】2厘米米
圆锥形沙堆体积为：
（立方米）
能铺路的长度为：（米）
答：能铺25.12米。
【点睛】本题主要考查的是圆锥体积及长方体体积的应用，解题的关键是熟练掌握圆锥体积及长方体体积计算公式，进而得出答案。
15．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高3米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面，能够铺多少米？
【答案】31.4米
【分析】4厘米＝0.04米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×22×3×即可求出沙堆的体积，然后根据长方体的体积公式，用沙堆的体积÷10÷0.04即可求出铺的米数。
【详解】3.14×22×3×
＝3.14×4×3×
＝12.56（立方米）
4厘米＝0.04米
12.56÷10÷0.04＝31.4（米）
答：能够铺31.4米。
【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式和长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
16．将一个底面半径是3厘米，高16厘米的圆锥形容器装满水，倒入一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱形容器中，圆柱形容器中水面的高度是多少厘米？
【答案】3厘米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出水的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用水的体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱形容器中水面的高度。
【详解】×3.14×32×16
＝×3.14×9×16
＝×9×3.14×16
＝3×3.14×16
＝9.42×16
＝150.72（立方厘米）
150.72÷[3.14×（8÷2）2]
＝150.72÷[3.14×42]
＝150.72÷[3.14×16]
＝150.72÷50.24
＝3（厘米）
答：圆柱形容器中水面的高度是3厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
17．有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是8厘米。乙水桶的底面半径是6厘米。甲水桶里没有水，乙水桶里有水且高度是25厘米，现把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使两只水桶里的水的高度一样。求这时甲水桶里有水多少立方厘米？
【答案】1808.64立方厘米
【分析】根据圆柱的体积公式：，设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米，再根据数量关系式：甲桶水的体积+乙桶水的体积=甲桶原来的水的体积，列方程求出水的高，然后把数据代入公式解答即可。
【详解】解：设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米。
3.14×82×9＝1808.64（立方厘米）
答：这时甲水桶里有水1808.64立方厘米。
18．为了测量一个如图形状的酒瓶容积，一位同学先向酒瓶倒入了一些水，塞上瓶盖，量得了一些数据，再将酒瓶旋转过来又量得一些数据。你能帮他算一下酒瓶的容积吗？（单位：厘米）
【答案】1256立方厘米
【分析】瓶子的底面直径和正放时水的高度已知，根据圆柱的体积公式：，代入数据即可求出瓶内水的体积，同样的方法，可以求出倒放时空余部分的体积，然后根据酒瓶的容积＝水的体积＋倒放时空余部分的体积，即可求出酒瓶的容积。
【详解】水的体积：
（立方厘米）
倒放时空余部分的体积：
（立方厘米）
（立方厘米）
答：酒瓶的容积是1256立方厘米。
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