2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元专项练习07：
八种问题其三·圆柱与圆锥的关系问题
一、填空题。
1．一个圆锥的底面直径为4厘米，圆锥的体积为62.8立方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
【答案】15
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝π×底面半径2×高×，高＝圆锥的体积÷π÷底面半径2÷，代入数据，即可解答。
【详解】62.8÷3.14÷（4÷2）2÷
＝20÷22÷
＝20÷4×3
＝5×3
＝15（厘米）
一个圆锥的底面直径为4厘米，圆锥的体积为62.8立方厘米，这个圆锥的高是15厘米。
2．有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是( )个。
【答案】12
【分析】等底等高的圆锥的体积等于圆柱的，即3个圆锥熔成1个圆柱，用圆锥的个数÷3，即可求出圆柱的个数，据此解答。
【详解】36÷3＝12（个）
有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是12个。
3．把一个圆柱加工成与它等底等高的圆锥，圆柱的体积与去掉的体积之比是( )∶( )。
【答案】 3 2
【分析】根据圆柱与等底等高的圆锥体积关系可知，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，一个圆柱加工成与它等底等高的圆锥，把圆柱的体积看作1，加工成圆锥后，圆锥的体积变成了原来的，那就是去掉了原来的（1－），据此求出圆柱的体积与去掉部分的体积比。
【详解】1∶（1－）
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶2
把一个圆柱加工成与它等底等高的圆锥，圆柱的体积与去掉的体积之比是3∶2。
4．把一个底面积是40cm2、高是12cm的圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。
【答案】160
【分析】圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
【详解】40×12÷3＝160（cm3）
这个圆锥的体积是160cm3。
5．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是( )。
【答案】3厘米
【分析】根据，得出底面积＝3×圆锥的体积÷高，由此求出底面积也是铸成一个圆柱形钢坯的底面积。再根据铸造的过程中体积不变，即2个圆锥钢坯的体积等于一个圆柱形钢坯，由此再利用圆柱的体积公式求出铸成一个圆柱形钢坯的高。
【详解】3×18.84÷4.5＝12.56（平方厘米）
18.84×2＝37.68（立方厘米）
37.68÷12.56＝3（厘米）
则改铸后的圆柱形钢坯的高应是3厘米。
6．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，已知圆柱的体积比圆锥多8dm3，则圆柱的体积是( )dm3。圆锥的体积是( )dm3。
【答案】 12 4
【分析】一个圆柱和一个圆锥等底、等高，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1倍量，则圆柱体积看作3倍量，圆柱体积比圆锥体积多的部分看作倍量，根据圆柱的体积比圆锥多8dm3，用8除以2求出圆锥体积，再求出圆柱的体积，据此解答即可。
【详解】圆锥的体积：8÷（3－1）
＝8÷2
＝4（立方分米）
圆柱的体积：4×3＝12（立方分米）
所以圆柱的体积是12立方分米，圆锥的体积是4立方分米。
7．在一个圆柱形的容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥形容器里，可以倒满( )个这样的圆锥形容器。如果这个圆锥形容器的容积是18毫升，那么圆柱形容器的容积是( )毫升。
【答案】 3 54
【分析】等底等高的圆柱与圆锥的体积之间存在明确的数学关系： 等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍 。 据此解答。
【详解】由分析得：
在一个圆柱形的容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥形容器里，可以倒满3个这样的圆锥形容器。
18×3＝54（毫升）
因此如果这个圆锥形容器的容积是18毫升，那么圆柱形容器的容积是54毫升。
8．一个圆锥与一个圆柱等底等高，它们的体积之和是48dm3，其中圆锥的体积是( )dm3，圆柱的体积是( )dm3。
【答案】 12 36
【分析】等底等高的圆锥和圆柱，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，则它们的体积之和就是4份，即48 dm3，据此求出其中的1份，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积。
【详解】48÷（1＋3）
＝48÷4
＝12（dm3）
12×3＝36（dm3）
所以圆锥的体积是12 dm3，圆柱的体积是36 dm3。
9．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差32立方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
【答案】 16 48
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差2个圆锥的体积。据此，用32立方厘米除以2，求出圆锥的体积，再将其乘3，求出圆柱的体积即可。
【详解】32÷2＝16（立方厘米）
16×3＝48（立方厘米）
即这个圆锥的体积是16立方厘米，圆柱的体积是48立方厘米。
10．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。
【答案】10.4
【分析】根据题意，假设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“”、圆锥的体积计算公式“”、代入数据即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积，进而求出它们的体积之比，然后化简；放入物体的体积等于水上升部分的体积，根据底面积相同，体积之比等于高之比，所以体积之比9∶2也就是它们的上升的高度之比9∶2；把圆柱体铁块看作9份，圆锥体铁块看作2份，用水面升高的高度分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度。
【详解】圆柱铁块的体积∶圆锥铁块的体积
（分米）
（分米）
现在水面高度是10.4分米。
【点睛】解答本题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据底面积相同，体积之比等于高之比，求出放入圆锥后对应升高的高度。
二、选择题。
11．有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。
A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5
【答案】D
【分析】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出体积列比并化简即可。
【详解】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6。
圆柱的体积：2×3＝6
圆锥的体积：5×6×
＝30×
＝10
6∶10＝3∶5
这个圆柱和圆锥的体积之比是3∶5。
故答案为：D
12．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是( )。
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9
【答案】B
【分析】一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，可以假设该圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，它们体积的比是1∶1，假设它们的体积都为1，根据圆柱体积公式：V＝πr2h，推出圆柱的高为：h＝V÷πr2，圆锥的体积公式：V＝πr2h，推出圆锥的高为：h＝V×3÷πr2，分别将数据代入，求出圆柱和圆锥的高，据此写出圆柱和圆锥高的比。
【详解】假设圆柱底面半径为2，圆锥底面半径为3，假设它们的体积都为1。
圆柱的高：
圆锥的高：
圆柱和圆锥高的比：
圆柱和圆锥高的比是3∶4。
故答案为：B
13．将一个高27cm的圆锥形容器装满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是( )cm。
A．81 B．27 C．13 D．9
【答案】D
【分析】等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接用圆锥形容器的高÷3，即可求出圆柱形容器中水的高度。
【详解】27÷3＝9（cm）
水的高度是9cm。
故答案为：D
14．如图，一个密封的容器是由底面半径4厘米的圆柱和圆锥合成的，里面盛有水高15厘米，如果将容器倒置过来，水高是( )厘米。
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆锥和圆柱等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍；由此求出圆锥里9厘米高的水，相当于圆柱里水的高度是9÷3＝3厘米；原来圆柱里水的高度是15－9＝6厘米；将容器倒置过来后，圆柱里水的高度是（6＋3）厘米。
【详解】15－9＝6（厘米）
9÷3＝3（厘米）
6＋3＝9（厘米）
如果将容器倒置过来，水高是9厘米。
故答案为：B
15．如图呈现的是一瓶已经喝掉一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯。图中h＝h1，d＝d1，如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，那么最多可以倒满( )杯。（容器壁厚忽略不计）。
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的（3×2）倍。据此解答。
【详解】3×2＝6（杯）
所以最多可以倒满6杯。
故答案为：B
三、解答题。
16．如图所示，在圆柱上挖去一个最大的圆锥，求剩下图形的体积。（单位：厘米，结果保留一位小数）
【答案】2093.3立方厘米
【分析】观察图形可知，在圆柱上挖去一个最大的圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高，也就是圆锥的体积是圆柱的，则剩下的体积是圆柱的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h， 计算即可。
【详解】3.14×（20÷2）2×10×（1－）
＝3.14×100×10×
＝314×10×
＝3140×
≈2093.3（立方厘米）
答：剩下图形的体积是2093.3立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，明确等底等高的圆柱和圆锥的体积的关系是解题的关键。
17．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是3厘米、高是6厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？（π取3.14）
【答案】113.04立方厘米
【分析】把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的，削去的体积则为圆柱体积的（1－），再利用圆柱的体积公式求出圆柱形积木的体积，再乘（1－）即可求出削去木料的体积。
【详解】3.14×32×6×（1－）
＝3.14×9×6×
＝28.26×6×
＝113.04（立方厘米）
答：加工制作过程中削去木料的体积是113.04立方厘米。
【点睛】此题主要考查等底等高的圆锥和圆柱体积之间关系的灵活运用。
18．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。
【答案】不合理；理由见详解
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱的价格应当是圆锥的3倍，由此即可解答。
【详解】3.14×（8÷2）2×12
＝3.14×42×12
＝3.14×16×12
＝602.88（立方厘米）
602.88×＝200.96（立方厘米）
602.88÷200.96＝3
所以A包装的沙冰价格也应该是B包装的沙冰价格的3倍。
15÷10＝1.5
现在的A包装的沙冰价格是B包装的沙冰价格的1.5倍，现在这样定价不合理。
15÷3＝5（元）
10×3＝30（元）
答：我认为这样定价不合理，A包装的价钱应当是B包装的3倍；定价建议如下：如果A包装定价为15元，则B包装定价5元，如果B包装定价为10元，则A包装定价为30元。
【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。
19．如图，将等底等高的两个零件圆锥A和圆柱B重新熔化，铸造成一个新的零件长方体C，已知圆柱的底面半径3厘米，高是5厘米。长方体C的体积是多少立方厘米？
【答案】188.4立方厘米
【分析】根据圆柱体积公式：V＝，代入数据，求出圆柱的体积，再根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的，求出圆锥的体积，圆柱的体积加上圆锥的体积，即是长方体的体积。
【详解】
＝
＝141.3（立方厘米）
141.3＋141.3×
＝141.3＋47.1
＝188.4（立方厘米）
答：长方体C的体积是188.4立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是先求出圆柱的体积，再利用等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，进而求出熔化后的长方体的体积。
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第三单元专项练习07：
八种问题其三·圆柱与圆锥的关系问题
一、填空题。
1．一个圆锥的底面直径为4厘米，圆锥的体积为62.8立方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
2．有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是( )个。
3．把一个圆柱加工成与它等底等高的圆锥，圆柱的体积与去掉的体积之比是( )∶( )。
4．把一个底面积是40cm2、高是12cm的圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。
5．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是( )。
6．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，已知圆柱的体积比圆锥多8dm3，则圆柱的体积是( )dm3。圆锥的体积是( )dm3。
7．在一个圆柱形的容器里盛满水后，倒入和它等底等高的圆锥形容器里，可以倒满( )个这样的圆锥形容器。如果这个圆锥形容器的容积是18毫升，那么圆柱形容器的容积是( )毫升。
8．一个圆锥与一个圆柱等底等高，它们的体积之和是48dm3，其中圆锥的体积是( )dm3，圆柱的体积是( )dm3。
9．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差32立方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
10．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。
二、选择题。
11．有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。
A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5
12．一个圆柱和一个圆锥，底面圆的半径的比是2∶3，它们体积的比是1∶1，圆柱和圆锥高的比是( )。
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9
13．将一个高27cm的圆锥形容器装满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是( )cm。
A．81 B．27 C．13 D．9
14．如图，一个密封的容器是由底面半径4厘米的圆柱和圆锥合成的，里面盛有水高15厘米，如果将容器倒置过来，水高是( )厘米。
A．8 B．9 C．10 D．11
15．如图呈现的是一瓶已经喝掉一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯。图中h＝h1，d＝d1，如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，那么最多可以倒满( )杯。（容器壁厚忽略不计）。
A．4 B．6 C．7 D．8
三、解答题。
16．如图所示，在圆柱上挖去一个最大的圆锥，求剩下图形的体积。（单位：厘米，结果保留一位小数）
17．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是3厘米、高是6厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？（π取3.14）
18．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。
19．如图，将等底等高的两个零件圆锥A和圆柱B重新熔化，铸造成一个新的零件长方体C，已知圆柱的底面半径3厘米，高是5厘米。长方体C的体积是多少立方厘米？
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