2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元专项练习10：
八种问题其六·排水法求不规则物体的体积
【第一部分 圆柱】
1．一个内直径16厘米的圆柱形容器中装有一些水。把一块石头放入这个容器，石头被完全没入水中，水面上升了2厘米（水未溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？
【答案】401.92立方厘米
【分析】根据题意，把一块石头完全没入装有一些水的圆柱形容器中，水面上升了2厘米，那么水上升部分的体积等于这块石头的体积；水上升部分是一个直径为16厘米，高为2厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。
【详解】3.14×（16÷2）2×2
＝3.14×64×2
＝200.96×2
＝401.92（立方厘米）
答：这块石头的体积是401.92立方厘米。
【点睛】本题考查不规则物体体积的算法，关键是把求石头的体积转移到求水上升部分的体积，再根据圆柱的体积公式列式计算。
2．一个圆柱形玻璃杯，底面直径12厘米，高10厘米，里面装了一些水，然后把一个钢块完全浸没于这个水杯中，杯中的水面上升了3厘米，这个钢块的体积是多少？
【答案】339.12立方厘米
【分析】根据物体的体积＝上升部分水的体积，物体的体积＝底面积×上升部分的高度，根据圆柱的体积公式：圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（12÷2）2×3即可求出钢铁的体积。据此解答。
【详解】3.14×（12÷2）2×3
＝3.14×62×3
＝3.14×36×3
＝339.12（立方厘米）
答：这个钢块的体积是339.12立方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆柱体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。
3．龙一鸣想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：
（1）向容器中注入一定量的水，接着把一个棱长为6厘米的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了2厘米。
（2）将15个同样的玻璃球完全浸没在水中后，量得水面上升了3厘米。
请你根据以上信息计算一个玻璃球的体积。
【答案】21.6立方厘米
【分析】（1）首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体的体积，用正方体的体积除以水面下降的高求出圆柱形容器的底面积。
（2）根据圆柱的体积公式：V＝Sh，求出15个玻璃球的体积，然后再除以15就是一个玻璃球的体积，据此解答即可。
【详解】6×6×6÷2×3÷15
＝216÷2×3÷15
＝108×3÷15
＝324÷15
＝21.6（立方厘米）
答：一个玻璃球的体积是21.6立方厘米。
【点睛】此题主要考查正方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．一个长方体水箱的长是50厘米，宽是40厘米，把一块底面半径是10厘米，高是10厘米的圆柱形铁块放入水箱，铁块全部没入水中（水未溢出），水面会上升多少厘米？
【答案】1.57厘米
【分析】圆柱形铁块完全浸没在水里后，圆柱形铁块的体积＝水面上升的体积，先利用圆柱的体积公式求出圆柱形铁块的体积，再根据长方体的体积公式，用铁块的体积除以长方体水箱的底面积，即可求出水面上升的高度。
【详解】3.14×102×10÷（50×40）
＝3.14×100×10÷2000
＝3140÷2000
＝1.57（厘米）
答：水面会上升1.57厘米。
【点睛】此题的解题关键是通过转化的数学思想，灵活运用圆柱和长方体的体积公式，解决问题。
5．王珊利用一个底面周长25.12厘米（容器材质厚度忽略不计），高20厘米的圆柱形容器测量一个苹果的体积，他先在容器中加入8厘米高的水，再将苹果放进容器，待苹果完全浸没在水中（此过程中水没有溢出），量的水高14厘米。这个苹果的体积是多少立方厘米？
【答案】301.44立方厘米
【分析】上升部分水的体积就是苹果的体积，先求出上升部分水的高度，再用底面周长除以π，除以2，求出这个圆柱形容器的底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，求出上升部分水的体积即可。
【详解】14－8＝6（厘米）
25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝50.24×6
＝301.44（立方厘米）
答：这个苹果的体积是301.44立方厘米。
【点睛】本题考查学生灵活运用圆柱体的知识，解决实际问题的能力，要理解上升的水的体积就是这个苹果的体积。
6．小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？
【答案】60.288立方厘米
【分析】根据求不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】3.14×（8÷2）2×（6.2－5）
＝3.14×16×1.2
＝50.24×1.2
＝60.288（立方厘米）
答：这只鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱的体积，明确上升的水的体积就是鸡蛋的体积是解题的关键。
7．在一个圆柱形水桶中，把一段半径为4厘米的圆柱形钢材浸没在水中，水面上升10厘米，把它垂直拉出水面6厘米，水面下降4厘米。这段钢材的体积是多少？
【答案】753.6立方厘米
【分析】根据题意可知，拉出水面6厘米，水面下降4厘米，下降的部分的体积等于底面半径为4厘米，高为6厘米的圆柱的体积；据此求出下降4厘米的水的体积；根据圆柱的体积公式：底面积×高；代入数据，求出这部分体积；再根据圆柱体积＝底面积×高；底面积＝圆柱的体积÷高，求出圆柱形的储水桶的底面积，再用圆柱形的储水桶的底面积×水面上升10厘米，就是这段钢材的体积，据此解答。
【详解】3.14×42×6÷4×10
＝50.24×6÷4×10
＝301.44÷4×10
＝75.36×10
＝753.6（立方厘米）
答：这段钢材的体积是753.6立方厘米。
【点睛】根据拉出6厘米，根据水面下降部分的面积求得储水桶的底面积，抓住水上升的体积与钢材的体积的关系即可解决问题。
8．一个圆柱形水槽（如图），底面积是400平方厘米，内盛有12厘米深的水。将一个棱长为8厘米的正方体铁块放入水中（铁块完全浸没在水中，且水没有溢出），水面将上升到多少厘米？
【答案】13.28厘米
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出铁块的体积，然后用铁块的体积除以水槽的底面积即可求出水面上升的高度，然后用原有水的高度加上上升的高度即可求解。
【详解】8×8×8÷400＋12
＝64×8÷400＋12
＝512÷400＋12
＝1.28＋12
＝13.28（厘米）
答：水面将上升到13.28厘米。
【点睛】本题考查正方体的体积、圆柱的体积的综合运用，熟记公式是解题的关键。
9．如图，一个高为10厘米，容积为50毫升的圆柱形容器里装满了水，现把一个高为16厘米的圆柱形小棒垂直放入容器。使小棒的底面与容器的底面接触。这时一部分水从容器中溢出。当把小棒从容器中拿出后，容器中水的高度为7厘米，小棒的体积是多少立方厘米？
【答案】24立方厘米
【分析】根据底面积＝容积÷高，求出圆柱体的底面积，用圆柱体容器的高度减去取出小棒后水的高度，得出溢出水的高度。进而求出溢出水的体积。用溢出水的体积除以10求出小棒的底面积，再乘16，即可求出小棒的体积是多少立方厘米。
【详解】50毫升＝50立方厘米
50÷10＝5（平方厘米）
5×（10－7）
＝5×3
＝15（立方厘米）
15÷10×16
＝1.5×16
＝24（立方厘米）
答：小棒的体积是24立方厘米。
【点睛】本题考查利用体积和容积公式，解决实际问题。熟练掌握公式是解决本题的关键。
10．一个圆柱体容器，从里面量得底面直径是16厘米，比容器中盛有水的深度多，现在把一块铜块放入，待完全浸没到水中后，水面上升了（水未溢出），这块铜块的体积是多少立方厘米？
【答案】1004.8立方厘米
【分析】首先利用直径的长度除以（1＋）求出原来水的深度，再利用水的深度乘求出放入铜块后水面上升的高度，再利用底面积乘上升的厘米数即可。
【详解】16
＝16
＝10（厘米）
10×＝5（厘米）
3.14×（16÷2）2×5
＝3.14×320
＝1004.8（立方厘米）
答：这块铜块的体积是1004.8立方厘米。
【点睛】此题主要考查某些实物体积的测量方法，掌握圆柱体的体积公式也是解题的关键。
【第二部分 圆锥】
1．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。
【详解】下降的水的体积为：
（立方厘米）
圆锥铁块的高为：
＝12（厘米）
答：这个圆锥体的高是12厘米。
2．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。
（1）圆柱形容器的高是多少厘米？
（2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？
【答案】（1）10厘米
（2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米
【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可；
（2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。
【详解】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米
452.16÷（1－60%）
＝452.16÷40%
＝1130.4（立方厘米）
1130.4÷（12÷2）2÷3.14
＝1130.4÷62÷3.14
＝1130.4÷36÷3.14
＝31.4÷3.14
＝10（厘米）
答：圆柱形容器的高是10厘米。
（2）（12÷2）2×0.5×3.14
＝62×0.5×3.14
＝36×0.5×3.14
＝18×3.14
＝56.52（立方厘米）
56.52×＝42.39（立方厘米）
56.52－42.39＝14.13（立方厘米）
42.39÷6＝7.065（平方厘米）
答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。
3．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算）
（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？
（2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？
【答案】（1）99平方分米
（2）27厘米
【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。
（2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。
【详解】（1）
（平方分米）
答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。
（2）
（立方厘米）
答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。
4．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？
【答案】27厘米
【分析】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积；
已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。
【详解】水下降部分的体积（圆锥的体积）：
3.14×302×1
＝3.14×900×1
＝2826（立方厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
2826×3÷314
＝8478÷314
＝27（厘米）
答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。
5．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？
【答案】6分米
【分析】把容器的高度看作单位“1”，根据容器里装有的水，可知此时水的高度是（8×）分米。圆锥放入其中〈全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，说明容器内水面上升了（8－8×）分米。由此利用圆柱的体积公式先求出容器中上升部分的水的体积，即得出圆锥的体积，再利用圆锥的高＝3×体积÷圆锥的底面积，即可解决问题。
【详解】8－8×
＝8－6
＝2（分米）
3.14×（4÷2）2×2
＝3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（立方分米）
25.12×3÷（3.14×22）
＝75.36÷（3.14×4）
＝75.36÷12.56
＝6（分米）
答：这个圆锥的高是6分米。
6．在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？
【答案】1570立方厘米
【分析】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。
【详解】1分米＝10厘米
铅锤体积：
（立方厘米）
答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。
7．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？
【答案】56.52立方厘米
【分析】根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】
（立方厘米）
答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。
8．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？
【答案】112平方厘米
【分析】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。
【详解】浸在水中部分体积：
14×14×（12－8）
＝196×4
＝784（立方厘米）
露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）；
其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的；
露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝
小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8
浸在水中部分体积：
（1－）＝
784÷
＝784×
＝896（立方厘米）
大圆锥底面积：
896÷（12×2×）
＝896÷（24×）
＝896÷8
＝112（平方厘米）
答：圆锥的底面积是112平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元专项练习10：
八种问题其六·排水法求不规则物体的体积
【第一部分 圆柱】
1．一个内直径16厘米的圆柱形容器中装有一些水。把一块石头放入这个容器，石头被完全没入水中，水面上升了2厘米（水未溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？
2．一个圆柱形玻璃杯，底面直径12厘米，高10厘米，里面装了一些水，然后把一个钢块完全浸没于这个水杯中，杯中的水面上升了3厘米，这个钢块的体积是多少？
3．龙一鸣想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：
（1）向容器中注入一定量的水，接着把一个棱长为6厘米的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了2厘米。
（2）将15个同样的玻璃球完全浸没在水中后，量得水面上升了3厘米。
请你根据以上信息计算一个玻璃球的体积。
4．一个长方体水箱的长是50厘米，宽是40厘米，把一块底面半径是10厘米，高是10厘米的圆柱形铁块放入水箱，铁块全部没入水中（水未溢出），水面会上升多少厘米？
5．王珊利用一个底面周长25.12厘米（容器材质厚度忽略不计），高20厘米的圆柱形容器测量一个苹果的体积，他先在容器中加入8厘米高的水，再将苹果放进容器，待苹果完全浸没在水中（此过程中水没有溢出），量的水高14厘米。这个苹果的体积是多少立方厘米？
6．小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？
7．在一个圆柱形水桶中，把一段半径为4厘米的圆柱形钢材浸没在水中，水面上升10厘米，把它垂直拉出水面6厘米，水面下降4厘米。这段钢材的体积是多少？
8．一个圆柱形水槽（如图），底面积是400平方厘米，内盛有12厘米深的水。将一个棱长为8厘米的正方体铁块放入水中（铁块完全浸没在水中，且水没有溢出），水面将上升到多少厘米？
9．如图，一个高为10厘米，容积为50毫升的圆柱形容器里装满了水，现把一个高为16厘米的圆柱形小棒垂直放入容器。使小棒的底面与容器的底面接触。这时一部分水从容器中溢出。当把小棒从容器中拿出后，容器中水的高度为7厘米，小棒的体积是多少立方厘米？
10．一个圆柱体容器，从里面量得底面直径是16厘米，比容器中盛有水的深度多，现在把一块铜块放入，待完全浸没到水中后，水面上升了（水未溢出），这块铜块的体积是多少立方厘米？
【第二部分 圆锥】
1．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
2．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。
（1）圆柱形容器的高是多少厘米？
（2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？
3．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算）
（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？
（2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？
4．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？
5．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？
6．在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？
7．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？
8．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？
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