2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥
【从课内到奥数】
【课内精选一】圆锥的认识。
一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。
【答案】 1/一 扇
【详解】
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，一个圆锥只有1条高；
圆锥的侧面：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。
【专项训练】
1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。
【答案】圆柱：底面 侧面 高 底面
圆锥：顶点 侧面 高 底面
【详解】圆柱和圆锥的特点，主要是从其形状、组成、面等方面来观察和研究的．圆柱的上下两个面是两个完全相同的圆，叫做底面．有一个面是曲面，叫做侧面，圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。圆锥有一个顶点和两个面（一个底面是圆，一个曲面是侧面），从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。
2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。
【答案】12
【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此分析。
【详解】因为从顶点到底面圆心的距离是12cm，所以这个圆锥的高是12cm。
3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。
【答案】 4 4
【分析】看图可知，圆锥的底面半径是2cm，根据半径与直径的关系确定直径；圆锥的高是4cm，据此填空。
【详解】（cm）
将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是4cm，高是4cm。
【课内精选二】圆锥的切面积。
一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。
【答案】54平方厘米/54cm2
【分析】沿高把圆锥切成两个完全相等的部分，切面是一个等腰三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，切开之后表面积比原来增加两个切面的面积，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出增加的表面积，据此解答。
【详解】6×9÷2×2
＝54÷2×2
＝54（平方厘米）
所以，表面积增加了54平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确切面是一个等腰三角形，并掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。
【专项训练】
1．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。
【答案】96
【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形；
根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。
【详解】圆锥的底面直径：4×2＝8（厘米）
表面积增加了：8×12÷2×2＝96（平方厘米）
表面积比原来圆锥的表面积增加了96平方厘米。
2．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。
【答案】96
【分析】从圆锥的顶点沿着高把它切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此求出圆锥的底面直径即可解决问题。
【详解】切割后表面积增加了：4×2×12÷2×2
＝96÷2×2
＝96（平方厘米）
【点睛】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键。
3．一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。
【答案】288
【分析】一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加的是底为24厘米，高为12厘米的两个三角形的面积，据此解答即可。
【详解】24×12÷2×2
＝144×2
＝288（平方厘米）
【点睛】本题考查圆锥的表面积、三角形的面积，解答本题的关键是理解增加的表面积是两个三角形的面积。
【课内精选三】圆锥的体积（一）。
一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是25.12米，高是1.5米。如果每立方米小麦重760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数）
【答案】19.1吨
【分析】圆锥的底面周长＝2πr，则半径＝底面周长÷π÷2，圆锥的体积＝底面积×高÷3＝πr2h÷3，先求出圆锥的底面半径，再求出圆锥的体积，用圆锥的体积乘760千克求出这堆小麦有多少千克，再转换成吨即可，“四舍五入”保留到一位小数。
【详解】25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
3.14×42×1.5÷3
＝3.14×16×1.5÷3
＝50.24×1.5÷3
＝75.36÷3
＝25.12（立方米）
25.12×760＝19091.2（千克）≈19.1（吨）
答：这堆小麦大约重19.1吨。
【专项训练】
1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是18.84米，高1.5米，每立方米的黄沙重2吨，这堆沙重多少吨？
【答案】28.26吨
【分析】根据底面周长计算出圆锥形沙堆的半径，，然后根据圆锥的体积公式，求出沙的体积，再乘每立方米黄沙的质量，即可算出这堆沙的质量。
【详解】
（米）
（立方米）
（吨）
答：这堆沙重28.26吨。
2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只蚁狮挖出47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是6厘米，陷阱有多深？
【答案】5厘米
【分析】求陷阱的深度，就是求这个圆锥形的洞穴的高度，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷（底面积×），代入数据，即可解答。
【详解】47.1÷[3.14×（6÷2）2×]
＝47.1÷[3.14×32×]
＝47.1÷[3.14×9×]
＝47.1÷[28.26×]
＝47.1÷9.42
＝5（厘米）
答：陷阱深5厘米。
3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是8厘米，高是6厘米。如果每立方分米糯米重1.8千克，那么包100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽叶厚度忽略不计）
【答案】18.0864千克
【分析】先根据圆锥体积＝，算出每个粽子的体积，再计算出100个粽子的体积，最后用总体积乘1.8，把总体积算换成糯米的重量。据此解答即可。
【详解】8厘米＝0.8分米，6厘米＝0.6分米
（千克）
答：包100个这样的粽子一共需要18.0864千克糯米。
【课内精选四】圆锥的体积（二）。
在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？
【答案】6厘米
【分析】水面下降的体积就是铅锥的体积，圆柱形杯子的底面半径×水面下降的高度＝铅锥体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铅锥的高，注意统一单位。
【详解】5毫米＝0.5厘米
3.14×102×0.5
＝3.14×100×0.5
＝157（立方厘米）
157×3÷（3.14×52）
＝471÷（3.14×25）
＝471÷78.5
＝6（厘米）
答：铅锥高6厘米。
【专项训练】
1．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积；
水面上升部分是一个底面半径为4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积；
已知圆锥形铅锤的底面直径是8厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铅锤的底面积；
由圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。
【详解】圆锥形铅锤的体积：
3.14×42×（12－10）
＝3.14×16×2
＝100.48（立方厘米）
圆锥形铅锤的底面积：
3.14×（8÷2）2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
圆锥形铅锤的高：
100.48×3÷50.24
＝301.44÷50.24
＝6（厘米）
答：这个铅锤的高是6厘米。
2．一个底面半径为6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底面半径3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5毫米，这个圆锥形铅锤的高是多少？
【答案】6厘米
【分析】根据题意得：圆锥形铅锤的体积等于圆柱水面下降的体积，圆柱体积＝，可得出圆锥形铅锤的体积，再根据圆锥体积＝，可得出圆锥形铅锤的高。
【详解】圆锥形铅锤体积为：（立方厘米）
则圆锥形铅锤的高为：
（厘米）
答：这个圆锥形铅锤的高是6厘米。
3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计）
【答案】45厘米
【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.5厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。
【详解】31.4平方分米＝3140平方厘米
3140×1.5×3÷（3.14×102）
＝3140×1.5×3÷（3.14×100）
＝3140×1.5×3÷314
＝14130÷314
＝45（厘米）
答：这个圆锥的高是45厘米。
【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。
一个圆锥的体积是8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米
解析：
既然这个圆柱与圆锥等底等高，那么,圆柱的体积应该是圆锥的3倍。
所以8×3－8=16(立方厘米)
答：圆锥体积比与它等底等高的圆柱体积少16立方厘米。
【专项训练】
1. 一个圆锥形容器的高是18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米
解析：
圆柱与圆锥的底面积相等，液体的体积没有发生变化，因此，圆锥形容器内液体的高应该是圆柱形容器内液体高的3倍，18÷3=6(厘米)
答：液体的高度是6厘米。
2. 一个圆柱体铁块厚10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米
解析：
10×3=30(厘米)
答：这个圆锥体的高是30厘米。
3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，这个圆柱的体积是圆锥体积的多少倍
解析：
设圆柱与圆锥的底面积都为1(平方单位)，圆锥的高为1(长度单位)，圆柱的高为2(长度单位)。
(1×2)÷(1×1÷3)=6
答：这个圆柱的体积是圆锥体积的6倍。
【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。
一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是31.4米、高1.2米，若把这些稻谷装到一个底面半径是2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高
解析：
我们先计算圆锥体稻谷堆的体积，然后除以圆柱体粮囤的底面积，便可以得到稻谷堆的高度，所以
3.14×(31.4÷3.14÷2) ×1.2×÷(3.14×2 )
=3.14×25×0.4÷(3.14×2 )
=2.5(米)
答：可以堆2.5米高。
【专项训练】
1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是6厘米，高都是12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米
解析：
3.14×(6÷2) ×12÷3×(1+3)=452.16(立方厘米)
答：这个立体图形的体积是452.16立方厘米。
2. 一个圆柱体底面积是5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是6立方分米，求这个圆柱体的高。
解析：
6÷2×3÷5=1.8(分米)
答：这个圆柱体的高为1.8分米。
3. 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱内，求水深。
解析：
×3.14×10 ×30×2=6280(立方厘米)
6280÷(3.14×20 )=5(厘米)
答：水深为5厘米。
【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。
如图所示，一个两直角边的长度分别为2厘米和6厘米的直角三角形，分别以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等 如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍
解析：
以2厘米为轴旋转一周：3.14×6 ×2×=75.36(立方厘米)
以6厘米为轴旋转一周：3.14×2 ×6×=25.12(立方厘米)
可以发现，它们的体积不相等，75.36÷25.12=3，所以，大圆锥体积是小圆锥体积的3倍。
【专项训练】
1. 一个直角三角形的两条直角边分别长3分米和4分米，以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等 如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍
解析：倍。
2. 将一张长6厘米、宽4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大 大圆柱体体积是小圆柱体的多少倍
解析：
6 π×4=144π(立方厘米)
4 π×6=96π(立方厘米)
144π÷96π=1.5
答：以4厘米的边为轴旋转得到的圆柱体体积大，大圆柱体体积是小圆柱体的1.5倍。
3. 如图所示，有一个直角三角形ABC，直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC所在的直线为轴，绕AC旋转一周，求所形成的立体图形的体积。(π取3.14)
解析：30.144立方厘米。
【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。
用一个长2.826米、宽1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮囤最多能盛粮多少立方米
解析：
当圆柱的高是1.57米，底面周长是2.826米，它的容积是
3.14×(2.826÷3.14÷2) ×1.57≈0.998(立方米)
当圆柱的高是2.826米，底面周长是1.57米，它的容积是
3.14×(1.57÷3.14÷2) ×2.826≈0.555(立方米)
【专项训练】
1. 把一张长9分米、宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米 (π取3)
解析：
3×(6÷3÷2) ×9=27(立方分米)
所以，它的最小容积是27立方分米。
2. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍
解析：倍。
3. 刘师傅把一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体木料加工成一个体积最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少
解析：
有三种方案：
(1)把长8厘米、宽6厘米的面作为底面：V=(6÷2) ×π×12=108π=339.12(立方厘
米)
(2)把宽6厘米、高12厘米的面作为底面：V=(6÷2) ×π×8=72π=226.08(立方厘米)
(3)把长8厘米、高12厘米的面作为底面：V=(8÷2) ×π×6=96π=301.44(立方厘米)答：这个木模的体积是339.12立方厘米。
【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。
正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米
解析：94.2立方厘米。
【专项训练】
1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少
解析：25.12立方厘米。
2. 两个正方体的体积之差是1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米
解析：314立方厘米。
3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3:4，高的比是4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩余120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升
解析：360毫升，2400毫升。
【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。
如图所示，圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升.
解析：2升。
【专项训练】
1. 如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整个容器还能装多少升水
解析：35升。
2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的，水面高度是容器高度的几分之几
解析：
3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是9厘米，底面半径都是3厘米，两个容器中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛的水多 多的是少的水量的几倍
解析：倍。
【奥数拓展七】等积变形问题（一）。
把一块长6.28厘米，宽3厘米，高4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米，高为24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为9厘米的圆锥形铝块，这个圆锥形铝块的高是多少厘米
解析：
将长方体的铝锭和圆柱形的铝块熔铸成圆锥形的铝块，虽然前后形状改变了，但铝的总体积却没有改变，我们只要求出长方体体积与圆柱体积的和，也就是圆锥的体积，便能求出圆锥的高。
因此，解：设圆锥体的高为x厘米。
6.28×3×4.5+(6÷2) ×π×24=9 ×π×x×
27π+216π=27π×x
x =9
答：这个圆锥体的高是9厘米。
【专项训练】
1. 如图所示，把一块长15.7分米、宽5分米、高1分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为x分米、高4分米的圆柱体铁饼，求x。
解析：
15.7×5×1÷(4×3.14)=6.25=2.5
所以，x为2.5。
2. 把一个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铁块和一个棱长为6厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是29厘米，它的底面积是多少 (π取3)
解析：
12×8×5+6×6×6=696(立方厘米)
696×3÷29=72(平方厘米)
答：它的底面积是72平方厘米。
3. 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10厘米的圆锥体铁块，求这个圆锥的高。
解析：12厘米。
【奥数拓展八】等积变形问题（二）。
活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平方厘米的纸吗
解析：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线(母线是指从顶点到底面圆周上任意一点的连线),弧线是圆锥底面的周长。
课堂上，我们只学习了求圆锥的体积，并没有学习圆锥的表面积该怎么求，其实，圆锥的表面积=底面积+侧面积，侧面积=圆周率×底面半径×母线。
3.14×25×15=1177.5(平方厘米)
答：他一共用了1177.5平方厘米的纸。
【专项训练】
1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径是12厘米，求圆锥的表面积。
解析：
圆锥的底面半径：12÷2=6(厘米)
底面积：π×6 =113.04(平方厘米)
侧面积：π×6×8=150.72(平方厘米)
表面积：113.04+150.72=263.76(平方厘米)
2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为10厘米，母线为7.5厘米，做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮
解析：
3.14×(10÷2)×7.5+3.14×(10÷2) =196.25(平方厘米)
答：做这个圆锥体模型需196.25平方厘米的铁皮。
3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直径是16厘米，求圆锥的表面积和体积。
解析：
圆锥的底面半径是16÷2=8(厘米)，圆锥的底面积是π×8 =64π(平方厘米)，圆锥的侧面积是π×8×10=80π(平方厘米)，所以圆锥的表面积是64π+80π=144π=452.16(平方厘米)，由勾股定理，10 －8 =6 ，即圆锥的高为6厘米，体积是64π×6×3=401.92(立方厘米)。
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第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥
【从课内到奥数】
【课内精选一】圆锥的认识。
一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。
【专项训练】
1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。
2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。
3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。
【课内精选二】圆锥的切面积。
一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。
【专项训练】
1．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。
2．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。
3．一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。
【课内精选三】圆锥的体积（一）。
一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是25.12米，高是1.5米。如果每立方米小麦重760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数）
【专项训练】
1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是18.84米，高1.5米，每立方米的黄沙重2吨，这堆沙重多少吨？
2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只蚁狮挖出47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是6厘米，陷阱有多深？
3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是8厘米，高是6厘米。如果每立方分米糯米重1.8千克，那么包100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽叶厚度忽略不计）
【课内精选四】圆锥的体积（二）。
在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？
【专项训练】
1．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
2．一个底面半径为6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底面半径3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5毫米，这个圆锥形铅锤的高是多少？
3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计）
【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。
一个圆锥的体积是8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米
【专项训练】
1. 一个圆锥形容器的高是18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米
2. 一个圆柱体铁块厚10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米
3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，这个圆柱的体积是圆锥体积的多少倍
【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。
一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是31.4米、高1.2米，若把这些稻谷装到一个底面半径是2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高
【专项训练】
1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是6厘米，高都是12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米
2. 一个圆柱体底面积是5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是6立方分米，求这个圆柱体的高。
3. 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱内，求水深。
【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。
如图所示，一个两直角边的长度分别为2厘米和6厘米的直角三角形，分别以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等 如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍
【专项训练】
1. 一个直角三角形的两条直角边分别长3分米和4分米，以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等 如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍
2. 将一张长6厘米、宽4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大 大圆柱体体积是小圆柱体的多少倍
3. 如图所示，有一个直角三角形ABC，直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC所在的直线为轴，绕AC旋转一周，求所形成的立体图形的体积。(π取3.14)
【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。
用一个长2.826米、宽1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮囤最多能盛粮多少立方米
【专项训练】
1. 把一张长9分米、宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米 (π取3)
2. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍
3. 刘师傅把一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体木料加工成一个体积最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少
【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。
正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米
【专项训练】
1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少
2. 两个正方体的体积之差是1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米
3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3:4，高的比是4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩余120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升
【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。
如图所示，圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升.
【专项训练】
1. 如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整个容器还能装多少升水
2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的，水面高度是容器高度的几分之几
3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是9厘米，底面半径都是3厘米，两个容器中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛的水多 多的是少的水量的几倍
【奥数拓展七】等积变形问题（一）。
把一块长6.28厘米，宽3厘米，高4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米，高为24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为9厘米的圆锥形铝块，这个圆锥形铝块的高是多少厘米
【专项训练】
1. 如图所示，把一块长15.7分米、宽5分米、高1分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为x分米、高4分米的圆柱体铁饼，求x。
2. 把一个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铁块和一个棱长为6厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是29厘米，它的底面积是多少 (π取3)
3. 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10厘米的圆锥体铁块，求这个圆锥的高。
【奥数拓展八】等积变形问题（二）。
活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平方厘米的纸吗
【专项训练】
1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径是12厘米，求圆锥的表面积。
2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为10厘米，母线为7.5厘米，做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮
3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直径是16厘米，求圆锥的表面积和体积。
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