2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第四单元专项练习10：比例的综合应用“拓展版”
1．在“书香运城，书香校园”阅读活动中，奇思坚持阅读高尔基的《童年》这本书，第一周读了全书的25%，第二周读了60页，这时已读的页数与未读的页数比11∶9，《童年》这本书一共有多少页？
【答案】200页
【分析】根据已读的页数与未读的页数比11∶9，可得已读的页数占总页数的，减去25%就是60页占总页数的分率，据此列式解答。
【详解】60÷（－25%）
＝60÷30%
＝200（页）
答：《童年》这本书一共有200页。
【点睛】本题考查了比的应用，根据比求出已读页数是总页数的几分之几是解题的关键。
2．丫丫看一本故事书，每天看18页，7天只看了这本书的一半，从此后她每天多看3页，丫丫看完这本书还要多少天？
【答案】6天
【分析】由题意可知，前7天看的故事书页数和剩下天数看的故事书页数相同，都是这本故事书总页数的一半，等量关系式：（原来每天看的页数＋3页）×看完剩下页数需要的天数＝原来每天看的故事书页数×原来看的天数，据此解答。
【详解】解：设丫丫看完这本书还要x天。
（18＋3）x＝18×7
21x＝18×7
21x＝126
x＝126÷21
x＝6
答：丫丫看完这本书还要6天。
【点睛】本题主要考查用比例解决实际问题，理解“看的故事书页数＝每天看的页数×看的天数”是解答题目的关键。
3．甲齿轮有60齿，乙齿轮有48齿，为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动13圈，须在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙。齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同）。丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合。求丙轮上大、小齿轮齿数之比是多少？若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有多少齿？
【答案】85∶52；52齿
【分析】根据题意可知，丙轮上的大齿轮齿数×丙轮转动圈数＝甲轮的齿数×甲轮转动的圈数，丙轮上的小齿轮齿数×丙轮转动圈数＝乙轮的齿数×乙轮转动的圈数，根据比的意义和基本性质，可知丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数＝（甲轮的齿数×甲轮转动的圈数）∶（乙轮的齿数×乙轮转动的圈数），也就是（60×17）∶（48×13），再根据比的基本性质化简即可，也就是85∶52；已知甲齿轮、丙齿轮不变，则丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数还是85∶52，设乙轮有x齿，据此列比例为（60×17）∶（12x）＝85∶52，然后解出比例即可。
【详解】（60×17）∶（48×13）
＝（60×17÷12）∶（48×13÷12）
＝85∶52
解：设要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有x齿。
（60×17）∶（12x）＝85∶52
（60×17÷12）∶（12x÷12）＝85∶52
（5×17）∶x＝85∶52
85∶x＝85∶52
85x＝85×52
x＝85×52÷85
x＝52
答：丙轮上大、小齿轮齿数之比是85∶52；若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有52齿。
【点睛】解答本题的关键是明确齿数和圈数之间的关系，然后利用比和比例的知识进行解答。
4．两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？
【答案】1.5元
【分析】根据单价×数量＝总价，用10×6即可求出10公斤的总价，经过比较可知，甲、乙两人的行李都超过10公斤，设乙的行李有x公斤，甲的行李比乙重了50%，则把乙的行李看作单位“1”，甲的行李是乙的（1＋50%），则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤，甲超过10公斤部分的总价是（109.5－60）元，乙超过10公斤部分的总价是（78－60）元；根据超过10公斤的总价÷超过10公斤部分的公斤数＝超过10公斤部分的单价（一定）；列比例为（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10），然后解出比例，进而求出超过10公斤部分的单价，然后用减法求出超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低多少元。
【详解】10×6＝60（元）
109.5＞60
78＞60
甲、乙两人的行李都超过10公斤；
解：设乙的行李有x公斤，则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤。
（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10）
（109.5－60）∶[1.5x－10]＝（78－60）∶（x－10）
49.5∶[1.5x－10]＝18∶（x－10）
49.5×（x－10）＝18 ×[1.5x－10]
49.5x－495＝27x－180
49.5x－27x＝495－180
22.5x＝315
x＝315÷22.5
x＝14
（78－60）÷（14－10）
＝18÷4
＝4.5（元）
6－4.5＝1.5（元）
答：超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了1.5元。
【点睛】本题比较复杂，需要一步步分析，然后根据正比例解决问题。
5．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？
【答案】405千米
【分析】由题意可知，相遇前客车与货车的速度比是，相遇后，客车速度减少20%，货车速度增加20%，则相遇后客车、货车的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把两地间的距离看作单位“1”，当相遇时货车行驶了全程的，则客车行驶了全程的，相遇后货车还需行驶全程的，客车行驶全程的，设AB相距x千米，根据时间一定，路程和速度成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设A、B两地相距x千米。
（5－5×20%）∶（4＋4×20%）
＝（5－1）∶（4＋0.8）
＝4∶4.8
＝（4×10）∶（4.8×10）
＝40∶48
＝（40÷8）∶（48÷8）
＝5∶6
（x－27）∶（x－15）＝6∶5
（x－27）×5＝（x－15）×6
x－135＝x－90
x－135＋135＝x－90＋135
x＝x＋45
x－x＝x＋45－x
x＝45
x×9＝45×9
x＝405
答：A、B两地相距405千米。
【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。
6．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？
【答案】7.5千米
【分析】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。
根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。
（90＋15）＝（90－15）×（＋3）
105＝75（＋3）
105＝75＋225
105－75＝75＋225－75
30＝225
30÷30＝225÷30
＝7.5
答：甲每小时行7.5千米。
【点睛】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。
7．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？
【答案】153千米
【分析】已知A、B两地的图上距离和地图的比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离；
已知A、B两地的实际距离和甲、乙火车的相遇时间，根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出甲、乙两火车的速度和；
已知甲火车每小时行的路程是乙火车的，把乙火车的速度看作单位“1”，甲火车的速度是乙的，则两火车的速度和是乙火车速度的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出乙火车的速度。
【详解】A、B两地的实际距离：
25.5÷
＝25.5×3000000
＝76500000（厘米）
76500000厘米＝765千米
甲、乙两火车每小时共行：
765÷3＝255（千米）
乙火车每小时行：
255÷（1＋）
＝255÷
＝255×
＝153（千米）
答：乙火车每小时行153千米。
【点睛】本题考查比例尺的意义、相遇问题以及分数除法的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。
8．六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是。获奖的共110人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是。参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？
【答案】180人
【分析】根据比的意义，获奖总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男、女生的对应份数，求出男生和女生的获奖人数。参加的男、女生人数之比是，设参加这次消防知识大赛的男生有5x人，女生有4x人，根据（男生人数－男生获奖人数）∶（女生人数－女生获奖人数）＝4∶3，列出比例求出x的值，再根据5x＋4x＝六年级参赛人数，列式解答即可。
【详解】110÷（6＋5）
＝110÷11
＝10（人）
10×6＝60（人）
10×5＝50（人）
解：设参加这次消防知识大赛的男生有5x人，女生有4x人。
（5x－60）∶（4x－50）＝4∶3
（4x－50）×4＝（5x－60）×3
16x－200＝15x－180
16x－200－15x＋200＝15x－180－15x＋200
x＝20
20×5＋20×4
＝100＋80
＝180（人）
答：参加这次消防知识大赛的六年级学生共180人。
【点睛】关键是理解比的意义，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。
9．昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答）
【答案】50天
【分析】根据题意，实际每天比计划少生产10%，把计划每天生产水泥的吨数看作单位“1”，则实际每天生产水泥的吨数是计划每天的（1－10%），单位“1”已知，用乘法计算，求出实际每天生产水泥的吨数；
这批水泥的总吨数不变，根据每天生产的吨数×天数＝水泥的总吨数（一定），积一定，则每天生产的吨数和天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设这批水泥实际生产了天。
12×（1－10%）＝12×45
12×0.9＝540
10.8＝540
＝540÷10.8
＝50
答：这批水泥实际生产了50天。
【点睛】①考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出实际每天生产水泥的吨数；
②找出相关联的两种量，判断相关联的两种量乘积一定，然后根据反比例的意义列出反比例方程。
10． 2021年10月16日0时23分，长征二号运载火箭成功将神舟十三号飞船送往太空；2022年4月16日神舟十三号飞船成功降落。
在比例尺的地图上量得神舟十三号飞船的实际降落地点与预定降落地点相差了2.6厘米。那么在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差多少厘米？
【答案】6.5厘米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式解答即可。
【详解】2.6
＝2.6×5000
＝13000
＝6.5（厘米）
答：在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差6.5厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用。
11．某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。
（1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？
（2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？
【答案】（1）320元
（2）4件
【分析】（1）根据题意，所有服装都打同样的折扣销售，则＝折扣（一定），比值一定，那么现价与原价成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
（2）先根据上一题的一件风衣原价480元，现价360元，计算出折扣；再根据题意，李阿姨手里的现金一定，则单价×数量＝总价（一定），积一定，那么单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】（1）解：设这条裤子原价元。
＝
360＝240×480
＝
＝320
答：这条裙子原价320元。
（2）360÷480×100%
＝0.75×100%
＝75%
75%＝七五折
解：设能买件。
200×75%＝120×5
150＝600
＝600÷150
＝4
答：如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买4件。
【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。
12．在三角形ABC中，三角形CDE的面积是15平方分米，三角形BCE的面积是30平方分米，三角形ADF的面积是35平方分米，三角形ABF的面积是20平方分米，三角形AEF的面积是多少平方分米？
【答案】平方分米
【分析】根据对比例的运用，因为三角形的面积除以底等于高的一半，所以当高一定时，面积与底成正比例；又因为三角形CDE底边DE上的高与三角形BCE底边BE上的高相同，所以DE∶BE＝S△CDE∶S△BCE＝15∶30＝1∶2；同样道理可知，从DE∶BE＝1∶2得：S△AED∶S△ABE＝1∶2；S△AED∶S△ABD＝1∶（1＋2）＝1∶3。据此列方程解答即可。
【详解】DE∶BE＝S△CDE∶S△BCE＝15∶30＝1∶2
S△AED∶S△ABE＝1∶2
S△AED∶S△ABD＝1∶（1＋2）＝1∶3
设三角形AED的面积是x平方分米，
x∶（35＋20）＝1∶3
x∶55＝1∶3
3x＝55
x＝
35－＝（平方分米）
答：三角形AEF的面积是平方分米。
【点睛】此题根据比例的方法巧妙地去求面积，考查了学生的推理能力和应用意识。
13．黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？
【答案】15天
【分析】可以设规定完成任务的时间是x天，如果每天加工200个，则用的时间是（x－3）天；如果每天加工120个，则用的时间是（x＋5）天；这批凳子总数一定，根据这个等量关系列方程解答。
【详解】解：设规定完成任务的时间是x天，
200×（x－3）＝120×（x＋5）
200x－600＝120x＋600
200x－600＋600＝120x＋600＋600
200x＝120x＋1200
200x－120x＝120x＋1200－120x
80x＝1200
80x÷80＝1200÷80
x＝15
答：规定完成任务的时间是15天。
【点睛】解答本题的关键是根据这批凳子总数一定，确定等量关系列方程。
14．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答）
【答案】75千米
【分析】题目可以理解为：甲行驶50千米时，乙行驶了30千米，则甲乙的速度比为50∶30；又因为当时间相同时，路程之比等于速度之比，假设AB两地相距x千米，可列比例：x∶（x－30）＝50∶30求解即可。
【详解】解：设AB两地相距x千米，由题意得：
x∶（x－30）＝50∶30
x∶（x－30）＝5∶3
3x＝5（x－30）
3x＝5x－150
5x－3x＝150
2x＝150
x＝75
答：AB两地相距75千米。
【点睛】当思考起来感觉困难时，可以再从题目里继续提取隐藏的条件：即甲车超过B地50千米的用时，与乙车行驶30千米用时是相等时；再结合路程速度时间三者间的关系可得比例。
15．一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他剩下的路程还要行驶多少分钟？
【答案】6分钟
【分析】从图中可以看出行驶10分钟之后的图像成正比例关键，这里出租车的速度一定，所以先算出剩下的路程＝1－10分钟已经行走的路程，再算出租车的速度，用剩下的路程÷出租车的速度＝剩下的路程需要的时间
【详解】÷2＝
（1－）÷
＝÷
＝6（分钟）
答：他剩下的路程还要行驶6分钟。
【点睛】本题需要明确改乘出租车的速度一定，即路程和时间成正比例关系。
16．已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？
【答案】240千米
【解析】第一次，当乙到达C点时，设乙走过的路程是x，可以表示出此时甲走过的路程，以及甲距离C点的距离，可以表示出AC的距离；第一次，当甲到达C点时，甲走过的距离仍为x，可以表示出乙此时走过的距离，以及乙距离C点的距离，可以表示出AC的距离，根据AC的距离相等列方程求解。
【详解】解：设BC的距离是x千米；
10分钟＝小时
（千米）
答：AB距离是240千米。
【点睛】本题考查的是比例行程问题，当时间一定时，路程比与速度比相同。
17．某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？
【答案】28小时
【解析】增加两台机器，则只需要用规定时间的， 把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有14台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作小时，则原来计划的工作时间为4小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以2台机器要28个小时完成。
【详解】原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成；
（台）
（小时）
（小时）
答：由2台机器完成这项工程，需要28小时。
【点睛】本题考查的是工程问题中的比例问题，当工作总量是不变时，工作时间与工作效率成反比例关系。
18．原计划用36个人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走了6人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务，原计划每人每天挖土多少方？
【答案】5方
【解析】按计划工作5天后，剩下的工作量由30人完成，剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务；相比原来，工程量不变，时间也不变，那么每天完成的工程量也不变，每天工作的人数与每人每天的挖土量成反比例关系。
【详解】36－6＝30（人）
人数比，36∶30＝6∶5
那么原来每人每天挖土量与现在每人每天挖土量之比是5∶6；
分别看成是5份和6份，那么1份是1立方米，5份是5立方米；
答：原计划每人每天挖土5方。
【点睛】本题考查的是工程问题，并且用到了反比例关系，构成反比例关系的两个量乘积一定。
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第四单元专项练习10：比例的综合应用“拓展版”
1．在“书香运城，书香校园”阅读活动中，奇思坚持阅读高尔基的《童年》这本书，第一周读了全书的25%，第二周读了60页，这时已读的页数与未读的页数比11∶9，《童年》这本书一共有多少页？
2．丫丫看一本故事书，每天看18页，7天只看了这本书的一半，从此后她每天多看3页，丫丫看完这本书还要多少天？
3．甲齿轮有60齿，乙齿轮有48齿，为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动13圈，须在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙。齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同）。丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合。求丙轮上大、小齿轮齿数之比是多少？若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有多少齿？
4．两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？
5．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？
6．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？
7．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？
8．六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是。获奖的共110人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是。参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？
9．昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答）
10． 2021年10月16日0时23分，长征二号运载火箭成功将神舟十三号飞船送往太空；2022年4月16日神舟十三号飞船成功降落。
在比例尺的地图上量得神舟十三号飞船的实际降落地点与预定降落地点相差了2.6厘米。那么在的地图上测量，实际地点与预定地点的相差多少厘米？
11．某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。
（1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？
（2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？
12．在三角形ABC中，三角形CDE的面积是15平方分米，三角形BCE的面积是30平方分米，三角形ADF的面积是35平方分米，三角形ABF的面积是20平方分米，三角形AEF的面积是多少平方分米？
13．黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？
14．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答）
15．一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他剩下的路程还要行驶多少分钟？
16．已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？
17．某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？
18．原计划用36个人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走了6人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务，原计划每人每天挖土多少方？
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