篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。
《人教版2024-2025学年六年级数学下册精尖特训》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2025年1月9日
2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第四单元比例·比例的意义和基本性质篇【十四大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第四单元比例·比例的意义和基本性质篇
专题内容 本专题以比例的意义和基本性质为主，其中包括比例的意义、基本性质以及解比例等。
总体评价
讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例 4
【考点二】比例的意义其二：组比例 8
【考点三】比例的意义其三：比例的项 9
【考点四】比例的意义其四：求某项 11
【考点五】比例的基本性质其一：求某项 14
【考点六】比例的基本性质其二：项的变化规律 16
【考点七】比例的基本性质其三：比例的八种形式变换 18
【考点八】比例的基本性质其四：比和比例 20
【考点九】比例的基本性质其五：配比例 23
【考点十】比例的基本性质其六：比例中项 26
【考点十一】解比例其一：比例式方程 27
【考点十二】解比例其二：分数式方程 28
【考点十三】解比例其三：混合式方程 30
【考点十四】解比例其四：复杂的比例方程 31
【第三篇】典型例题篇
【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例。
【方法点拨】
1. 比例的意义。
（1）表示两个比相等的式子叫做比例。
（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。
2. 比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
3. 比例的三种常见形式。
（1）比例式：
例如：80:2=200:5
（2）分数式：
例如：
（3）乘积式：
例如：80×5=200×2
【典型例题】
下面不能组成比例的两个比是( )。
A．8∶3和32∶12B．5∶3和∶ C．∶3和∶ D．0.1∶1和2∶20
【答案】C
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中两个比的比值，比值不相等，就不能组成比例。
【详解】A．8∶3＝8÷3＝
32∶12＝32÷12＝
比值相等，8∶3和32∶12能组成比例；
B．5∶3＝5÷3＝
∶＝÷＝×5＝
比值相等，5∶3和∶能组成比例；
C．∶3＝÷3＝×＝
∶＝÷＝×＝
比值不相等，∶3和∶不能组成比例；
D．0.1∶1＝0.1÷1＝0.1
2∶20＝2÷20＝0.1
比值相等，0.1∶1和2∶20能组成比例。
故答案为：C
【对应练习1】
能与3∶2组成比例的是( )。
A．∶ B．∶ C．∶ D．∶
【答案】A
【分析】表示两个比相等的式子叫比例，分别求出题干和各选项比的比值，找到与题干比的比值相等的即可。
【详解】3∶2＝3÷2＝
A.∶＝÷＝×3＝
B.∶＝÷＝×4＝
C.∶＝÷＝×3＝
D.∶＝÷＝×4＝2
能与3∶2组成比例的是∶，3∶2＝∶。
故答案为：A
【对应练习2】
下面不能和4.5∶6.3组成比例的比是( )。
A．1∶1.4 B．3.5∶4.9 C．2∶2.8 D．3∶3.5
【答案】D
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，分别求出选项A、B、C、D几个比的比值，据此作出判断。
【详解】4.5∶6.3
＝（4.5×10）∶（6.3×10）
＝45∶63
＝（45÷9）∶（63÷9）
＝5∶7
＝5÷7
＝
A．1∶1.4
＝（1×10）∶（1.4×10）
＝10∶14
＝（10÷2）∶（14÷2）
＝5∶7
＝5÷7
＝
B．3.5∶4.9
＝（3.5×10）∶（4.9×10）
＝35∶49
＝（35÷7）∶（49÷7）
＝5∶7
＝5÷7
＝
C．2∶2.8
＝（2×10）∶（2.8×10）
＝20∶28
＝20÷4∶28÷4
＝5∶7
＝5÷7
＝
D．3∶3.5
＝（3×10）∶（3.5×10）
＝30∶35
＝30÷5∶35÷5
＝6∶7
＝6÷7
＝
≠，不能和4.5∶6.3组成比例；
故答案为：D
【对应练习3】
与5∶3能组成比例的比是( )。
A．∶ B．3∶5 C．5∶ D．∶
【答案】A
【分析】先求5∶3的比值是，再分别求出选项ABCD的比值，看比值是否是，如果是就能组成比例，据此解答即可。
【详解】A．∶＝÷＝×＝，符合题意。
B．3∶5＝3÷5＝，不符合题意。
C．5∶＝5÷＝5×3＝15，不符合题意。
D．∶＝÷＝×3＝，不符合题意。
故答案为：A
【考点二】比例的意义其二：组比例。
【方法点拨】
根据比例的意义来组比例。
【典型例题】
给0.4、0.6和3再配上一个整数组成比例，这个比例是( )。
【答案】0.6∶0.4＝3∶2
【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此先求出0.6和0.4的比值，再根据比与除法之间的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。如果3是另一个比的前项，用3除以0.6和0.4的比值，即可求出另一个比的后项，据此分析。
【详解】0.6∶0.4＝0.6÷0.4＝1.5
3÷1.5＝2
这个比例是0.6∶0.4＝3∶2。（答案不唯一）
【对应练习1】
在9、5、10这三个数中添上一个数组成比例，这个数可能是( )。
【答案】18
【分析】根据比例的意义：比值相等的两个比组成一个比例，由于10∶5＝2，则另一个比可以选择一个数∶9＝2，据此即可求出一个数，之后组成比例即可。（答案不唯一）
【详解】由分析可知：
10∶5＝10÷5＝2
9×2＝18
则可以组成比例是：18∶9＝10∶5。
所以这个数可能是18。（答案不唯一）
【对应练习2】
18的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例，并且两个比的比值都等于，这个比例是( )。
【答案】 6 2∶3＝6∶9
【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身，找出18的因数，之后根据比例的意义，选用四个因数写出两个比值是的比，再组成比例即可。
【详解】18的因数有：1，2，3，6，9，18；
因为2∶3＝，6∶9＝
所以18的因数有6个，选择其中的四个数组成一个比例，并且两个比的比值都等于，这个比例是2∶3＝6∶9。
【对应练习3】
一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是( )。从这个数的因数中选出四个数组成比例是( )。
【答案】 24 12∶6＝2∶1
【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，据此写出这个两位数；根据找一个数的因数的方法找出这个两位数的因数，然后根据比例的意义，选四个因数写出两个比值是2的比，再组成比例即可，注意第二个空答案不唯一。
【详解】一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是24；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
因为2∶1＝2，12∶6＝2，所以可组成比例12∶6＝2∶1。（答案不唯一）
一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是24。从这个数的因数中选出四个数组成比例是12∶6＝2∶1。
【考点三】比例的意义其三：比例的项。
【方法点拨】
比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
【典型例题】
比例的项。
组成比例的四个数，叫做比例的( )。两端的两项叫做比例的( )，中间的两项叫做比例的( )。
【答案】项；外项；内项；
见详解
【分析】根据比例的意义、比例的各部分名称解答即可。
【详解】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
【点睛】此题考查的比例的意义。
【对应练习1】
在比例中，两个外项分别是( )和( )。
【答案】 32 6
【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，据此分析。
【详解】比例可以写成32∶4＝48∶6，两个外项分别是32和6。
【对应练习2】
在中，和6是比例的( )项，和4是比例的( )项。
【答案】 外 内
【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
【详解】由分析可知：
在中，和6是比例的外项，和4是比例的内项。
【点睛】本题考查比例的外项与内项的认识。
【对应练习3】
在比例中，内项是( )和( )，外项是( )和( )。
【答案】 6 3 1.2 15
【分析】
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
【详解】由分析可得：写成比的形式是1.2∶6＝3∶15，内项是6和3，外项是1.2和15。
【考点四】比例的意义其四：求某项。
【方法点拨】
组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，最后再写出比例。
【典型例题】
在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。
【答案】 5∶15＝2∶6 6∶18＝∶5
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。
【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。
5÷
＝5×3
＝15
6×＝2
则这个比例是5∶15＝2∶6。
情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。
6÷
＝6×3
＝18
5×＝
则这个比例是6∶18＝∶5。
所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。
【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。
【对应练习1】
已知一个比例是由两个比值是4的比组成，又知道比例的两个外项分别是1.2和5。这个比例是( )。
【答案】1.2∶0.3＝20∶5/5∶1.25＝4.8∶1.2
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
根据比例的意义，分两种情况讨论：
情况一，设这个比例是1.2∶a＝b∶5，已知两个比的比值都是4，得出1.2∶a＝4，b∶5＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例；
情况二，设这个比例是5∶a＝b∶1.2，已知两个比的比值都是4，得出5∶a ＝4，b∶1.2＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例。
【详解】情况一：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是1.2∶a＝b∶5。
由1.2∶a＝4，即1.2÷a＝4，可得a＝1.2÷4＝0.3；
由b∶5＝4，即b÷5＝4，可得b＝4×5＝20；
所以，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5。
情况二：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是5∶a＝b∶1.2。
由5∶a＝4，即5÷a＝4，可得a＝5÷4＝1.25；
由b∶1.2＝4，即b÷1.2＝4，可得b＝4×1.2＝4.8；
所以，这个比例是5∶1.25＝4.8∶1.2。
综上所述，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5或5∶1.25＝4.8∶1.2。
【点睛】本题考查比例的意义以及两个内项的求法，注意交换两个外项的位置，可以得出两个不同的比例。
【对应练习2】
如果一个比例中的两个外项都是3，并且组成这个比例的两个比的比值也是3，那么这个比例可以写成( )。
【答案】3∶1＝9∶3
【分析】根据题意可知，组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，进而写出比例即可。
【详解】前一个比的后项：3÷3＝1
后一个比的前项：3×3＝9
则这个比例可以写成3∶1＝9∶3。
【点睛】此题考查求比的前、后项的方法，用到的关系式有：比的后项＝比的前项÷比值，比的前项＝比的后项×比值；也考查了比例的意义。
【对应练习3】
在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。
【答案】 5∶15＝2∶6 6∶18＝∶5
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。
【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。
5÷
＝5×3
＝15
6×＝2
则这个比例是5∶15＝2∶6。
情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。
6÷
＝6×3
＝18
5×＝
则这个比例是6∶18＝∶5。
所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。
【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。
【考点五】比例的基本性质其一：求某项。
【方法点拨】
1. 比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
2. 比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【典型例题】
一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。
【答案】0.8/
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据题意，一个比例的两个外项互为倒数，那么这两个外项的积等于1；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。
【详解】1÷1.25＝0.8
另一个外项是0.8。
【对应练习1】
一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为0.4，另一个内项是( )。
【答案】2.5/
【分析】根据比例的性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，根据倒数的意义，两个外项互为倒数即两外项的乘积是1，故两内向的乘积也是1，据此可计算出另一个内项。
【详解】由分析可知，0.4乘另一个内项等于1，求另一个内项；
1÷0.4＝2.5
所以另一个内项是2.5。
【对应练习2】
在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是( )。
【答案】
【分析】依题可知两个外项的积是最小的质数，即为2，再根据比例的基本性质：在比例里两个内项的积等于两个外项的积，则两个内项的积也是2，据此解答。
【详解】由分析可知：2÷＝，故另一个内项为。
【对应练习3】
一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。
【答案】
【分析】已知一个比例的两个内项的积互为倒数，根据倒数的意义可知，这两个内项的积等于1；
再根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也等于1；那么用积除以已知的外项，即可求出另一个外项。
乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【详解】1÷
＝1×
＝
另一个外项是。
【考点六】比例的基本性质其二：项的变化规律。
【方法点拨】
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
【典型例题】
在比例4∶18＝6∶27中，如果把第一个比的后项加上36，那么第二个比的前项应减去( )，比例才能成立。
【答案】4
【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项之积等于两个内项之积，可以求出变化后的第二个比的前项，再用6减去这个变化后的前项即可。
【详解】18＋36＝54
4×27÷54
＝108÷54
＝2
6－2＝4
所以，第二个比的前项应减去4，比例才能成立。
【对应练习1】
在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立。
【答案】12
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，第一个比的后项增加20，化为10＋20＝30，用30×15，再除以25，求出第二个比的后项的值，减去原来第二个比的后项的值，即可解答。
【详解】（10＋20）×15÷25－6
＝30×15÷25－6
＝450÷25－6
＝18－6
＝12
在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加12才能使该比例成立。
【对应练习2】
在比例5∶4＝75∶60中，如果外项5增加10，4和60不变，那么内项75应( )，比例仍然成立。
【答案】扩大到原来的3倍/加上150
【分析】比例的内项之积等于外项之积，外项5变化后，得到4×（）＝15×60，括号里的数是原内项75变化后的数值，据此先计算该数值是多少，再看75如何变化即可。
【详解】5＋10＝15
4×（）＝15×60
4×（）＝900
（）＝900÷4
（）＝225
内项75变化后是225，因为225－75＝150，225÷75＝3，所以内项75扩大到原来的3倍或加上150，原比例仍然成立。
故内项75应扩大到原来的3倍或加上150，比例仍然成立。
【对应练习3】
根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成( )才能使比例仍然成立。
【答案】3
【分析】从“如果外项18减去12”可知，一个外项减少了，外项之积也会减少，减少后的外项积是（18－12）×3；再根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；用减少后的外项积÷6，即可求出另一个内项。据此解答。
【详解】（18－12）×3÷6
＝6×3÷6
＝3
根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成（ 3 ）才能使比例仍然成立。
【考点七】比例的基本性质其三：比例的八种形式变换。
【方法点拨】
乘积式变形的常见八种形式，即如果a×b=c×d，那么
①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b；
②换比形式：d:b=a:c；
③换内项形式：a:d=c:b；
④换比形式：c:b=a:d；
⑤换外项形式：b:c=d:a；
⑥换比形式：d:a=b:c；
⑦前后换形式：c:a=b:d；
⑧换比形式：b:d=c:a。
【典型例题】
已知6×8＝4×12，根据比例的基本性质，写出两个不同的比例：( )、( )。
【答案】 6∶4＝12∶8 6∶12＝4∶8
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此逆推，即可解答。
【详解】6×8＝4×12
6∶4＝12∶8
6∶12＝4∶8（答案不唯一）
已知6×8＝4×12，根据比例的基本性质，写出两个不同的比例6∶4＝12∶8、6∶12＝4∶8。
【点睛】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。
【对应练习1】
如果6x＝7y，那么x∶y＝( )∶( )；如果x∶5＝8∶y，那么xy＝( )。
【答案】 7 6 40
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，据此解答。
【详解】由分析可得：如果6x＝7y，那么x∶y＝7∶6。
5×8＝40
如果x∶5＝8∶y，那么xy＝40。
【对应练习2】
如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。
【答案】5；3；
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；据此逆推，即可解答。
【详解】a＝b
3a＝5b
a∶b＝5∶3
b∶a＝3∶5
＝
如果a＝b（a、b均不为0），那么a∶b＝5∶3，＝。
【对应练习3】
根据4×6＝8×3，写出下列比例。
4∶8＝( )∶( ) 6∶8＝( )∶( )
4∶3＝( )∶( ) 3∶6＝( )∶( )
8∶4＝( )∶( ) 8∶6＝( )∶( )
【答案】 3 6 3 4 8 6 4 8 6 3 4 3
【分析】
根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，4和6同时在比例的内项或外项，8和3同时在比例的外项或内项即可，据此填空。
【详解】根据4×6＝8×3，可得：
4∶8＝3∶6 6∶8＝3∶4 4∶3＝8∶6
3∶6＝4∶8 8∶4＝6∶3 8∶6＝4∶3
【考点八】比例的基本性质其四：比和比例。
【方法点拨】
比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【典型例题】
若甲数的与乙数的相等，则甲、乙两数的最简整数比是( )，比值是( )。
【答案】 3∶4
【分析】由题意知：甲数×＝乙数×，再逆用比例的基本性质，即求出甲数和乙数的比，再根据比的基本性质化成最简整数比，比的前项除以比的后项所得的商就是比值，据此填空即可。
【详解】因为甲数×＝乙数×，所以甲数∶乙数＝∶
∶＝∶＝3∶4
3÷4＝
所以甲、乙两数的最简整数比是3∶4，比值是。
【对应练习1】
甲数的等于乙数的（甲数不为0），乙数与甲数的比是( )，甲数比乙数少( )%，乙数比甲数多( )%。
【答案】 5∶4 20 25
【分析】根据一个数乘分数的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可找到数量关系：甲数×＝乙数×。根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，求出甲乙两数的比，再化简即可；
求一个数比另一个数多/少百分之几，用两数之差除以另一个数即可解答。
【详解】由分析可得：
甲数×＝乙数×，所以，甲数∶乙数＝∶
∶
＝（×20÷3）∶（×20÷3）
＝4∶5
乙数与甲数的比是5∶4。
令甲数为4，乙数为5。
（5－4）÷5
＝1÷5
＝0.2
＝20%
（5－4）÷4
＝1÷4
＝0.25
＝25%
甲数比乙数少20%，乙数比甲数多25%。
【对应练习2】
甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。
【答案】 104 52
【分析】从“甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等”可得：甲× ＝乙×20%，根据比例的基本性质可得：甲∶乙＝20%∶＝2∶1。甲乙两数的和是156，对应（2＋1）份。用156÷（2＋1）就求出一份的量，即乙；再用和减去乙，就求出了甲。据此解答。
【详解】甲× ＝乙×20%
甲∶乙＝20%∶＝20%∶10%＝2∶1
乙：156÷（2＋1）
＝156÷3
＝52
甲：156－52＝104
甲是104，乙是52。
【点睛】理解甲数的小数点向左移动一位即缩小到甲的 ，利用比例的基本性质求出甲乙的比是解题关键。
【对应练习3】
已知a、b、c三个数，a的等于b的，b的等于c的，又a比c小300，则a＝( )。
【答案】500
【分析】根据题意可知，a×＝b×，b×＝c×，根据比例的基本性质，可知a∶b＝∶＝3∶4，b∶c＝∶＝5∶6；然后根据比的基本性质，将a∶b的前项和后项同时乘5，b∶c的前项和后项同时乘4，即可得a∶b＝15∶20，b∶c＝20∶24，所以a∶b∶c＝15∶20∶24，已知a比c小300，根据比的意义和应用，用300÷（24－15）求出每份是多少，进而求出15份，也就是a。
【详解】a×＝b×
b×＝c×
a∶b
＝∶
＝（×12）∶（×12）
＝3∶4
b∶c
＝∶
＝（×30）∶（×30）
＝5∶6
3∶4
＝（3×5）∶（4×5）
＝15∶20
5∶6
＝（5×4）∶（6×4）
＝20∶24
所以a∶b∶c＝15∶20∶24
300÷（24－15）×15
＝300÷9×15
＝500
已知a、b、c三个数，a的等于b的，b的等于c的，又a比c小300，则a＝500。
【点睛】本题可利用比和比例的知识求出三个数的比，再根据比的应用进行解答。
【考点九】比例的基本性质其五：配比例。
【方法点拨】
如果使配上的这个数最大，只要用给出的三个数中较大的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最小的数和要求的这个数就做比例的两个内项或外项；如果使配上的这个数最小，只要用给出的三个数中较小的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最大的数和要求的这个数就作为做比例的两个内项或外项，然后再根据比例的性质求解。
【典型例题】
有四个数0.3、6、4、可以组成一个比例，最大是( )，最小是( )。
【答案】 80 0.2/
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据题意，要使最大，那么与相乘的另一数要最小，0.3＜6＜4，所以与0.3的乘积等于6与4的乘积，据此求出的最大值；
要使最小，那么与相乘的另一数要最大，6＞4＞0.3，所以与6的乘积等于0.3与4的乘积，据此求出的最小值。
【详解】6×4÷0.3
＝24÷0.3
＝80
0.3×4÷6
＝1.2÷6
＝0.2
最大是80，最小是0.2。
【对应练习1】
一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是( )，组成的比例是( )；这个数最大是( )，组成的比例是( )。
【答案】 3∶15＝∶4 20 15∶3＝20∶4
【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，用已知数中两个大数的积除以最小数即可求出最大数；用已知数中两个小数的积除以最大数即可求出最小数；进而根据比例的性质解答即可。
【详解】15×4÷3
＝60÷3
＝20
3×4÷15
＝12÷15
＝
则一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是，组成的比例是3∶15＝∶4；这个数最大是20，组成的比例是15∶3＝20∶4。（比例不唯一）
【对应练习2】
用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。
【答案】 24 /1.5
【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。用任意两个数的乘积÷第三个数，求出另一个数可能是哪些，再从中找出最大的数和最小的数即可。
【详解】，组成比例；
，组成比例；
，组成比例；
所以，用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是24，最小是。
【对应练习3】
若4，8，6和m能组成比例，则m最大是( )，最小是( )。
【答案】 12 3
【分析】如果要使m的值最大，只要用给出的三个数中较大的两个数8和6作这个比例的两个外项或内项，那么最小的数4和m作比例的两个内项或外项，进而根据比例的性质求解；
如果要使m的值最小，只要用给出的三个数中较小的两个数4和6作这个比例的两个外项或内项，那么最大的数8和m作比例的两个内项或外项，进而根据比例的性质求解。
【详解】最大是：
8×6÷4
＝48÷4
＝12
最小是：
4×6÷8
＝24÷8
＝3
若4，8，6和m能组成比例，则m最大是12，最小是3。
【点睛】解决此题关键是明确使配上的这个数最大或最小，必须得用哪两个数做外项或内项，进而根据比例的性质求解。
【考点十】比例的基本性质其六：比例中项。
【方法点拨】
如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。
注意：只有内项要相等时才称为比例中项。
【典型例题】
已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是( )。
A．8 B．1 C．2 D．
解析：
解：设这个数是x，根据题意得，
x∶4＝4∶2，
解得x＝8。
故答案选：A
【对应练习1】
如果6是x和9的比例中项，那么x＝( )。
解析：4
【对应练习2】
如果3是和9的比例中项，那么x=( )。
解析：1
【对应练习3】
如果是和x的比例中项，则x=( )。
解析：
【考点十一】解比例其一：比例式方程。
【方法点拨】
解比例式方程，利用比例的基本性质来求解。
【典型例题】
解比例。
3.75∶x＝3∶12
解析：
3.75∶x＝3∶12
解：3x＝3.75×12
3x＝45
3x÷3＝45÷3
x＝15
【对应练习1】
解比例。
（2－x）∶5＝3∶20
解析：
（2－x）∶5＝3∶20
解：（2－x）×20＝5×3
（2－x）×20＝15
（2－x）×20÷20＝15÷20
2－x＝0.75
2－x＋x＝0.75＋x
0.75＋x＝2
0.75＋x－0.75＝2－0.75
x＝1.25
【对应练习2】
解比例。
∶∶
解析：
∶∶
解：
【对应练习3】
解比例。
x∶＝13.6∶2
解析；
x∶＝13.6∶2
解：2x＝×13.6
2x＝3.4
x＝3.4÷2
x＝1.7
【考点十二】解比例其二：分数式方程。
【方法点拨】
解分数式方程，找准比例的内项和外项，以分子分母交叉相乘相等来求解。
【典型例题】
解比例。
＝
解析：
＝
解：42%x＝6.3×0.9
0.42x＝5.67
0.42x÷0.42＝5.67÷0.42
x＝13.5
【对应练习1】
解比例。
解析：
解：
【对应练习2】
解比例。
＝
解析：
＝
解：7.2x＝1.8×8
7.2x＝14.4
x＝14.4÷7.2
x＝2
【对应练习3】
解比例。
＝∶
解析：
＝∶
解：∶2＝∶
＝2×
＝
÷＝÷
＝×
＝
【考点十三】解比例其三：混合式方程。
【方法点拨】
比例式方程与分数式方程的混合，先统一形式，再按照解比例方程的方法来求解。
【典型例题】
解比例。
=12:x
解析：x=
【对应练习1】
解比例。
解析：x＝56
【对应练习2】
解比例。
＝∶2
解析：
【对应练习3】
解比例。
＝（8－x）∶
解析：x＝
【考点十四】解比例其四：复杂的比例方程。
【方法点拨】
复杂的比例方程，仍然按照解比例方程的基本方法求解，要注意括号和符号的变化。
【典型例题】
解比例。
（5x+4）:（9x-6）=4:5
解析：x=4
【对应练习1】
解比例。
（3x+2）:5=2x:3
解析：x=6
【对应练习2】
解比例。
x:2.7=（16-x）:0.9
解析：12
【对应练习3】
解比例。
（x+0.5）：2=（x﹣4）：，
解析：4.5
【对应练习4】
解比例。
：=：（4﹣x）
解析：3
【对应练习5】
解比例。
解析：1.5
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。
《人教版2024-2025学年六年级数学下册精尖特训》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2025年1月9日
2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第四单元比例·比例的意义和基本性质篇【十四大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第四单元比例·比例的意义和基本性质篇
专题内容 本专题以比例的意义和基本性质为主，其中包括比例的意义、基本性质以及解比例等。
总体评价
讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例 4
【考点二】比例的意义其二：组比例 5
【考点三】比例的意义其三：比例的项 5
【考点四】比例的意义其四：求某项 6
【考点五】比例的基本性质其一：求某项 7
【考点六】比例的基本性质其二：项的变化规律 8
【考点七】比例的基本性质其三：比例的八种形式变换 8
【考点八】比例的基本性质其四：比和比例 9
【考点九】比例的基本性质其五：配比例 10
【考点十】比例的基本性质其六：比例中项 11
【考点十一】解比例其一：比例式方程 11
【考点十二】解比例其二：分数式方程 12
【考点十三】解比例其三：混合式方程 13
【考点十四】解比例其四：复杂的比例方程 14
【第三篇】典型例题篇
【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例。
【方法点拨】
1. 比例的意义。
（1）表示两个比相等的式子叫做比例。
（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。
2. 比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
3. 比例的三种常见形式。
（1）比例式：
例如：80:2=200:5
（2）分数式：
例如：
（3）乘积式：
例如：80×5=200×2
【典型例题】
下面不能组成比例的两个比是( )。
A．8∶3和32∶12B．5∶3和∶ C．∶3和∶ D．0.1∶1和2∶20
【对应练习1】
能与3∶2组成比例的是( )。
A．∶ B．∶ C．∶ D．∶
【对应练习2】
下面不能和4.5∶6.3组成比例的比是( )。
A．1∶1.4 B．3.5∶4.9 C．2∶2.8 D．3∶3.5
【对应练习3】
与5∶3能组成比例的比是( )。
A．∶ B．3∶5 C．5∶ D．∶
【考点二】比例的意义其二：组比例。
【方法点拨】
根据比例的意义来组比例。
【典型例题】
给0.4、0.6和3再配上一个整数组成比例，这个比例是( )。
【对应练习1】
在9、5、10这三个数中添上一个数组成比例，这个数可能是( )。
【对应练习2】
18的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例，并且两个比的比值都等于，这个比例是( )。
【对应练习3】
一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个数是( )。从这个数的因数中选出四个数组成比例是( )。
【考点三】比例的意义其三：比例的项。
【方法点拨】
比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
【典型例题】
比例的项。
组成比例的四个数，叫做比例的( )。两端的两项叫做比例的( )，中间的两项叫做比例的( )。
【对应练习1】
在比例中，两个外项分别是( )和( )。
【对应练习2】
在中，和6是比例的( )项，和4是比例的( )项。
【对应练习3】
在比例中，内项是( )和( )，外项是( )和( )。
【考点四】比例的意义其四：求某项。
【方法点拨】
组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，最后再写出比例。
【典型例题】
在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。
【对应练习1】
已知一个比例是由两个比值是4的比组成，又知道比例的两个外项分别是1.2和5。这个比例是( )。
【对应练习2】
如果一个比例中的两个外项都是3，并且组成这个比例的两个比的比值也是3，那么这个比例可以写成( )。
【对应练习3】
在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。
【考点五】比例的基本性质其一：求某项。
【方法点拨】
1. 比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
2. 比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【典型例题】
一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。
【对应练习1】
一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为0.4，另一个内项是( )。
【对应练习2】
在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是( )。
【对应练习3】
一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。
【考点六】比例的基本性质其二：项的变化规律。
【方法点拨】
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
【典型例题】
在比例4∶18＝6∶27中，如果把第一个比的后项加上36，那么第二个比的前项应减去( )，比例才能成立。
【对应练习1】
在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立。
【对应练习2】
在比例5∶4＝75∶60中，如果外项5增加10，4和60不变，那么内项75应( )，比例仍然成立。
【对应练习3】
根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成( )才能使比例仍然成立。
【考点七】比例的基本性质其三：比例的八种形式变换。
【方法点拨】
乘积式变形的常见八种形式，即如果a×b=c×d，那么
①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b；
②换比形式：d:b=a:c；
③换内项形式：a:d=c:b；
④换比形式：c:b=a:d；
⑤换外项形式：b:c=d:a；
⑥换比形式：d:a=b:c；
⑦前后换形式：c:a=b:d；
⑧换比形式：b:d=c:a。
【典型例题】
已知6×8＝4×12，根据比例的基本性质，写出两个不同的比例：( )、( )。
【对应练习1】
如果6x＝7y，那么x∶y＝( )∶( )；如果x∶5＝8∶y，那么xy＝( )。
【对应练习2】
如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。
【对应练习3】
根据4×6＝8×3，写出下列比例。
4∶8＝( )∶( ) 6∶8＝( )∶( )
4∶3＝( )∶( ) 3∶6＝( )∶( )
8∶4＝( )∶( ) 8∶6＝( )∶( )
【考点八】比例的基本性质其四：比和比例。
【方法点拨】
比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【典型例题】
若甲数的与乙数的相等，则甲、乙两数的最简整数比是( )，比值是( )。
【对应练习1】
甲数的等于乙数的（甲数不为0），乙数与甲数的比是( )，甲数比乙数少( )%，乙数比甲数多( )%。
【对应练习2】
甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。
【对应练习3】
已知a、b、c三个数，a的等于b的，b的等于c的，又a比c小300，则a＝( )。
【考点九】比例的基本性质其五：配比例。
【方法点拨】
如果使配上的这个数最大，只要用给出的三个数中较大的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最小的数和要求的这个数就做比例的两个内项或外项；如果使配上的这个数最小，只要用给出的三个数中较小的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最大的数和要求的这个数就作为做比例的两个内项或外项，然后再根据比例的性质求解。
【典型例题】
有四个数0.3、6、4、可以组成一个比例，最大是( )，最小是( )。
【对应练习1】
一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是( )，组成的比例是( )；这个数最大是( )，组成的比例是( )。
【对应练习2】
用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。
【对应练习3】
若4，8，6和m能组成比例，则m最大是( )，最小是( )。
【考点十】比例的基本性质其六：比例中项。
【方法点拨】
如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。
注意：只有内项要相等时才称为比例中项。
【典型例题】
已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是( )。
A．8 B．1 C．2 D．
【对应练习1】
如果6是x和9的比例中项，那么x＝( )。
【对应练习2】
如果3是和9的比例中项，那么x=( )。
【对应练习3】
如果是和x的比例中项，则x=( )。
【考点十一】解比例其一：比例式方程。
【方法点拨】
解比例式方程，利用比例的基本性质来求解。
【典型例题】
解比例。
3.75∶x＝3∶12
【对应练习1】
解比例。
（2－x）∶5＝3∶20
【对应练习2】
解比例。
∶∶
【对应练习3】
解比例。
x∶＝13.6∶2
【考点十二】解比例其二：分数式方程。
【方法点拨】
解分数式方程，找准比例的内项和外项，以分子分母交叉相乘相等来求解。
【典型例题】
解比例。
＝
【对应练习1】
解比例。
【对应练习2】
解比例。
＝
【对应练习3】
解比例。
＝∶
【考点十三】解比例其三：混合式方程。
【方法点拨】
比例式方程与分数式方程的混合，先统一形式，再按照解比例方程的方法来求解。
【典型例题】
解比例。
=12:x
【对应练习1】
解比例。
【对应练习2】
解比例。
＝∶2
【对应练习3】
解比例。
＝（8－x）∶
【考点十四】解比例其四：复杂的比例方程。
【方法点拨】
复杂的比例方程，仍然按照解比例方程的基本方法求解，要注意括号和符号的变化。
【典型例题】
解比例。
（5x+4）:（9x-6）=4:5
【对应练习1】
解比例。
（3x+2）:5=2x:3
【对应练习2】
解比例。
x:2.7=（16-x）:0.9
【对应练习3】
解比例。
（x+0.5）：2=（x﹣4）：，
【对应练习4】
解比例。
：=：（4﹣x）
【对应练习5】
解比例。
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