篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。
《人教版2024-2025学年六年级数学下册精尖特训》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2025年1月9日
2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第四单元比例·单元复习篇【四大篇章】
知识点一：比例的意义。
1. 比例的意义。
（1）表示两个比相等的式子叫做比例。
（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。
2. 比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
3. 比例的三种常见形式。
（1）比例式：
例如：80:2=200:5
（2）分数式：
例如：
（3）乘积式：
例如：80×5=200×2
4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
知识点二：比例的基本性质。
1. 比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
2. 比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
3. 乘积式变形的常见八种形式。
如果a×b=c×d，那么
①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b；
②换比形式：d:b=a:c；
③换内项形式：a:d=c:b；
④换比形式：c:b=a:d；
⑤换外项形式：b:c=d:a；
⑥换比形式：d:a=b:c；
⑦前后换形式：c:a=b:d；
⑧换比形式：b:d=c:a。
4. 比例中项。
如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。
注意：只有内项要相等时才称为比例中项。
5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。
知识点三：解比例。
1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。
2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。
知识点四：正比例。
1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。
3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
知识点五：反比例。
1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。
2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。
知识点六：判断比例关系。
1. 是否为相关联的量；
2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；
3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）：
①若两个变量的比值一定，则成正比例；
②若两个变量的乘积一定，则成反比例。
补充：
正比例关系和反比例关系的异同点：
正比例关系 反比例关系
相同点 1.都是两种相关联的量。
2.一种量随着另一种量的变化而变化。
不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。
2.相对应的两个数的比值一定。
3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。
2.相对应的两个数的乘积一定。
3.关系式：xy=k(一定)。
知识点七：比例尺。
1. 比例尺的认识和意义。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。
2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺。
3. 比例尺三种形式的写法。
（1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式；
（2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成；
（3）线段形式：
注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。
4. 比例尺基本关系式。
（1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺
（2）实际距离=图上距离÷比例尺；
（3）图上距离=实际距离×比例尺。
知识点八：比例尺的应用。
1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。
知识点九：图形的放大与缩小。
1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。
3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。
知识点十：用比例解决问题。
1.正（反）比例知识解决问题的步骤。
①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。
②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。
③解比例并写出答语。
2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。
【第一部分】基本知识与基本应用
【高频考题01】比例的意义。
1．判断下面哪组中的两个比可以组成比例，在能组成比例的括号里画“√”。
（1）2.1∶3和1.4∶2( )
（2）∶和∶( )
（3）10∶5和6.5∶325( )
（4）72∶9和8∶1( )
2．写两个比值是0.4的比，并组成比例：( )。
【高频考题02】比例的基本性质。
1．如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。
2．在一个比例里，两个外项分别是6和，如果一个内项是最小的质数，另一个内项是( )。
3．有三个数“4，5，8”，要再添上一个数使它们能组成一个比例，这个数最大是( )。
4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上( )才能使比例成立。
【高频考题03】解比例。
1．解比例。
∶x∶20 1.5∶8＝0.5∶x
2．解比例。
（1）x∶25＝1.2∶7.5 （2） （3）
【高频考题04】正比例的认识和意义。
1．已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
x 1 2 5 10 20
y 2.5 7.5 20 37.5
2．
(1) A、B两物体的路程随时间的变化关系分别如图①、②所示，则A的速度( )B的速度（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2) A、B两物体分别从甲、乙两地同时相向而行，经过6秒两物体相遇，则甲、乙两地间的距离为( )米。
【高频考题05】反比例的认识和意义。
1．下表中x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。
x 2 40
y 5 0.1
2．如图表示一个工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成( )比例。照这样计算，修筑380米公路需要( )小时。
【高频考题06】比例关系的判断。
1．已知6x＝4y，x和y成( )比例，x∶y＝( )∶( )。
2．下面各题中的两种量是否有比例关系？如果有，成什么比例关系？填一填。
(1)一根彩带的长度一定，已用的长度与未用的长度。( )
(2)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( )
(3)平行四边形的面积一定，它的底与高。( )
(4)圆柱的高一定，圆柱的体积与底面积。( )
【高频考题07】比例尺的认识和意义。
1．线段比例尺千米，图上1厘米表示实际( )千米，改写成数字比例尺是( )。
2．铁钉的实际长度为，下图是这颗铁钉画在图纸上的情况，这幅图的比例尺是( )。
3．在一幅比例尺是1∶5000000的重庆市地图上，量得渝万城际铁路的长度大约是5cm，渝万城际铁路的实际长度约是( )km。
【高频考题08】比例尺作图。
1．以君君家为观测点，用直尺量角器画出其他三位小朋友家的位置。
（1）小海家在西偏北60°方向300米处。
（2）小贝家在东偏北45°方向400米处。
（3）豆豆家在南偏东30°方向200米处。
2．有一个长是200米，宽是150米的长方形操场，请你按照1∶5000的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。
【高频考题09】图形的放大与缩小。
1．一张长方形图片的长是16分米，宽是6分米，把它按1∶4的比缩小后，长是( )分米，宽是( )分米，这张图片的( )不变，( )变了。
2．按要求画一画。
（1）画出三角形ABC绕B点逆时针旋转90°后的图形①。
（2）画出三角形ABC按1∶2缩小后的图形②。
（3）画出三角形ABC以直线L为对称轴的轴对称图形③。
（4）将三角形ABC平移，使三角形顶点B的位置平移到（10，2）。画出平移后的图形④。
【第二部分】综合应用与解决问题
【高频考题01】正比例的实际应用。
1．琪琪身高1.5米，阳光下她的影长为2米，此时测得一个水塔在同一地面的影长为60米，水塔的高度是几米？（用比例解答）
2．甲、乙两地相距570千米，一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了380千米。照这样的速度，这辆汽车还需要多长时间才能到达乙地？（用比例解）
3．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，它们的速度之比是6∶5，相遇时客车行驶了96千米，货车行驶了多少千米？（用比例解答）
【高频考题02】反比例的实际应用。
1．为庆祝六一儿童节，实验小学举行团体操表演，如果每行站25人，那么正好站24行；如果每行站30人，那么可以站多少行？（用比例知识解答）
2．博爱小学为美化环境，购置了一些牡丹花，要栽在一个长方形花园里，如果每行栽18棵，可以栽24行；如果每行少栽2棵，需要栽多少行？（用比例解）
3．某街道要用方砖重新铺设一个小广场。用边长2分米的方砖铺需要用216块，如果改用边长是3分米的方砖铺，需要多少块？（用比例知识解）
【高频考题03】比例尺的实际应用。
1．衡水到济南大约170千米，高铁要行驶90分钟左右。一只蚂蚁在一幅地图上仅用了2秒就从衡水爬到了济南，已知蚂蚁每秒爬行1.25厘米，这幅地图的比例尺是多少？
2．两个城市之间的铁路线大约长1900千米。在一幅比例尺为的地图上，这两个城市之间铁路线的长度大约是多少厘米？
3．在一幅地图上，用6厘米的距离表示实际距离1200千米。在这幅地图上量得A、B两地的距离是4.5厘米，A、B两地的实际距离是多少千米？一条560千米的高速公路，在这幅地图上是多少厘米？
4．在一幅比例尺是1∶9000000的地图上，量得京沪高速公路的全长是14厘米，两辆汽车分别同时从北京和上海出发相向而行，6小时后两车在距两地中点60千米处相遇。已知慢车的速度是95千米/时，快车的速度是多少？
【高频考题04】比例的综合应用。
1．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？（用比例知识解答）
2．一根电线，第一次用去的与剩下的比是3∶4，第二次用去40米，这时用去的与剩下的比是5∶4。这根电线全长多少米？（用比例知识解答）
一、填空题。
1．（2024·江西南昌·期末）可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。
2．（2024·湖南张家界·期末）在比例中，两个外项的积等于最小的质数，其中一个内项是2，另一个内项是( )。
3．（2024·四川绵阳·期末）圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成( )比例关系。长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的( )。
4．（2024·辽宁鞍山·期末）下表中，当x和y成正比例关系时，▲是( )；当x和y成反比例关系时，▲是( )。
x 4 6
y 50 ▲
5．（2024·四川绵阳·期末）甲、乙两地相距60km，画在比例尺是的地图上，应画( )cm。这幅地图的比例尺用线段比例尺表示，地图上1cm的距离相当于地面上( )km的距离。
6．（2024·四川德阳·期末）把一个长50cm、宽30cm的长方形按1∶30缩小，得到的图形的面积是( )cm2。
二、判断题。
7．（2024·河北张家口·期末）4.5∶7.5与3.6∶6能组成比例。( )
8．（2024·四川绵阳·期末）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就成正比例关系或反比例关系。( )
9．（2024·河北沧州·期末）按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。( )
10．（2024·四川广元·期末）王师傅完成一项工作，由于工作效率提高了25%，故所用的时间节省了20%。( )
三、选择题。
11．（2023·吉林松原·期末）根据3×8＝4×6写出的比例，错误的是( )。
A． B． C． D．
12．（2021·河南信阳·期末）下列说法中成正比例关系的是( )，成反比例关系的是( )。
①《快乐数学》的订阅数量和付款钱数；
②人的身高和体重；
③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度；
④圆锥的体积一定，它的底面积和高。
A．①③；④ B．④；② C．②；④ D．③；①
13．（2024·广东肇庆·期末）在下边解比例的过程中，没有用到( )。
0.6∶0.4＝x∶2.2
解：0.4x＝0.6×2.2
x＝
x＝3.3
A．比例的基本性质 B．比的基本性质
C．等式的性质 D．小数乘、除法的计算方法
14．（2024·浙江杭州·期末）加工同一批零件，师傅用了8分钟，徒弟用了10分钟。下列说法不成立的是( )。
A．师傅的工作效率比徒弟高 B．师傅的工作效率和工作时间成正比例
C．师傅的用时比徒弟少 D．徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟
四、计算题。
15．（2024·河北沧州·期末）解比例。
0.6∶x＝0.3∶2
五、作图题。
16．（2024·辽宁鞍山·期末）看图完成要求。
①体育馆在公园( )偏( )( )°方向( )米处。
②美术馆在公园南偏东45°方向500米处，请在图中标出美术馆的位置。
③在公园的南面400米处，有一条文化街与民生路互相垂直，请在图中用画直线方式表示出来，并标注：文化街。
17．（2024·辽宁鞍山·期末）（1）如果点A的位置用数对表示为（4，5），那么点B的位置可以表示为( )，点C的位置可以表示为( )。
（2）画出三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。
（3）以a为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。
（4）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。
六、解答题。
18．（2024·广东东莞·期末）小米和小力参加学校的“数学实践活动”，下面是他俩的对话。
小米：“校园里这棵大树有多高呢？”
小力：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算。”
小米：“我测得大树的影长是15米。”
小力：“我的身高和影长也测量出来了（如图）。”
请你根据他们的对话求出这棵大树有多高。（列比例解决问题）
19．（2024·四川德阳·期末）一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答）
20．（2022·河北保定·期末）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。如果汽车以每小时120千米的速度于上午7时整从甲地开出，走完这段路程，到达乙地时是什么时间？
21．（2024·湖北黄冈·期末）甲乙两个工程队合修一条公路，计划每天修60米，30天修完，实际每天多修20%，实际多少天可以修完？（用比例解）
22．（2024·湖北十堰·期末）一辆火车从甲地开往乙地，每小时行200千米，4.8小时可以到达。如果速度提高，可以提前几个小时到达？（用比例解）
23．（2024·湖南常德·期末）一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。
每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500
组装天数/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。
（2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
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第四单元比例·单元复习篇【四大篇章】
知识点一：比例的意义。
1. 比例的意义。
（1）表示两个比相等的式子叫做比例。
（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。
2. 比例的各部分名称。
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
3. 比例的三种常见形式。
（1）比例式：
例如：80:2=200:5
（2）分数式：
例如：
（3）乘积式：
例如：80×5=200×2
4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
知识点二：比例的基本性质。
1. 比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
2. 比和比例的联系与区别。
比 比例
意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
3. 乘积式变形的常见八种形式。
如果a×b=c×d，那么
①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b；
②换比形式：d:b=a:c；
③换内项形式：a:d=c:b；
④换比形式：c:b=a:d；
⑤换外项形式：b:c=d:a；
⑥换比形式：d:a=b:c；
⑦前后换形式：c:a=b:d；
⑧换比形式：b:d=c:a。
4. 比例中项。
如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。
注意：只有内项要相等时才称为比例中项。
5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。
知识点三：解比例。
1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。
2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。
知识点四：正比例。
1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。
3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
知识点五：反比例。
1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。
2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。
知识点六：判断比例关系。
1. 是否为相关联的量；
2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；
3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）：
①若两个变量的比值一定，则成正比例；
②若两个变量的乘积一定，则成反比例。
补充：
正比例关系和反比例关系的异同点：
正比例关系 反比例关系
相同点 1.都是两种相关联的量。
2.一种量随着另一种量的变化而变化。
不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。
2.相对应的两个数的比值一定。
3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。
2.相对应的两个数的乘积一定。
3.关系式：xy=k(一定)。
知识点七：比例尺。
1. 比例尺的认识和意义。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。
2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺。
3. 比例尺三种形式的写法。
（1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式；
（2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成；
（3）线段形式：
注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。
4. 比例尺基本关系式。
（1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺
（2）实际距离=图上距离÷比例尺；
（3）图上距离=实际距离×比例尺。
知识点八：比例尺的应用。
1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。
知识点九：图形的放大与缩小。
1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。
3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。
知识点十：用比例解决问题。
1.正（反）比例知识解决问题的步骤。
①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。
②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。
③解比例并写出答语。
2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。
【第一部分】基本知识与基本应用
【高频考题01】比例的意义。
1．判断下面哪组中的两个比可以组成比例，在能组成比例的括号里画“√”。
（1）2.1∶3和1.4∶2( )
（2）∶和∶( )
（3）10∶5和6.5∶325( )
（4）72∶9和8∶1( )
【答案】（1）（√）（2）（ ）（3）（ ）（4）（√）
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。
【详解】（1）2.1∶3＝2.1÷3＝0.7
1.4÷2＝0.7
0.7＝0.7，比值相等，所以2.1∶3和1.4∶2能组成比例；
（2）∶＝÷＝×3＝
∶＝÷＝×＝
≠，比值不相等，所以∶和∶不能组成比例；
（3）10∶5＝10÷5＝2
6.5∶325＝6.5÷325＝0.02
2≠0.02，比值不相等，所以10∶5和6.5∶325不能组成比例；
（4）72∶9＝72÷9＝8
8∶1＝8÷1＝8
8＝8，比值相等，所以72∶9和8∶1能组成比例。
综上所述，能组成比例的两个比如下：
（1）2.1∶3和1.4∶2（√）
（2）∶和∶（ ）
（3）10∶5和6.5∶325（ ）
（4）72∶9和8∶1（√）
2．写两个比值是0.4的比，并组成比例：( )。
【答案】2∶5＝4∶10（答案不唯一）
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，所以，只要保证任意写出的两个比的比值是0.4，就可以组成比例。
【详解】2∶5＝0.4，4∶10＝0.4
组成比例是：2∶5＝4∶10
【点睛】本题考查比例的意义，关键是保证写出的两个比的比值一定相等。
【高频考题02】比例的基本性质。
1．如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。
【答案】5；3；
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；据此逆推，即可解答。
【详解】a＝b
3a＝5b
a∶b＝5∶3
b∶a＝3∶5
＝
如果a＝b（a、b均不为0），那么a∶b＝5∶3，＝。
2．在一个比例里，两个外项分别是6和，如果一个内项是最小的质数，另一个内项是( )。
【答案】2
【分析】已知一个比例里的两个外项分别是6和，一个内项是最小的质数即2；根据比例的基本性质“两个外项的积等于两项的积”，那么用积除以已知的一个内项，即可求出另一个内项。
【详解】6×÷2
＝4÷2
＝2
另一个内项是2。
3．有三个数“4，5，8”，要再添上一个数使它们能组成一个比例，这个数最大是( )。
【答案】10
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，用较大两数的积÷最小数即可。
【详解】5×8÷4＝10
有三个数“4，5，8”，要再添上一个数使它们能组成一个比例，这个数最大是10。
4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上( )才能使比例成立。
【答案】18
【分析】先算出第一个比的后项增加30后两内项的积，即（10＋30）×21＝840；根据比例的基本性质可知，两外项的积也是840，用840除以35求出第二个比的后项是24；最后用24减去6求出第二个比的后项应该加几。
【详解】（10＋30）×21÷35－6
＝40×21÷35－6
＝840÷35－6
＝24－6
＝18
所以第二个比的后项应该加上18才能使比例成立。
【点睛】明确比例的基本性质是解决此题的关键。
【高频考题03】解比例。
1．解比例。
∶x∶20 1.5∶8＝0.5∶x
【答案】x＝105；x；x
【分析】∶x＝∶20，解比例，原式化为：x＝×20，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可；
1.5∶8＝0.5∶x；解比例，原式化为：1.5x＝8×0.5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.5即可；
＝，解比例，原式化为：（5x－1）×7＝6×3，化简，原式化为：5x×7－1×7＝18，再化简，原式化为：35x－7＝18，根据等式的性质1，方程两边同时加上7，再根据等式的性质2，方程两边同时除以35即可。
【详解】∶x＝∶20
解：x＝×20
x＝25
x÷＝25÷
x＝25×
x＝105
1.5∶8＝0.5∶x
解：1.5x＝8×0.5
1.5x＝4
1.5x÷1.5＝4÷1.5
x＝
＝
解：（5x－1）×7＝6×3
5x×7－1×7＝18
35x－7＝18
35x－7＋7＝18＋7
35x＝25
35x÷35＝25÷35
x＝
2．解比例。
（1）x∶25＝1.2∶7.5 （2） （3）
【答案】（1）x＝4；（2）x＝3.8；（3）x＝7.5
【分析】（1）根据比例的基本性质，把式子转化为7.5x＝1.2×25，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以7.5即可；
（2）根据比例的基本性质，把式子转化为0.85x＝1.7×1.9，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以0.85即可；
（3）根据比例的基本性质，把式子转化为x＝×10，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可。
【详解】（1）x∶25＝1.2∶7.5
解：7.5x＝1.2×25
7.5x＝30
7.5x÷7.5＝30÷7.5
x＝4
（2）
解：0.85x＝1.7×1.9
0.85x＝3.23
0.85x÷0.85＝3.23÷0.85
x＝3.8
（3）
解：x＝×10
x＝2.5
x÷＝2.5÷
x＝2.5×3
x＝7.5
【高频考题04】正比例的认识和意义。
1．已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
x 1 2 5 10 20
y 2.5 7.5 20 37.5
【答案】见详解
【分析】y与x成正比例关系，则y与x的比值是一定的。当x＝1时，y＝2.5，则＝2.5则y与x的比值是2.5。求x的值用y÷2.5，求y的值用x×2.5。
【详解】据分析，当x＝1时，y＝2.5，则＝2.5。
x 1 2 3 5 8 10 15 20
y 2.5 5 7.5 12.5 20 25 37.5 50
当x＝2时，y＝2×2.5＝5；
当y＝7.5时，y＝7.5÷2.5＝3
当x＝5时，y＝5×2.5＝12.5
当y＝20时，y＝20÷2.5＝8
当x＝10时，y＝10×2.5＝25
当y＝37.5时，y＝37.5÷2.5＝15
当x＝20时，y＝20×2.5＝50
2．
(1) A、B两物体的路程随时间的变化关系分别如图①、②所示，则A的速度( )B的速度（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2) A、B两物体分别从甲、乙两地同时相向而行，经过6秒两物体相遇，则甲、乙两地间的距离为( )米。
【答案】(1)＜
(2)15
【分析】A、B两物体的路程随时间变化关系图都是一条直直的线，说明A、B两物体的路程与时间成正比例，且路程与时间的比值就是速度。
（1）分别在A、B的图形中找一点，用这一点的路程除以时间可以分别求出他们的速度，再比较大小即可。
（2）在（1）中已经求出A、B的速度，用A与B的速度和乘上时间6秒可以求出路程和也就是甲乙两地间的距离。
【详解】（1）A的速度：6÷12＝0.5（米/秒）
B的速度：12÷6＝2（米/秒）
0.5＜2，所以A的速度＜B的速度
（2）（0.5＋2）×6
＝2.5×6
＝15（米）
则甲乙两地间的距离是15米。
【高频考题05】反比例的认识和意义。
1．下表中x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。
x 2 40
y 5 0.1
【答案】见解析
【分析】x和y两个量成反比例关系，则x和y两个量的乘积一定，当x＝2时，y＝5，得xy＝10。即当知道x时，y＝10÷x，当知道y时，x＝10÷y。
【详解】据分析，xy＝10。
x 2 100 40 12
y 5 50 0.1
当x＝时，y＝10÷＝10×5＝50
当y＝0.1时，x＝10÷0.1＝100
当x＝40时，y＝10÷40＝
当y＝时，y＝10÷＝10×＝12
2．如图表示一个工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成( )比例。照这样计算，修筑380米公路需要( )小时。
【答案】 正 3.8
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；根据路程÷速度＝时间，代入数据列式解答即可求出时间。
【详解】100÷1＝100（米/小时）
200÷2＝100（米/小时）
300÷3＝100（米/小时）
修路长度÷时间＝速度（一定），商一定，所以修路长度与所用时间成正比例。
380÷100＝3.8（小时）
则修路长度与所用时间成正比例，修筑380米公路需要3.8小时。
【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。
【高频考题06】比例关系的判断。
1．已知6x＝4y，x和y成( )比例，x∶y＝( )∶( )。
【答案】 正 2 3
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断出x和y的关系即可。
【详解】因为6x＝4y
所以x∶y
＝4∶6
＝（4÷2）∶（6÷2）
＝2∶3
＝
x和y的比值一定，因此x、y成正比例，x∶y＝2∶3。
【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识。
2．下面各题中的两种量是否有比例关系？如果有，成什么比例关系？填一填。
(1)一根彩带的长度一定，已用的长度与未用的长度。( )
(2)玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数。( )
(3)平行四边形的面积一定，它的底与高。( )
(4)圆柱的高一定，圆柱的体积与底面积。( )
【答案】(1)不成比例
(2)成正比例关系
(3)成反比例关系
(4)成正比例关系
【分析】判断两个相关联的量成何种比例关系的方法：如果它们的积一定，则成反比例关系；如果它们的比值（商）一定，则成正比例关系。逐项分析解答。
【详解】（1）已用的长度＋未用的长度＝彩带的总长度。（和一定）
所以，一根彩带的长度一定，已用的长度与未用的长度不成比例关系。
（2）玉米的总产量÷公顷数＝玉米每公顷产量一定（商一定）
所以，玉米每公顷产量一定，玉米的总产量与公顷数成正比例关系。
（3）底×高＝平行四边形面积（乘积一定）
所以，平行四边形的面积一定，它的底与高成反比例关系。
（4）圆柱的体积÷底面积＝圆柱的高（商一定）
所以，圆柱的高一定，圆柱的体积与底面积成正比例关系。
【高频考题07】比例尺的认识和意义。
1．线段比例尺千米，图上1厘米表示实际( )千米，改写成数字比例尺是( )。
【答案】 25 1∶2500000/
【分析】由线段比例尺可知：图上1厘米表示实际的25千米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，带入数值化简即可。
【详解】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际25千米。
25千米＝2500000厘米
1厘米∶25千米
＝1厘米∶2500000厘米
＝1∶2500000
因此线段比例尺表示图上1厘米表示实际25千米，改写成数字比例尺是1∶2500000。
2．铁钉的实际长度为，下图是这颗铁钉画在图纸上的情况，这幅图的比例尺是( )。
【答案】
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，观察图可知，铁钉的图上距离是6cm，实际距离是15mm＝1.5cm，据此解答即可。
【详解】15mm＝1.5cm
这幅图的比例尺是：。
【点睛】本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的计算公式。
3．在一幅比例尺是1∶5000000的重庆市地图上，量得渝万城际铁路的长度大约是5cm，渝万城际铁路的实际长度约是( )km。
【答案】250
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺进行换算即可。
【详解】5÷
＝5×5000000
＝25000000（cm）
25000000cm＝250km
则渝万城际铁路的实际长度约是250km。
【高频考题08】比例尺作图。
1．以君君家为观测点，用直尺量角器画出其他三位小朋友家的位置。
（1）小海家在西偏北60°方向300米处。
（2）小贝家在东偏北45°方向400米处。
（3）豆豆家在南偏东30°方向200米处。
【答案】图见详解
【分析】根据地图方向的规定“上北下南，左西右东”，以君君家为观测点即可确定小海家、小贝家、豆豆家的方向，再根据小海家、小贝家、豆豆家与君君家的实际距离及图中所标注的线段比例尺即可分别求出小海家、小贝家、豆豆家与君君家的图上距离，从而画出小海家、小贝家、豆豆家的位置。
【详解】（1）300÷100＝3（厘米）
即小海家在君君家西偏北60°方向图上距离3厘米处；
（2）400÷100＝4（厘米）
即小贝家在君君家东偏北45°方向图上距离4厘米处；
（3）200÷100＝2（厘米）
即豆豆家在君君家南偏东30°方向图上距离2厘米处。
根据以上信息画图如下：
2．有一个长是200米，宽是150米的长方形操场，请你按照1∶5000的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。
【答案】见详解
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，分别求出长方形操场的长、宽的图上距离，再画出长方形即可。
【详解】200米＝20000厘米；150米＝15000厘米。
20000×＝4（厘米）
15000×＝3（厘米）
图如下：
【高频考题09】图形的放大与缩小。
1．一张长方形图片的长是16分米，宽是6分米，把它按1∶4的比缩小后，长是( )分米，宽是( )分米，这张图片的( )不变，( )变了。
【答案】 4 1.5 形状 大小
【分析】根据题意，把一张长方形图片按1∶4的比缩小，则它的长、宽都要除以4，即是缩小后长方形的长、宽，再根据图形放大与缩小的特点“形状相同，大小不同”进行解答。
【详解】16÷4＝4（分米）
6÷4＝1.5（分米）
把它按1∶4的比缩小后，长是4分米，宽是1.5分米，这张图片的形状不变，大小变了。
2．按要求画一画。
（1）画出三角形ABC绕B点逆时针旋转90°后的图形①。
（2）画出三角形ABC按1∶2缩小后的图形②。
（3）画出三角形ABC以直线L为对称轴的轴对称图形③。
（4）将三角形ABC平移，使三角形顶点B的位置平移到（10，2）。画出平移后的图形④。
【答案】图见详解
【分析】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：①根据题目要求，确定旋转中心是B点、旋转方向是逆时针和旋转角时90°。②分析所作图形，找出构成图形的关键点。③找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点。④作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（2）把图形按照1∶2缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶2。通过图片得出直角三角形的两个直角边分别是4和2，则缩小后的直角三角形的两个直角边分别是2和1。
（3）画轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。
（4）根据图形可知原来的B的位置（3，4），平移到（10，2），就是将图形先向右平移7个单位，再向下平移2的单位。然后将三角形的其他的点按照B的平移方法平移。再将点依次连接。
【详解】
【第二部分】综合应用与解决问题
【高频考题01】正比例的实际应用。
1．琪琪身高1.5米，阳光下她的影长为2米，此时测得一个水塔在同一地面的影长为60米，水塔的高度是几米？（用比例解答）
【答案】45米
【分析】由题意可知，设水塔的高度是x米，根据同一时间，同一地点物体高度与它的影长成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设水塔的高度是x米。
1.5∶2＝x∶60
2x＝1.5×60
2x＝90
2x÷2＝90÷2
x＝45
答：水塔的高度是45米。
2．甲、乙两地相距570千米，一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了380千米。照这样的速度，这辆汽车还需要多长时间才能到达乙地？（用比例解）
【答案】2小时
【分析】因为汽车前后的速度不变，路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例，4小时行了380千米，剩下（570－380）千米。设到达乙地还需要x小时，再按照正比例关系列方程。
【详解】解：设这辆汽车还需x小时到达乙地。
380∶4＝（570－380）∶x
380∶4＝190∶x
380x＝4×190
380x＝760
380x÷380＝760÷380
x＝2
答：这辆汽车还需要2小时才能到达乙地。
3．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，它们的速度之比是6∶5，相遇时客车行驶了96千米，货车行驶了多少千米？（用比例解答）
【答案】80千米
【分析】根据路程÷速度＝时间可知，相遇时间相同时，路程和速度成正比例关系，即客车与货车的路程之比等于它们的速度之比，据此列出比例方程，并求解。
【详解】解：设货车行驶了千米。
96∶＝6∶5
6＝96×5
6＝480
6÷6＝480÷6
＝80
答：货车行驶了80千米。
【点睛】本题考查列比例方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系，分析出路程和速度成正比例关系是解题的关键。
【高频考题02】反比例的实际应用。
1．为庆祝六一儿童节，实验小学举行团体操表演，如果每行站25人，那么正好站24行；如果每行站30人，那么可以站多少行？（用比例知识解答）
【答案】20行
【分析】由题意可知，学生的总人数一定，则每行的人数和行数成反比例，据此解答即可。
【详解】解：设可以站x行，
30x＝24×25
30x＝600
30x÷30＝600÷30
x＝20
答：可以站20行。
2．博爱小学为美化环境，购置了一些牡丹花，要栽在一个长方形花园里，如果每行栽18棵，可以栽24行；如果每行少栽2棵，需要栽多少行？（用比例解）
【答案】27行
【分析】由题意得：学校购置了一些牡丹花，则购置牡丹花的总量一定，在长方形花园里栽种，牡丹花总量=行数每行的棵树，则根据反比例定义，行数和每行的棵树成反比例关系。可设少栽2行的每行棵树为未知数，则可列出反比例关系式，再根据等式基本性质计算可得出答案。
【详解】根据题意得：购置的牡丹花总量一定，行数和每行的棵树成反比例关系。设需要栽x行，则：
答：如果每行少栽2棵，需要栽27行。
3．某街道要用方砖重新铺设一个小广场。用边长2分米的方砖铺需要用216块，如果改用边长是3分米的方砖铺，需要多少块？（用比例知识解）
【答案】96块
【分析】这块地的面积是一定的，每块砖的面积与所需要的块数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。
【详解】解：设需要x块。
答：需要96块。
【点睛】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。
【高频考题03】比例尺的实际应用。
1．衡水到济南大约170千米，高铁要行驶90分钟左右。一只蚂蚁在一幅地图上仅用了2秒就从衡水爬到了济南，已知蚂蚁每秒爬行1.25厘米，这幅地图的比例尺是多少？
【答案】1∶6800000
【分析】根据速度×时间＝路程，求出蚂蚁爬行距离，即衡水到济南的图上距离，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。
【详解】1.25×2＝2.5（厘米）
2.5厘米∶170千米
＝2.5厘米∶17000000厘米
＝（2.5÷2.5）∶（17000000÷2.5）
＝1∶6800000
答：这幅地图的比例尺是1∶6800000。
2．两个城市之间的铁路线大约长1900千米。在一幅比例尺为的地图上，这两个城市之间铁路线的长度大约是多少厘米？
【答案】4.75厘米
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可求出这两个城市之间铁路线的长度，注意单位名数的换算。
【详解】1900千米＝190000000厘米
190000000×＝4.75（厘米）
答：这两个城市之间铁路线的长度大约是4.75厘米。
3．在一幅地图上，用6厘米的距离表示实际距离1200千米。在这幅地图上量得A、B两地的距离是4.5厘米，A、B两地的实际距离是多少千米？一条560千米的高速公路，在这幅地图上是多少厘米？
【答案】900千米；2.8厘米
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅地图的比例尺，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此计算可求出A、B两地的实际距离；根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此可求出一条560千米的高速公路，在这幅地图上是多少厘米。
【详解】6厘米∶1200千米
＝6厘米∶120000000厘米
＝6∶120000000
＝（6÷6）∶（120000000÷6）
＝1∶20000000
4.5÷＝4.5×20000000＝90000000（厘米）
90000000厘米＝900千米
560千米＝56000000厘米
56000000×＝2.8（厘米）
答：A、B两地的实际距离是900千米，一条560千米的高速公路，在这幅地图上是2.8厘米。
4．在一幅比例尺是1∶9000000的地图上，量得京沪高速公路的全长是14厘米，两辆汽车分别同时从北京和上海出发相向而行，6小时后两车在距两地中点60千米处相遇。已知慢车的速度是95千米/时，快车的速度是多少？
【答案】115千米/时
【分析】两车在距两地中点60千米处相遇，说明相遇时，快车比慢车多行驶（60×2）千米，设快车的速度是x千米/时，根据快车速度×时间－慢车速度×时间＝快车多行驶的距离，列出方程解答即可。
【详解】解：设快车的速度是x千米/时。
6x－95×6＝60×2
6x－570＝120
6x－570＋570＝120＋570
6x＝690
6x÷6＝690÷6
x＝115
答：快车的速度是115千米/时。
【高频考题04】比例的综合应用。
1．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？（用比例知识解答）
【答案】405千米
【分析】由题意可知，相遇前客车与货车的速度比是，相遇后，客车速度减少20%，货车速度增加20%，则相遇后客车、货车的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把两地间的距离看作单位“1”，当相遇时货车行驶了全程的，则客车行驶了全程的，相遇后货车还需行驶全程的，客车行驶全程的，设AB相距x千米，根据时间一定，路程和速度成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设A、B两地相距x千米。
（5－5×20%）∶（4＋4×20%）
＝（5－1）∶（4＋0.8）
＝4∶4.8
＝（4×10）∶（4.8×10）
＝40∶48
＝（40÷8）∶（48÷8）
＝5∶6
（x－27）∶（x－15）＝6∶5
（x－27）×5＝（x－15）×6
x－135＝x－90
x－135＋135＝x－90＋135
x＝x＋45
x－x＝x＋45－x
x＝45
x×9＝45×9
x＝405
答：A、B两地相距405千米。
【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。
2．一根电线，第一次用去的与剩下的比是3∶4，第二次用去40米，这时用去的与剩下的比是5∶4。这根电线全长多少米？（用比例知识解答）
【答案】315米
【分析】假设这根电线全长x米，根据题意，第一次用去的长度占全长的，剩下的长度占全长的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以第一次用去的长度是x米，剩下的长度是x米，第二次用去40米，共用去（x＋40）米，这时剩下（x－40）米，根据用去的与剩下的比是5∶4，列出方程，解方程即可求出这根电线全长多少米。
【详解】解：设这根电线全长x米，
（x＋40）∶（x－40）＝5∶4
（x＋40）∶（x－40）＝5∶4
（x－40）×5＝（x＋40）×4
x×5－40×5＝x×4＋40×4
x－200＝x＋160
x－x＝160＋200
x＝360
x＝360÷
x＝360×
x＝315
答：这根电线全长315米。
【点睛】此题主要考查比的应用，弄清题意，把这根电线全长设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
一、填空题。
1．（2024·江西南昌·期末）可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。
【答案】 A C 2∶1＝4∶2
【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别写出各三角形两直角边的比，求出比值，找到比值相等的两个比即可。
【详解】图A：2∶1＝2÷1＝2
图B：3∶2＝3÷2＝1.5
图C：4∶2＝4÷2＝2
可以用图A与图C的数据组成比例，写成比例是：2∶1＝4∶2。（写出的比例不唯一）
2．（2024·湖南张家界·期末）在比例中，两个外项的积等于最小的质数，其中一个内项是2，另一个内项是( )。
【答案】1
【分析】根据题意，结合比例的基本性质可知，外项之积等于内项之积。最小的质数为2，用2除以2，即可求出答案。
【详解】2÷2＝1
所以另外一个内项是1。
3．（2024·四川绵阳·期末）圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成( )比例关系。长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的( )。
【答案】 反 3倍
【分析】两种相关联的量，如果两个量的商一定，则这两个量成正比例；如果两个量的乘积一定，则这两个量成反比例。
根据，得出底面积和高两个变量乘积是一定的，则这两个变量是成反比例。
根据，得出长方体的高和体积成正比例关系，高扩大原来的几倍，体积也会扩大原来的几倍。
【详解】（一定）
则圆柱的底面积和高成反比例关系。
（一定）
长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的3倍。
4．（2024·辽宁鞍山·期末）下表中，当x和y成正比例关系时，▲是( )；当x和y成反比例关系时，▲是( )。
x 4 6
y 50 ▲
【答案】 75
【分析】当x和y成正比例关系时，它们比值一定，则，根据比的内项的积等于外项的积，即可解出▲的值；当x和y成反比例关系时，它们的积一定，根据比的内项的积等于外项的积，则，即可解出▲的值。
【详解】
解：
解：
因此，当x和y成正比例关系时，▲是75；当x和y成反比例关系时，▲是。
5．（2024·四川绵阳·期末）甲、乙两地相距60km，画在比例尺是的地图上，应画( )cm。这幅地图的比例尺用线段比例尺表示，地图上1cm的距离相当于地面上( )km的距离。
【答案】 1.2 50
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，求出应画的长度，再根据比例的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出1cm表示地面上多长的距离，注意单位名数的换算。
【详解】60km＝6000000cm
6000000×＝1.2（cm）
比例尺＝1∶5000000
5000000cm＝50km
甲、乙两地相距60km，画在比例尺是的地图上，应画1.2cm。这幅地图的比例尺用线段比例尺表示，地图上1cm的距离相当于地面上50km的距离。
6．（2024·四川德阳·期末）把一个长50cm、宽30cm的长方形按1∶30缩小，得到的图形的面积是( )cm2。
【答案】/
【分析】长方形按1∶30缩小，则缩小后的边长等于原边长乘，据此求出缩小后得到图形的长与宽，再用长×宽，可得出缩小后图形面积，据此解答。
【详解】50×＝（cm）
30×＝1（cm）
×1＝（cm2）
把一个长50cm、宽30cm的长方形按1∶30缩小，得到的图形的面积是cm2。
二、判断题。
7．（2024·河北张家口·期末）4.5∶7.5与3.6∶6能组成比例。( )
【答案】√
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。据此先求出4.5∶7.5与3.6∶6的比值，如果比值相等，则能组成比例，反之则不能。
【详解】4.5∶7.5
＝4.5÷7.5
＝0.6
3.6∶6
＝3.6÷6
＝0.6
4.5∶7.5与3.6∶6比值相等，能组成比例。原题说法正确。
故答案为：√
8．（2024·四川绵阳·期末）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就成正比例关系或反比例关系。( )
【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，比值情况未知，不能判断成正比例或成反比例，说法错误。
故答案为：×
9．（2024·河北沧州·期末）按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。( )
【答案】√
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，由此可知：按10∶1的比例尺画出的零件图形，图上距离是实际距离的10倍。据此解答。
【详解】根据比例尺的意义可知：按10∶1的比例尺画出的零件图形，图上距离是实际距离的10倍，所以按10∶1的比例尺画出的零件图形，比实际零件大。
原题说法正确。
故答案为：√
10．（2024·四川广元·期末）王师傅完成一项工作，由于工作效率提高了25%，故所用的时间节省了20%。( )
【答案】√
【分析】把原来的工作效率看作单位“1”，则现在的工作效率是原来的（1＋25%），原来和现在的工作效率比是1∶（1＋25%）＝4∶5。工作总量不变的情况下，工作效率和工作时间成反比例，则原来和现在所用的时间比是5∶4。根据“求一个数比另一个数多（或少）百分之几，先求出多（或少）的具体数量，再除以单位“1”数量即可解答”，用5减去4的差除以5，即可求出现在比原来所用的时间节省了百分之几，据此判断。
【详解】1∶（1＋25%）
＝1∶125%
＝1∶
＝（1×4）∶（×4）
＝4∶5
原来和现在所用的时间比是5∶4。
（5－4）÷5×100%
＝1÷5×100%
＝0.2×100%
＝20%
则所用的时间节省了20%。原题说法正确。
故答案为：√
三、选择题。
11．（2023·吉林松原·期末）根据3×8＝4×6写出的比例，错误的是( )。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，据此逐项分析。
【详解】A．，3×6＝18，4×8＝32，18≠32，该选项错误；
B．，3×8＝4×6＝24，该选项正确；
C．，3×8＝4×6＝24，该选项正确；
D．，3×8＝4×6＝24，该选项正确。
故答案为：A
12．（2021·河南信阳·期末）下列说法中成正比例关系的是( )，成反比例关系的是( )。
①《快乐数学》的订阅数量和付款钱数；
②人的身高和体重；
③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度；
④圆锥的体积一定，它的底面积和高。
A．①③；④ B．④；② C．②；④ D．③；①
【答案】A
【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这两种量就成正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这两种量就成反比例关系。
【详解】①《快乐数学》的单价固定的，即付款钱数÷订阅数量＝单价（一定），因此《快乐数学》的订阅数量和付款钱数成正比例；
②人的身高和体重不是相关联的量，因此它们的积或比值都不一定，所以人的身高和体重不成比例；
③同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度的比值是一定的，因此同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度成正比例；
④圆锥的体积＝×底面积×高，因为圆锥的体积一定，即底面积×高＝3×体积（一定），因此圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。
则成正比例关系的是①③，成反比例关系的是④。
故答案为：A
13．（2024·广东肇庆·期末）在下边解比例的过程中，没有用到( )。
0.6∶0.4＝x∶2.2
解：0.4x＝0.6×2.2
x＝
x＝3.3
A．比例的基本性质 B．比的基本性质
C．等式的性质 D．小数乘、除法的计算方法
【答案】B
【分析】A．比例的基本性质：比例的两内项积等于两内项积；
B．比的基本性质：比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；
C．等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式；
D．小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。
【详解】0.6∶0.4＝x∶2.2
解：0.4x＝0.6×2.2→比例的基本性质
0.4x÷0.4＝0.6×2.2÷0.4→等式的性质2
x＝→根据小数乘、除法的计算方法，先算0.6×2.2，再算0.6×2.2的积÷0.4
x＝3.3
没有用到比的基本性质。
故答案为：B
14．（2024·浙江杭州·期末）加工同一批零件，师傅用了8分钟，徒弟用了10分钟。下列说法不成立的是( )。
A．师傅的工作效率比徒弟高 B．师傅的工作效率和工作时间成正比例
C．师傅的用时比徒弟少 D．徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟
【答案】B
【分析】A．加工同一批零件，工作时间越少的工作效率越高，据此比较两人工作时间即可；
B．两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；
C．将徒弟用时看作单位“1”，师傅和徒弟的时间差÷徒弟用时＝师傅的用时比徒弟少几分之几；
D．将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，徒弟工作效率×工作时间＝相应工作量，徒弟工作量÷师傅工作效率＝师傅需要的时间。
【详解】A．8＜10，师傅的工作效率比徒弟高，说法正确；
B．工作效率×工作时间＝工作总量，师傅的工作效率和工作时间成反比例，选项说法错误；
C．（10－8）÷10
＝2÷10
＝
师傅的用时比徒弟少，说法正确；
D．×5÷
＝×8
＝4（分钟）
徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟，说法正确。
说法不成立的是师傅的工作效率和工作时间成正比例。
故答案为：B
四、计算题。
15．（2024·河北沧州·期末）解比例。
0.6∶x＝0.3∶2
【答案】x＝4；x＝；x＝3；x＝1.5
【分析】根据比例的基本性质，先把比例化为方程：0.3x＝0.6×2，两边再同时除以0.3；
根据比例的基本性质，先把比例化为方程：x＝×，两边再同时乘；
根据比例的基本性质，先把比例化为方程：20%x＝×，两边再同时除以20%；
根据比例的基本性质，先把比例化为方程：42x＝21×3，两边再同时除以42。
【详解】0.6∶x＝0.3∶2
解：0.3x＝0.6×2
0.3x＝1.2
0.3x÷0.3＝1.2÷0.3
x＝4
∶x＝∶
解：x＝×，
x＝
×x＝×
x＝
20%x∶＝∶x
解：20%x＝×
20%x＝
20%x÷20%＝÷20%
x＝0.6÷0.2
x＝3
解：42x＝21×3
42x＝63
42x÷42＝63÷42
x＝1.5
五、作图题。
16．（2024·辽宁鞍山·期末）看图完成要求。
①体育馆在公园( )偏( )( )°方向( )米处。
②美术馆在公园南偏东45°方向500米处，请在图中标出美术馆的位置。
③在公园的南面400米处，有一条文化街与民生路互相垂直，请在图中用画直线方式表示出来，并标注：文化街。
【答案】①北；西；60；600；
②③画图见详解
【分析】①地图方向是上北下南，左西右东，观察发现体育馆距离公园3厘米，利用图上距离除以比例尺，求出实际距离，描述体育馆在公园的方向和位置即可。
②用实际距离乘比例尺求出图上距离，根据方向和角度，确定美术馆的位置，标出即可。
③用实际距离乘比例尺求出图上距离，根据文化街与民生路互相垂直，确定文化街的位置，标出即可。
【详解】①（厘米）＝600（米）
所以体育馆在公园北偏西60°方向600米处，或西偏北30°方向600米处。
②500米＝50000厘米
图上距离：（厘米）
如图所示：
③400米＝40000厘米
图上距离：（厘米）
如图所示：
17．（2024·辽宁鞍山·期末）（1）如果点A的位置用数对表示为（4，5），那么点B的位置可以表示为( )，点C的位置可以表示为( )。
（2）画出三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。
（3）以a为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。
（4）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。
【答案】（1）（7，5）；（4，9）
（2）（3）（4）见详解
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出点B、点C的位置；
（2）旋转图形的作图方法：根据题目要求确定旋转中心（点B）、旋转方向（逆时针）、旋转角度（90°）；分析所作图形，找出构成图形的关键边；按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边；最后依次连接组成封闭图形；
（3）找出三角形的关键点A、B、C，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。
（4）观察可知，ACAB，又知AC有4格的长度，AB有3格的长度，则可画一直角三角形，两直角边一条为格，另一条为格，再把另外两个端点连起来即可。
【详解】（1）点B的位置可以表示为（ 7，5），点C的位置可以表示为（4，9）。
（2）（3）（4）据分析作图如下：
六、解答题。
18．（2024·广东东莞·期末）小米和小力参加学校的“数学实践活动”，下面是他俩的对话。
小米：“校园里这棵大树有多高呢？”
小力：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算。”
小米：“我测得大树的影长是15米。”
小力：“我的身高和影长也测量出来了（如图）。”
请你根据他们的对话求出这棵大树有多高。（列比例解决问题）
【答案】18.75米
【分析】同一时间、同一地点，物体的高度和它的影长的比值是一定的，也就是物体的高度和它的影长成正比例。
设大树的高度为x米，可列出比例＝，再解比例即可。
【详解】解：设大树的高度为x米
＝
1.2x＝1.5×15
1.2x＝22.5
1.2x÷1.2＝22.5÷1.2
x＝18.75
答：这课大树的高度为18.75米。
19．（2024·四川德阳·期末）一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答）
【答案】337.5千米
【分析】根据题意可知：这辆车每千米耗油量不变，即耗油量÷总路程＝每千米耗油量（一定），比值一定，那么耗油量与行驶的总路程成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解即可。
【详解】解：设甲、乙两地相距x千米。
4∶30＝45∶x
4x＝30×45
4x＝1350
4x÷4＝1350÷4
x＝337.5
答：甲、乙两地相距337.5千米。
20．（2022·河北保定·期末）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。如果汽车以每小时120千米的速度于上午7时整从甲地开出，走完这段路程，到达乙地时是什么时间？
【答案】上午9时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出甲乙两地的实际距离，根据路程÷速度＝时间，求出行驶时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出到达时间。
【详解】6÷＝6×4000000＝24000000（厘米）＝240（千米）
240÷120＝2（小时）
7＋2＝9（时）
答：到达乙地时是上午9时。
21．（2024·湖北黄冈·期末）甲乙两个工程队合修一条公路，计划每天修60米，30天修完，实际每天多修20%，实际多少天可以修完？（用比例解）
【答案】25天
【分析】将计划每天修的长度看作单位“1”，实际每天修的是计划的（1＋20%），计划每天修的长度×实际每天修的对应百分率＝实际每天修的长度，设实际x天可以修完，根据每天修的长度×相应天数＝总长度（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设实际x天可以修完。
60×（1＋20%）×x＝60×30
60×1.2×x＝1800
72x＝1800
72x÷72＝1800÷72
x＝25
答：实际25天可以修完。
22．（2024·湖北十堰·期末）一辆火车从甲地开往乙地，每小时行200千米，4.8小时可以到达。如果速度提高，可以提前几个小时到达？（用比例解）
【答案】0.8小时
【分析】根据题意知两地间的路程一定，根据路程一定，速度和时间成反比例，据此可列出比例式进行解答。
【详解】解：设可以提前x个小时到达。
200×（1＋）×（4.8－x）＝200×4.8
200××（4.8－x）＝960
240×（4.8－x）＝960
4.8－x＝960÷240
4.8－x＝4
x＝4.8－4
x＝0.8
答：可以提前0.8个小时到达。
23．（2024·湖南常德·期末）一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。
每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500
组装天数/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。
（2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答）
【答案】（1）
（2）2250个
【分析】（1）根据总数量一定，每天组装的数量×需要的天数＝总数量，表示出p、t和组装玩具总数s之间的关系即可。（2）这批任务的数量是一定的，所以p和t成反比例；设每天组装x个玩具，根据每天组装的数量×需要的天数＝总数量，列出反比例方程解答即可。
【详解】（1）p、t和组装玩具总数s之间的关系式：。
（2）解：设每天组装x个玩具。
答：每天要组装2250个玩具。
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