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2025年中考数学压轴题专练:二次函数综合(角度问题)
1.已知二次函数的图象与轴分别交于点和点,与轴交于点,对称轴为直线,交轴于点为抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当时,求点的坐标;
(3)若点是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点,使得以为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出所有符合条件的点的横坐标;若不存在,请说明理由.
2.在平面直角坐标系中(如图),已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且.
(1)求抛物线的表达式;
(2)将该抛物线沿射线方向平移,点A、B的对应点分别是点,且的面积比的面积大3.
① 求新抛物线的对称轴方程;
② P是新抛物线上一点,如果,求点P的坐标.
3.已知点、都在抛物线上,点P是该抛物线的顶点,连接,,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是 三角形,并说明理由;
(3)点M是抛物线上的一个动点,当时,求点M的坐标.
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求拋物线的函数解析式.
(2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点,过点分别作轴,交抛物线于点,作于点,求的最大值及此时点的坐标.
(3)将抛物线先向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,在取得最大值的条件下,连接,交轴于点,平移后的抛物线上是否存在一点,使得?若存在,直接写出符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图1,抛物线经过,两点,与轴交于点,为第四象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设四边形的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,过点作轴于点,连接,,与轴交于点.当时,求满足条件的点坐标.
6.如图1,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点,直线与抛物线交于A,D两点.
(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标;
(2)抛物线上是否存在点P,使?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点、是对称轴上的两个动点,且,点在点的上方,求四边形的周长的最小值.
7.如图,二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为P,对称轴交x轴于点D,点Q是抛物线对称轴上一动点,直线交y轴于点E,且.
(1)请直接写出A,B两点的坐标:A______,B______.
(2)当顶点P与点Q关于x轴对称时,.
①求此时抛物线的函数表达式;
②在抛物线的对称轴上存在点F,使,请直接写出点F的坐标.
8.已知抛物线与x轴交于点点B两点,与y轴交于点,
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)点P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),作轴,垂足为D,连接;
①如图1,若点P在第三象限,且,求点P的横坐标;
②如图2,直线交直线于点E,当点E关于直线的对称点落在y轴上时,直接写出点P的坐标.
9.已知抛物线(,且a为常数),与轴交于点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线(,且为常数)与轴交于点(异于点),与抛物线交于点,,其中点在第一象限.
①如图1,若时,,求的值;
②如图2,若点关于点的中心对称点为点,直线交抛物线于另一点,过点作交轴于点,连接,若,求点的坐标.
10.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y 轴交于点C,点A的坐标为,直线的解析式为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点,过点M作轴交于点N,计算线段的最大值;
(3)若点P是抛物线上一动点,则是否存在点P,使.若不存在,请说明理由;若存在,请求出点P的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),连接,,.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E是线段上不与点O、A重合的点,过点E作轴,交抛物线于点P,交于点D,点M是线段上一动点,轴,垂足为N,点F为线段的中点,连接,.当线段的长度取得最大值时,请求出的最小值;
(3)将该抛物线沿射线方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段的长度取最大值时的点D,且与直线相交于另一点K,点Q为新抛物线上的一个动点,当时,直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
12.已知抛物线与x轴交于A,两点,与y轴交于点C.
(1)直接写出结果:________,________;
(2)如图1,点是第一象限内抛物线上一点,连接,若N是第二象限内抛物线上一点,,求出N点的坐标;
(3)如图2,若点P是抛物线上一点.
①若点P在右侧时,连接,,求面积的最大值;
②若点P是抛物线上任意一点,且,试确定满足条件的P点个数,请直接写出你的结论.
13.综合与探究
如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求A,B两点的坐标及直线的函数表达式.
(2)M为直线下方抛物线上一点,其横坐标为m,过点M作于点D,当线段最长时,求点M的坐标.
(3)在(2)的条件下,连接.在y轴上是否存在一点P,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
14.已知:如图1,抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图2,点为该抛物线第四象限上的一点,连接,,使,请求出点的坐标;
(3)点为该抛物线对称轴上的一点,问在(2)的条件下,该抛物线上是否存在点,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
15.如图1,平面直角坐标系中,抛物线交x轴于,两点,交y轴于点,点M是线段上一个动点,过点M作x轴的垂线,交直线于点F,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当线段长度最大时,求M点的坐标;
(3)如图2,是否存在点E,使得,若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接,点F是线段上一动点(点F不与端点A,D重合),过点F作,交抛物线于点E(点E在对称轴左侧),过点E作轴,垂足为H,交于点G,点N是线段上一动点,当取得最大值时,求的最小值;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线,点P为平移后的抛物线上一动点,当时,请直接写出所有符合条件的P的坐标,并写出其中一个点的求解过程.
17.已知在平面直角坐标系中,线段的两个端点分别在轴和轴的正半轴上.现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段,抛物线经过点和.
(1)求点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点,使得?若存在,请求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
18.抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点.
(1)请求出抛物线解析式.
(2)如图1,过点A作交抛物线于点E,连接,点P是x轴上点B右侧一动点,若与相似,求点P的坐标.
(3)如图2,已知点,Q是抛物线上一动点,是否存在点Q使得.若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
19.综合与探究
如图,抛物线过点,和,连接,为抛物线上一动点,过点作轴交直线于点,交轴于点,连接.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在直线上方,且,时,求点的坐标;
(3)当为等腰三角形时,求m的值为______;
(4)是否存在点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
20.如图,抛物线经过A,B两点,与x轴的另外一个交点为C,点P是直线上方抛物线上的一动点,过点P作y轴的平行线交直线于点D,点E是y轴上点B下方一点,若,点,点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点是直线上方抛物线上的一动点,过点作轴交于点D,在轴上点B下方取一点E,使得,求的最大值及此时点P的坐标;
(3)在点P运动过程中,连接,当的中点恰好落在y轴上时,连接,在抛物线 上是否存在点Q,使得,如果存在,请写出所有符合条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
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参考答案
1.(1)
(2)点P的坐标为或;
(3)点Q的横坐标是或4或或.
【分析】(1)先根据对称轴公式,可得,再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得,即可解答;
(2)分两种情况:①点P在的下方时,先利用待定系数法可得的解析式,联立抛物线和直线的解析式,解方程可得点P的坐标;②点P在的上方时,证明,可得,即可解答;
(3)设点P的坐标为,分三种情况:①如图3,过点P作轴于F,则,②如图4,过点P作轴于G,则,③如图5,,即可解答.
【详解】(1)解:∵二次函数,对称轴为直线,
∴,
∴,
∴,
将点代入中得:,
∴,
∴这个二次函数的表达式为:;
(2)解:分两种情况:
①点P在的下方时,如图1,
当时,,
∴,,
设的解析式为:,
∴,
∴,
∴的解析式为:,
∴,
解得:(舍),,
∴点P的坐标为;
②点P在的上方时,如图2,设直线交x轴于E,
∵,,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,即,
∴,
∵,
同理,的解析式为:,
∴,
∴,即,
∴,,
∴点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或;
(3)解:设点P的坐标为,
分三种情况:
①如图3,过点P作轴于F,则,
∵四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,,
∴点P的横坐标为,
∵,,
∴由平移得点Q的横坐标为;
②如图4,过点P作轴于G,则,
∵四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴或1,
∴点P的横坐标为1,
∵,,
∴由平移得点Q的横坐标为4;
③如图5,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴(舍),,,
∵,,
∴点Q的横坐标是或;
综上,点Q的横坐标是或4或或.
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质和判定,利用待定系数法求函数的解析式,三角函数等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
2.(1)
(2)①对称轴方程是;②点P的坐标是
【分析】(1)先求出,根据,得出,把,代入求出a的值,即可得出解析式;
(2)①先求出,则,进而得出边上的高是5,设,求出直线的解析式为,把代入得,则可知抛物线先向右平移了5个单位,又向上平移了5个单位,即可解答;
②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P,使得,易证,过点P作x轴的垂线,与、x轴分别交于点E、F,得出,设,则,,根据在中,,求出a的值,即可解答.
【详解】(1)解:由,可得,
又,
则,
把,代入得
,
所以,抛物线的表达式是.
(2)解:①由,
可得抛物线的对称轴方程是,,
由,,,
可得,
则,
根据题意,
设边上的高是h,
∴,
解得,
设,
设直线的解析式为,
将,代入得:
,
解得:,
∴直线的解析式为,
把代入得,
解得:,则,
由,,可知抛物线先向右平移了5个单位,又向上平移了5个单位,则,
所以,新抛物线的表达式是,
∴对称轴方程是.
②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P,使得,
在中,,则,
根据题意可得,则,
∴,即,
过点P作x轴的垂线,与、x轴分别交于点E、F,
∵,,
∴,
设,
则,,
在中,,
解得,
所以,点P的坐标是.
【点睛】本题考查了二次函数综合,解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤,二次函数的平移规律,解直角三角形.
3.(1)
(2)直角,见解析
(3)点M的坐标为或
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求出顶点,再根据两点间的距离公式得,,,即,由勾股定理的逆运用即可得出结论;
(3)分两种情况讨论:(ⅰ)如图,当时,,先分别求出直线和的解析式,再联立抛物线和直线的解析式,解方程即可得点M的坐标;(ⅱ)如图,作的中点D,连接交抛物线于点M,先根据直角三角形斜边上的中线的性质得,进而得,再求出直线的解析式,与抛物线的解析式联立,解方程即可得点M的坐标.
【详解】(1)解:依题意得:,
解得.
∴抛物线的解析式为;
(2)解:是直角三角形,理由如下:
由(1)得:
当时,,
∴顶点,
又∵点、,
∴,,,
∴,
∴是直角三角形,
故答案为:直角;
(3)解:分以下两种情况讨论:
(ⅰ)如图,当时,,
由(2)得:点,
设直线:,将,代入得:
,
解得:,
∴直线:,
∵,
设直线:,将点代入得,,
∴
∴直线:,
联立得,
解得:,,
∴;
(ⅱ)如图,作的中点D,连接交抛物线于点M,
由(2)得:,
∴,
∴,
∵点,点,
∴点,
设直线:,将,代入得:
,
解得:,
∴直线:,
联立得,
解得:,,
∴.
综上所述:点M的坐标为或.
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合,涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式、勾股定理、直线与抛物线的交点问题、直角三角形的斜线中线性质等知识,综合性强,熟练掌握相关知识的联系与运用,利用数形结合思想和分类讨论思想的运用是解答的关键.
4.(1)
(2)的最大值为11,此时点的坐标为
(3)存在,点的坐标为或.
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,灵活运用所学知识成为解题的关键.
(1)直接运用待定系数法求解即可;
(2)如图:过P作轴交直线于H,由二次函数的性质可得点,对称轴为;再通过证明是等腰直角三角形,即,进而得到;再运用待定系数法求得直线的解析式为,设点,则,进而得到,然后运用配方法求最值即可解答;
(3)先直线的解析式为,再求得,然后确定平移后的抛物线解析式为;设,再用两点间距离公式表示出,然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答.
【详解】(1)解:将两点代入可得:
,解得:,
∴抛物线的表达式为;
(2)解:如图:过P作轴交直线于H,
∵抛物线的表达式为,
∴点,对称轴为,
∴,
∵,
∴,
∴,即是等腰直角三角形,
∴,
∵轴,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,即,
∴,
设直线的解析式为,
则,解得:,
∴直线的解析式为,
设点,则,
∴,,
∴
,
∴当,即时,的最大值为11.
∴的最大值为11,.
(3)解:如图:设直线的解析式为,
则,解得:,
∴直线的解析式为,
∵连接交y轴于点M,
∴,
∵,抛物线沿射线方向平移个单位,
∴将抛物线向左平移两个单位,向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为:,
设,
∵,,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
整理得:,解得:或,
将、代入分别得到,2,
∴ 或.
5.(1)
(2)的最大值为
(3)
【分析】(1)将代入,即可求解;
(2)过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点,设点,则,根据得,然后根据二次函数的最值求解即可;
(3)由题意得到,则,设,由,求出,再由待定系数法求直线的解析式即可;分解直线的解析式和抛物线的解析式,求出点的坐标即可.
【详解】(1)解:将代入,得:
;
(2)解:过点作轴于点,如图所示,
令,则,
,
,
为第四象限内抛物线上一点,设点,
,
,
,
,
当时,有最大值,;
(3)解:设交轴于点,如图,
轴,轴,
,
,
,
,
,
,
设,则,
,
,
,
设直线的解析式为,
把代入得:
,
,
令,
解得:,
点的横坐标为,
把代入得:,
点的坐标为.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,等腰三角形的判定,求一次函数解析式,勾股定理,求二次函数解析式,待定指数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的图象及性质,勾股定理,注意数形结合思想是解题的关键.
6.(1)抛物线的解析式为,
(2)存在,点的横坐标或
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质,利用轴对称求最短距离,解直角三角形;
(1)用待定系数法求函数的解析式即可;
(2)连接交于点,则,先求两直线的交点,可得,设,过点作轴交于,由,得到方程,求出的值即可;
(3)连接,过点作,过点作,与交于点,四边形的周长,当、、三点共线时,四边形的周长有最小值,分别求出,,即可得四边形的周长的最小值为.
【详解】(1)解:将、,代入,
,
解得,
抛物线的解析式为,
,
解得或,
;
(2)解:存在点,使,理由如下:
连接交于点,
直线与直线平行,
,
,
,
,
设直线的解析式为,
,
解得,
直线的解析式为,
当时,解得,
,
,,
,
设,
过点作轴交于,
,
,
解得或或(舍,
或;
点的横坐标为或;
(3)解:连接,过点作,过点作,与交于点,
四边形是平行四边形,
,,
、关于对称轴对称,
,
四边形的周长
,
当、、三点共线时,四边形的周长有最小值,
,,
,
、,
,,
四边形的周长的最小值为.
7.(1),
(2)①;②或
【分析】(1)根据抛物线的解析式配方后可得对称轴,根据平行线分线段成比例定理可得点坐标,由对称性可得点坐标;
(2)①根据的面积可得的长,表示点和点的坐标,根据两点的距离公式可列方程,解方程可得结论;②如图2,当点在的下方时,连接,根据顶点与点关于轴对称,结合已知可证得,在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式,进而求出点的坐标;当点在上方时,连接,设,,,,每个点的坐标易求出,可得,的长,所以有,易知是的平分线,因此有,然后过作轴,垂足为,由勾股定理可求出,根据等量代换进而求出点的坐标.
【详解】(1)解: ∵,
∴这个抛物线的对称轴是:直线,
∴,
如图1所示,
∵轴,
∴,
∵,
∴,
,
∴,
∴,
∴,
根据抛物线的对称性得,
故答案为:;
(2)解: ①如图1,
将代入二次函数中得:,
∴,
,
∴,
∵顶点与点关于轴对称,
∴,即,
,
,
,
设直线的解析式为:,
,
,
∴直线的解析式为:,
∴,
∵,
∴,
,
,
,
∴此时抛物线的函数解析式为:;
②如图2,
当点在的下方时,连接,
∵顶点与点关于轴对称,
∴,
∵,
∴,
∴,
由①得:,
∴;
设直线的解析式为,
∵,
∴,
∴,
∴直线的解析式,
设直线的解析式为:,
∵,
∴,
当时,,
,
如图3,
当点在的上方时,连接,
设,
∵,
∴,
∵,,
∴,,
由勾股定理得,
∴,
∴,
∵,
∴,
,
,,
,
∵,
,
,,,
,
过作轴,垂足为,
在中, ,
,
或 (舍去).
,
综上所述,在抛物线的对称轴上,存在点或,使.
【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定,函数图象的平移,轴对称的性质,勾股定理等知识,熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键.
8.(1)
(2)①;②,
【分析】(1)将,两点代入抛物线的解析式,解方程即可;
(2)①设直线交x轴于E,可推出为直角三角形,进而求得点坐标,从而求出的解析式,将其与抛物线的解析式联立,化为一元二次方程,从而求得结果;
②可推出四边形是菱形,从而得出,分别表示出和,从而列出方程,进一步求得结果.
【详解】(1)解:由题意得,
,
∴,
∴抛物线的函数表达式为;
(2)解:①如图1,
设直线交x轴于E,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴点,
∴直线的解析式为:,
由得,
∴,(舍去),
即点P的横坐标为;
②如图2,
令,
解得,,
∴,
直线过、两点,
直线的解析式为:,
设点,
分以下两种情况:
点P在第三象限时,作轴于F,
∵点E与关于对称,
∴,,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴为菱形,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴(舍去),,
∴;
当点P在第二象限时,
同理可得:,
∴(舍去),,
∴;
综上所述:点P的坐标为或.
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,轴对称性质等知识,解决问题的关键是正确分类,作辅助线,表示出线段的数量.
9.(1)
(2)①;②
【分析】(1)运用待定系数法求解即可;
(2)① 令,则,过点作交直线于点,作 于点 于点,为等腰直角三角形,证明,设点,则,那么,将 两点的坐标代入直线中得解得(舍),那么;
②点,由题意得点,设点的横坐标分别为.设直线为,直线为,直线为 ,联立直线与抛物线的解析式:整理得:,则,同理:联立直线与抛物线的解析式,整理得:,则,则,同理: 联立直线与抛物线的解析式,整理得: ,则,设直线的解析式为:,过点,得,则,则点过作轴,交于点,设点,则点 ,则,由建立方程求解即可.
【详解】(1)解:依题意将代入得:
解得:,
∴解析式为:;
(2)解:① 令
,
过点作交直线于点,作 于点 于点,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴,
设点 ,
则,
∴,
将 两点的坐标代入直线中得:
解得:(舍)
;
②点,由题意得点,
设点的横坐标分别为.
设直线为,直线为,直线为,
联立直线与抛物线的解析式:
整理得:
则,
同理:联立直线与抛物线的解析式:
整理得:,
则 ,
,
,
同理:联立直线与抛物线的解析式:,
整理得:,
则,
,
设直线的解析式为:,过点
得:
,则点
过作轴,交于点,
设点 ,则点 ,
,
∴
解得:
点在第一象限.
点的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,与一次函数的综合问题,涉及全等三角形的判定与性质,一元二次方程根与系数的关系,与面积的综合问题,难度大,综合性强.
10.(1);
(2)的最大值为;
(3)点P的坐标为或.
【分析】(1)先求得,,设抛物线的解析式为,利用用待定系数法求解即可;
(2)设,,用表示出,再利用二次函数的性质求解即可;
(3)连接,作于点,求得是等腰直角三角形,利用三角函数再求得,设,作轴于点,由题意得到,再分别求解即可.
【详解】(1)解:对于直线,
令,则,令,则,
∴,,
设抛物线的解析式为,
将代入得,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)解:设,,其中,
∴
,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为;
(3)解:连接,作于点,
∵,,
∴,
∴,,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
设,作轴于点,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
当时,
整理得,
解得(舍去)或,
∴点P的坐标为;
当时,
整理得,
解得(舍去)或,
∴点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或.
【点睛】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
11.(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)利用正切函数求得,得到,再利用待定系数法即可求解;
(2)求得,利用待定系数法求得直线的解析式,设,求得最大,点,再证明四边形是平行四边形,得到,推出当共线时,取最小值,即取最小值,据此求解即可;
(3)求得,再利用平移的性质得到新抛物线的解析式,再分两种情况讨论,计算即可求解.
【详解】(1)解:令,则,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
将和代入得,
解得,
∴抛物线的表达式为;
(2)解:令,则,
解得或,
∴,
设直线的解析式为,
代入,得,
解得,
∴直线的解析式为,
设,则,
∴,
∵,
∴当时,最大,此时,
∴,,,
∴,,
连接,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∴当共线时,取最小值,即取最小值,
∵点为线段的中点,,,
∴,
∴,
∴的最小值为;
(3)解:由(2)得点的横坐标为,代入,得,
∴,
∴新抛物线由向左平移3个单位,向下平移3个单位得到,
∴,
过点作交抛物线于点,
∴,
同理求得直线的解析式为,
∵,
∴直线的解析式为,代入得,解得:,
∴直线的解析式为,
联立得,
解得,,
当时,,
∴,
作关于直线的对称线得交抛物线于点,
∴,
设交轴于点,
在上截取,
过点作轴,作轴于点,作于点,
当时,,
解得,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
同理直线的解析式为,
联立,
解得或,
当时,,
∴,
综上,符合条件的点的坐标为或.
【点睛】本题是二次函数综合问题,考查二次函数的图象及性质,待定系数法确定函数关系式,熟练掌握二次函数的图象及性质,轴对称的性质,直角三角形的性质,数形结合是解题的关键.
12.(1)2,45
(2)
(3)①当时,,②当时,满足条件的P点有3个;当时,满足条件的P点有4个;当时,满足条件的P点有2个
【分析】(1)把点B坐标代入二次函数解析式可得b的值,然后令可得点C坐标,然后可得,进而问题可求解;
(2)设交y轴于E,由题意易得,则有,轴,然后可得,则,进而可得直线,最后联立函数解析式即可求解;
(3)①连接,设点,根据题意结合割补法可得,然后根据二次函数的性质可进行求解;②如图,由①可得:当时,则,进而可分当时,当时和当时,结合函数图象可进行求解.
【详解】(1)解:把代入抛物线得:,
∴,
令时,则有,
∴,
∴,
∴;
故答案为2;45;
(2)解:如图,设交y轴于E,当时,,
解得:(舍去),,
,
,轴,
∴,
,
∵,,
,
,
,
,
设直线,代入得,,
,
.
由,
解得:或,
.
(3)解:①连接,设点,
,
当时,,
②如图,由①可得:当时,则;
∴当时,满足条件的P点有3个;当时,满足条件的P点有4个;
当时,满足条件的P点有2个.
【点睛】本题主要考查二次函数的综合,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
13.(1),,;
(2)点M的坐标为;
(3)存在,点P的坐标为或.
【分析】(1)先求出点、、的坐标,再利用待定系数法求函数解析式即可;
(2)过点M作轴交于点E,由题意可得点M的坐标为,点E的坐标为,在中,,,解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解;
(3)作的垂直平分线交x轴于点F,连接,则,过点M作轴于点N,则,设,由勾股定理求出,再由,求出即可得解.
【详解】(1)解:当时,,
解得,.
点A在点B的左侧,
A,B两点的坐标分别为,.
当时,,
点C的坐标为.
设直线的函数表达式为,
把,代入,得,
解得,
直线的函数表达式为.
(2)解:如图,过点M作轴交于点E,
点B的坐标为,点C的坐标为,
,.
在中,根据勾股定理可得.
为直线下方抛物线上一点,其横坐标为m,轴交于点E,
点M的坐标为,点E的坐标为,
.
轴,
,
.
在中,,,
,
当时,线段最长,
点M的坐标为
(3)解:存在,点P的坐标为或.
如图,作的垂直平分线交x轴于点F,连接,则,过点M作轴于点N,
,
∵,
∴,
∵,
∴,
设,
点M的坐标为,A,B两点的坐标分别为,,
,,
,,
在中,根据勾股定理得,
即,
解得,
,
,
当时,,
,
∴点P的坐标为或.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.
14.(1)
(2)
(3)存在;,,
【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可;
(2)在轴上截取,连接,过点作于,过点作轴于,证明,根据勾股定理得出,根据等积法求出,根据勾股定理得出,设,得出,,证明,得出,即可得出答案;
(3)设,,当为平行四边形的对角线时,当为平行四边形的对角线时,当为平行四边形的对角线时,分别根据中点坐标公式求解即可.
【详解】(1)解:把点,点,点代入
得,
解得,
抛物线的解析式为:;
(2)解:在轴上截取,连接,过点作于,过点作轴于,如图所示:
,,
,
,
,
,,
,
,
在中,由勾股定理得:
,
,
,
,
,
在中,由勾股定理得:
,
设,
,;
又,
,
,
又,
,
,即,
解得(舍去),,
;
(3)解:抛物线的对称轴为:,
假设存在,设,,
根据解析(2)可知:,,
分两种情况讨论:
当为四边形的对角线时,根据中点坐标公式得:
,
解得:,
∴此时;
当为四边形的对角线时,根据中点坐标公式得:
,
解得:,
∴此时;
当为四边形的对角线时,根据中点坐标公式得:
,
解得:,
∴此时;
综上分析可知:点Q的坐标为,,.
【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求解析式,三角形面积问题,三角形相似的判定和性质,以及二次函数中平行四边形存在问题,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
15.(1);
(2)M点的坐标为;
(3)存在,点E的坐标为.
【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为;
(2)求出直线的解析式为,设,则,,其中,可得,根据二次函数性质即可求解;
(3)过E作于H,设,则,其中,求出,,可证明是等腰直角三角形,故,,由,列式计算可得答案.
【详解】(1)解:把,,代入得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)解:由,可得直线的解析式为,
设,则,,其中,
∴
,
∵,
∴当时,取最大值,
∴当线段长度最大时,M点的坐标为;
(3)解:存在点E,使得,理由如下:
过E作于H,如图:
设,则,其中,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
解得(不符合题意,舍去)或,
∴;
∴点E的坐标为.
【点睛】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法,等腰直角三角形三边关系,锐角三角函数等知识,解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度.
16.(1)
(2)
(3),
【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可;
(2)设,连接,过点作,连接,根据最大时,最大,利用二次函数的性质,求出点坐标,进而求出点坐标,求出,得到,结合垂线段最短得到时,最小,进行求解即可;
(3)求出平移后的解析式,求出,连接,过点作轴于点,则四边形为正方形,得到,分两种情况,进行讨论求解即可.
【详解】(1)解:∵抛物线与x轴交于点,,
∴抛物线的解析式为:;
(2)解:∵,
∴,
设直线的解析式为:,
则:,解得:,
∴,
设,则:,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴当最大时,最大,
∵,
∴当时,最大,此时最大,
∴,,
∴,
连接,
∵,,
∴,同法可得直线的解析式为:,
∴,
∴,
过点作,连接,则:,
∴,
∴当三点共线,且时,的值最小为的长,
设与轴交于点,连接,
∵,当时,,
∴,
∴轴,,
∴,
∴,
∴的最小值为:;
(3)解:∵,
∴当时,,
∴,
∵,
∴,
∴,
由(2)知:,则直线的解析式为,
∴为二,四象限的角平分线,
∴抛物线沿方向平移个单位,相当于先向左平移3个单位,再向上平移3个单位,
∴,
连接,过点作轴于点,则四边形为正方形,
∴,
①在上方取点,过点作,则:,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴点在射线上,
∴点为射线与抛物线的交点,
同(2)法可得直线的解析式为:,
联立,解得:或(舍去);
∴;
②在下方取点,过点作,
同法可得:,
点为射线与抛物线的交点,同法可得,直线的解析式为:,
联立,解得:或(舍去);
∴;
综上:或.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法求解析式,胡不归问题,解直角三角形等知识点,综合性强,难度大,计算量大,属于压轴题,熟练掌握相关知识点,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.
17.(1)
(2)
(3)存在,点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、解直角三角形,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线,采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键.
(1)过点作轴,证明得出,
(2)利用待定系数法求解即可;
(3)设,分两种情况:当点在轴上方时,作轴于,则,;当点在轴上方时,作轴于,则,,分别利用正切的定义列方程求解即可;
【详解】(1)解:①如图:过点作轴,
∵,,
,,
由旋转知,,,
,
∵过点作轴,
,
,
,
,,
,
(2)∵抛物线经过点和,
∴把,,代入得
解得
∴;
(3)存在,
设,
如图,当点在轴上方时,作轴于,则,,
∵,
∴,
由①可得:,,
∵,,
∴,
解得:,
此时,即;
如图,当点在轴上方时,作轴于,则,,
∵,
∴,
∵,,
∴,
解得:,
此时,即;
综上所述,点的坐标为或;
18.(1)
(2)或
(3)或
【分析】(1)列出两点式,待定系数法求出函数解析式即可;
(2)根据平行线的性质,得到,分和两种情况进行讨论求解即可;
(3)分点在上方和下方两种情况进行求解即可.
【详解】(1)解:∵抛物线与x轴交于,两点,
∴设,
把代入函数解析式,得:,
解得:,
∴;
(2)∵,,
∴设直线的解析式为:,把代入,得:,
∴,
∵,
∴,设直线为,把,代入,得:,
∴,
联立,解得:或,
∴,
∵,,,
∴,
设,则:,
当时,则:,即:,
∴,
∴;
当时,则:,即:,
解得:;
∴;
综上:或.
(3)当点在上方时,取点,作射线,连接,
∵,
∴,
∴,
∴为直角三角线,
∴,
∵,
∴,
∴点在射线上,
设直线的解析式为:,
则:,解得:,
∴,
联立,解得或,
∴;
②当点在下方时,同①可得:直线的解析式为,
在直线上取点,取点,
则:,,,
∴,
∴,
∴,
同理,点为射线与抛物线的交点,
同理可求直线的解析式为:,
联立,解得:或,
∴;
综上:或.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法求函数解析式,相似三角形的性质,解直角三角形,勾股定理及其逆定理等知识点,正确的求出函数解析式,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.
19.(1)
(2)
(3)或或
(4)存在,或
【分析】(1)利用待定系数法求出即可得;
(2)先根据直线的解析式求出点的坐标,进而表示出,根据三角形的面积公式,列出方程,解方程,即可求解;
(3)利用两点之间的距离公式分别求出,和的值,然后分三种情况:①,②,③,建立方程,解方程即可得;
(4)先求得,当在的上方时,过点作轴的平行线,过点作,延长交于点,则,轴,得出,根据正切的定义得出,求得点的坐标;当在的上方时,设与关于对称的对称点为,则另一个为射线与抛物线的交点,进而求得的坐标,求得直线与抛物线的交点,即可求解.
【详解】(1)解:将点代入得:,
解得,
则抛物线的解析式为;
(2)设直线的解析式为,
将点代入得:,解得,
则直线的解析式为.
,轴交直线于点,交轴于点,
,
∴
∴
∵
∴
解得:
∴
∴
(3)解:,轴交直线于点,交轴于点,
,
,
,,,
①当时,为等腰三角形,
则,即,
解得或(不符合题意,舍去);
②当时,为等腰三角形,
则,即,
解得或(不符合题意,舍去);
③当时,为等腰三角形,
则,即,
解得,
综上,或或.
(4)解:由,当时,
解得:
∴
当在的上方时,如图所示,过点作轴的平行线,过点作,延长交于点,则,轴,
∵和,
∴,
又∵
∴是等腰直角三角形,
∴
∵,
∴
又∵
∴
∵轴,
∴
∴,
∴,
,
,
∴
∴
解得:或(舍去)
∴,
∴
当在的上方时,设与关于对称的对称点为,
∴
∴另一个为射线与抛物线的交点,如图所示,
设,则在直线上,
∴①
又∵
∴②
联立①②并解得:或(舍去)
∴
设直线的解析式为,代入
∴
解得:
∴直线的解析式为
联立
解得:(舍去)或
综上,存在这样的点,此时点的坐标为或.
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、解直角三角形、等腰三角形等知识点,正确的作出辅助线以及分情况讨论是解题关键.
20.(1)
(2),
(3)存在,或
【分析】(1)将点,点代入求得B、C的值即可解答;
(2)先求出直线的解析式为,设,则,则;如图1,作轴于,根据等腰三角形的性质可得,进而得到,然后利用二次函数的性质求最值即可解答;
(3)令,解得,或,则,由的中点恰好落在y轴上,即;如图2,作,交抛物线于,则,待定系数法求得的解析式为,联立求解即可;在上取点N,连接,交抛物线于,使,进而得到,设,则,,,解得,即,同理,直线的解析式为,再联立求解即可.
【详解】(1)解:将点,点代入得:
,解得:,
∴抛物线的表达式为.
(2)解:∵点,点,
∴设直线的解析式为:,
则,解得:,
∴直线的解析式为,
设,则,
∴,
如图1,作轴于,
∵,
∴点E、点B关于直线对称,
∴,
∴,
∴当时,的最大值为,此时.
(3)解:令,解得,或,
∴,
∵的中点恰好落在y轴上,设,
∴,解得,,
∴;
如图2,作,交抛物线于,
∴,
设的解析式为,
将代入得,,解得,,
∴的解析式为,
联立,解得,或,
∴;
如图2,在上取点N,连接,交抛物线于,使,
∴,
∴,
设,则,,
∴,解得,,
∴,
同理,直线的解析式为,
联立,解得,或,
∴;
综上所述,存在,所有符合条件的点Q的坐标为或.
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点、二次函数与线段综合、二次函数与角度综合、勾股定理,等角对等边等知识点.熟练掌握相关性质是解题的关键.