2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）
1．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接．
①求的面积的最大值；
②若，求的取值范围．
2．如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
(2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
(3)当时，y的取值范围是，且，求a的值．
3．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，且交轴于另一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使四边形面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
4．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在请说明理由；
(3)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线交抛物线于两点，直线与抛物线都只有一个公共点，直线分别交轴于两点，若的面积为，求的值．
7．已知二次函数的图象经过点，和．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接、、．求．
8．抛物线经过点，，，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标和面积的最大值；
(3)如图2，抛物线顶点为，轴于点，是轴上一动点，是线段上一点．若，请写出实数的变化范围，并说明理由．
9．已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求线段的长度为；
(2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接．
①图中二次函数的表达式为______；
②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）．
10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与轴，轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴的另一交点为．
(1)若抛物线的对称轴为直线，求的值；
(2)如图2，点在线段OC上，且．点在第四象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为S，点的横坐标为，求S关于的解析式；
(3)在（2）条件下，若四边形的面积为44，且线段与抛物线相交，求的取值范围．
11．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．一水渠截面是个抛物线形状，如图1，建立平面直角坐标系，抛物线的图象经过的点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限内抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，横坐标相同的两点，轴，交抛物线于点，交于点，交轴于点，点在抛物线上，若．
①求点到直线的距离；
②求长度的最小值．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点左侧），与轴相交于点，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点在线段上，直线交第一象限的抛物线于点，连接．当时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线与直线在第一象限交于点，且．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标．
16．已知，如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形（P为上述（2）问中使S最大时的点）？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
17．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，
(1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标．
(2)如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值．
(3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
18．已知二次函数，其中．
(1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）》参考答案
1．(1)；
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）①先求出直线的解析式，过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，由，然后结合二次函数的性质即可解答；
②根据轴，轴，推出，在中，由即可得解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴二次函数的表达式可写为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：①设直线的表达式为，
把和代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为．
如图：过点P作轴于点R，交于点Q，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴．
∴
．
∵动点P在直线的上方（不与B，C重合），
∴．
∴当时，面积取得最大值，最大值是；
②∵轴，
∴轴，
∴．
∴
∵，，
∴在中，
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与面积综合、二次函数与角度综合问题、待定系数法求抛物线解析式、抛物线的最值、解直角三角形等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
2．(1)，；
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可；
（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
3．(1)；
(2)当时，四边形面积最大，其最大值为8；
(3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标；将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，
（2）由二次函数解析式令，求得点坐标；过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、两点坐标代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，得，
解得，，或，
∴；
过点作轴于X，与交于点，如图，

设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为8；
（3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，

∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或2，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式．
4．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，符合条件的点P的横坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，一次函数的几何综合，解一元二次方程，勾股定理的逆定理等知识．
（1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得，再将代入求解即可；
（2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
将顶点代入解析式得，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，解得：或，
根据题意，
如图1，过点C作轴于点D，
∴，
过点A作于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为，
过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴所有符合条件的点P的横坐标是或．
5．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题；
（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积；
（3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，得
解得：，
∴抛物线解析式为：
（2）由，当时，，
∴，
设直线解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，
设，则，点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积为
∴当时，面积的最大值为，
（3）设直线的解析式为，代入，得，
解得：
∴直线的解析式为
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴
∵
∴
如图所示，取点，连接，则，
又，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，则
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴．
6．(1)
(2)存在，或或
(3)2
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键．
（1）由根与系数的关系可得，再由，分别求出，将点代入，即可函数的解析式：
（2）设，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可求解：
（3）先求平移后的抛物线，设，当时，，，设直线的解析式为，当时，根据直线与抛物线只有唯一公共点，可推导出，则直线的解析式为，求出点的坐标为，同理，直线的解析式为，点的坐标为，当时，结合，可得，再由的面积，求出的值为2．
【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，当时，，
，
，
，
，
，
将点代入，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
当是对角线时，，
，
解得，
；
②当是对角线时，，
，
解得，
；
③当是对角线时，，
∴，
解得：，
综上所述，点的坐标为或或；
（3）解：
∴将抛物线向右平移1个单位长度，可以得到抛物线，
设，
当时，，
，
设直线的解析式为，
当时，，
∵直线与抛物线只有唯一公共点，
∴方程的解为，
，
，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，点的坐标为，
当时，
解得，
代入得，
∵，
，
的面积，
解得或(舍)，
∴的值为2．
7．(1)
(2)当时，y随x的增大而减小
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的增减性可求得答案；
（3）如图所示，过点A作轴于D，过点M作于N，求出，，然后根据求得即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，和
∴ ，
∴解得：
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可知抛物线解析式为
∴抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示，过点A作轴于D，过点M作于N，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点．
8．(1)
(2)面积的最大值为
(3)，理由见详解
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，直线的解析式为，设，则，则，结合二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）分类讨论：如图所示，点在直线左边时，过点作，可证，得，由此列式，根据一元二次方程根的判别式可解；当时，点与点重合，点与点重合，由可得该种情况符合题意；如图所示，当点在直线左边时，若点与点重合，过点作，同理得，，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，，已知，，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线解析式为，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，
∴设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为，
∴，即；
（3）解：，理由如下，
抛物线解析式为，
∴，
如图所示，点在直线左边时，过点作，
∵抛物线顶点为，轴于点，是轴上一动点，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
设，
整理得，，
∴关于的方程有解，
∴，
解得，，
当时，点与点重合，点与点重合，
∵，
∴，符合题意；
如图所示，当点在直线左边时，若点与点重合，过点作，
同理，，，，
∴，且，
∴，
∴，
∴
解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度的计算方法，相似三角形的判定和性质是关键．
9．(1)
(2)①②
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键．
（1）令，则，解得，得到，即可得到答案；
（2）①根据题意得到，得到，即可得到答案；
②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
；
（2）解：①抛物线的对称轴为直线，
，，
抛物线解析式为，
故答案为：；
②抛物线解析式为，
，
令，则，
解得或，
点在点左侧，
，
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
，，，，
，
的面积，
的面积．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称轴，求出点坐标，待定系数法求出m的值即可；
（2）根据两直线平行，求出的解析式，进而求出点坐标，过点作轴，证明，进而用含的式子表示出的长，即可得到点坐标，利用梯形的面积减去三角形的面积表示出S关于t的解析式，即可；
（3）先根据面积求出的值，进而得到的坐标，求出抛物线分别过时，点坐标，进而求出的范围即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的一个交点为，
把代入，得：，
∴；
（2）解：∵，直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为，当时，，
∴，
∴，
过点作轴于点，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
即；
（3）解：当时，，
整理，得，
解得：或（舍去）；
∴，，
当抛物线过点时，则：，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴，代入，得：，
∴；
当抛物线过点时，则两点重合，
∴，代入，得：，
∴；
∵与抛物线有交点，
∴
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式，坐标系中两条平行线解析式之间的关系，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
11．(1)
(2)3
(3)存在，、或，理由见详解
【分析】本题主要考查了抛物线与直线的综合，二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，函数和几何图形，二次函数和相似三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定．
（1）利用待定系数法即可求得函数表达式；
（2）利用函数解析式得，，由可假设，，根据求得，再求得，最后利用三角形面积公式即可求解；
（3）假设，利用勾股定理求得，，，利用两个角相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，分类进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
,
；
（3）解：存在，理由如下
假设，，
由勾股定理得，
∴
即
整理得
解得或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
12．(1)
(2)点的坐标为
(3)①点到直线的距离为；②长度的最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据，，可得，求出直线的解析式为，联立上式和抛物线的解析式得，即可求得点的横坐标进而即可求解；
（3）①求出直线的解析式为，设点，则点，
则，．设点到直线的距离为，根据，即可求得点到直线的距离为．
②设点，则点或，
则
或，根据二次函数的性质即可求得长度的最小值为1．
【详解】（1）解：抛物线的图象经过点．
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
点是第二象限内抛物线上一点，
直线的解析式为，
联立上式和抛物线的解析式得，
解得（舍去）或，
当时，，
点D的坐标为．
（3）解：①设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
设点，则点，
则，．
设点到直线的距离为，
∵，
∴，
，
解得：，
点到直线的距离为．
②设点，则点或，
则
或，
当时，有最小值1，
故当时，取得最小值1；
同理可得，
当时，取最小值1．
当时，取得最小值1；
综上，长度的最小值为1．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与面积问题，线段问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于压轴题．
13．(1)
(2)5
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴，垂足为，证明，得出，设，根据，得出，求出，得出，求出，根据，求出结果即可；
（3）过点作的垂线交线段的延长线于点，证明为等腰直角三角形，得出，过点作轴，垂足为．证明，得出，求出直线的函数表达式为，设，得出，解方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：过点作轴，垂足为，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得：（舍去），
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：存在点，使得．理由如下：
过点作的垂线交线段的延长线于点，
，
根据解析（2）可知：，，，
，，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
过点作轴，垂足为．
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
解得，
直线的函数表达式为，
设，
，
解得（舍去），，
，
，
存在点，使得．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
14．(1)点的坐标为，
(2)点的横坐标为3或4或
(3)
【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值；
（2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解；
（3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线在第一象限交于点，
∴设，过点作轴，则，
由勾股定理可得，
∵，
∴，即点的坐标为，
将代入，得，
解得：；
（2）由（1）可知抛物线为，
设，
∵轴交线段于点，
∴，且，
则，，
当时，即，
∴，解得：（或5不符题意，应舍去）
当时，即，
∴，解得：（不符题意，应舍去）
当时，即，
∴，解得：（或不符题意，应舍去）
综上，点的横坐标为3或4或；
（3）过点作轴，由（1）可知，
∴，
令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，
则，则平分，
∴，，则，
∵平分，
∴，则
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，
∴，，
而直线交抛物线于，两点，
∴，整理得，
解得：，
即，，
∴，，
∵，
∴，即
解得，
∴，直线的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
15．(1)
(2)2
(3)
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键．
（1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解；
（3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线，
当时，，
∴，
抛物线与轴交于点，，
∴设，将点代入，
得：，
解得：，
；
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，
∵，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为；
（3）解：设，，
，
四边形是菱形，
，
，
解得：，
．
16．(1)
(2)，点的坐标为；
(3)当点的坐标为或或或或时，为等腰三角形．
【分析】（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到，由相似得比例，求出的长，确定出C的坐标，由B与C的坐标设出抛物线的交点式解析式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式；
（2）连接，过P作垂直于x轴，将代入抛物线解析式表示出P的纵坐标，即为的长，，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S最大时m的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）分点M是顶点、点C是顶点、点P是顶点三种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，
设过、、三点的抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴过、、三点的抛物线的解析式为，
即；
（2）解：过点作轴的垂线，垂足为点，
∵点在上，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∵，
∴当时，最大，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
设点，
∵，，
∴，
，
．
分三种情况讨论：
①当点是顶点时，，即，解得，．
∴，
②当点是顶点时，，即，解得，．
∴，，
③当点是顶点时，，即，解得，．
∴，，
综上所述，当点的坐标为或或或或时，为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数面积最值问题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是分类讨论．
17．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是
(2)
(3)以、为邻边的平行四边形不是菱形
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解；
（2）轴对称的性质可知，
从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解；
（3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值，最后再分别计算出的长，由此即可判断以为邻边的平行四边形是否为菱形．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
（2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
如图，当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，
即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，
对于，
当时，，
∴点，
∵，点，
∴，
∴周长的最小值为：．
（3）解：设，则，
∵，，
∴，，
，
∴，
，即，
解得：，
如图，过点P作，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
的面积，
，
面积的最大值为3，此时，
∴，，
∴，
∴以、为邻边的平行四边形不是菱形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键．
18．(1)
(2)见详解
(3)有；面积最大值为
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，进而求解的面积，由此即可求解；
【详解】（1）解：将代入，
解得，
由，则符合题意，
，
；
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为
，
，
，
，
，
二次函数的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点；
当时，，
，
将代入，
解得：；
在轴的负半轴上，
，
；
过点作，垂足为，
，
，
在中，
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为；
此时当时，；
，，
根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下；
，
设，
则；
当时，达到最大值为；