2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）
1．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标：
(3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长．
2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值；
(3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式．
5．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P．
(1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个；
(2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值；
(3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围．
6．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在下方运动时，求面积的最大值；
(3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
7．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若点M在抛物线的对称轴上，且的周长最小，求点M的坐标及此时的周长；
(3)若点P在x轴上，且为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
8．已知点，点都在抛物线上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的度数；
(3)点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当时，求P点坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值．
10．如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数的顶点的坐标；
(3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线经过两点
(1)求、的值．
(2)若点为抛物线上一动点，的面积为10时，求点的坐标．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．
12．【综合探究】
如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若，求此时点的坐标；
(3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
13．综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少．
14．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B 的坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线于点D， 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E．
①请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由；
②连接，当为等腰三角形时，求点D的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由．
17．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；
(2)抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，求点P坐标；
(3)y轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有M点的坐标，若不存在请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）》参考答案
1．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；
（3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解．
【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为，
把代入，可得：即，解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，可得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得或，，
∵点在第一象限，
∴点的坐标是．
（3）解：设直线交y轴于点，如图，
轴，
，，
若为等腰三角形，则也为等腰三角形，
，，
直线的解析式为，
设，
，
直线的解析式为，
解方程组，得，
点的坐标是，
，，，
当时，，解得：（舍去正值），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
，
当时，，解得或（舍）或（舍），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
当时，，解得或（舍去），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
综上，或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
2．(1)
(2)存在，或或
(3)
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴ ，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∵
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
3．(1)
(2)有最大值
(3)或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解；
（2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
4．(1)
(2)2或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值；
（3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解．
【详解】（1）解：代入和到抛物线得，，
解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得，，
抛物线，
令，则，
，
又，
，
第一象限点在抛物线上，
设，
①若，则点和点的纵坐标相同，
，
解得：（舍去）；
②若，则点和点的纵坐标相同，
，
解得：或（舍去），
，
代入到抛物线得，，
解得：；
③若，取的中点为，则，
，
，
解得：或（舍去）或（舍去），
，
代入到抛物线得，，
解得：；
综上所述，的值为2或．
（3）解：联立，
消去整理得：，
直线与抛物线交于点、，
，
联立，
消去整理得：，
同理可得，，
，
四边形的面积
，
四边形的面积与的函数关系式为．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
5．(1)，15
(2)或
(3)
【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数；
（2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解；
（3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个，
故答案为：，15；
（2），
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
则，，，
当时，，即，
解得：（正值舍去）；
当时，，即，
解得：（正值舍去）；
当时，，即，
此时方程无解；
综上，当或时，是直角三角形；
（3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，
∴在轴上方只有3个“整数点”，
当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意；
当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意；
当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意；
当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意；
综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，勾股定理，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
6．(1)
(2)面积的最大值为
(3)当是直角三角形时，或
【分析】（1）先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式；
（2）过点P作轴交BC于点G，设，则)，表示长，进而表示面积求最大值；
（3）先求得，根据勾股定理分别表示出，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）对于直线，令则，
，
令则，
，
，
将点，坐标代入抛物线，得
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：过点P作轴交于点G，
设，则)，
，
，
当时，的值最大，最大值为；
（3）解：对应，
当时，，解得：
∴，
∵是关于轴的对称点
∴，
如图所示，
设，
∵，，
∴，，
当时，
∴
解得：（舍去）或，则
当时，
∴
解得：，则
综上所述，当是直角三角形时，或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题．
7．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
(2)点M坐标为；的周长为
(3)P点的坐标为 或 或 或
【分析】（1）令，求解可得的坐标，令，可求得的坐标；
（2）如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接交l于点M，由对称的性质可知当且仅当E、M、A三点共线时，的周长最小，待定系数法求直线的解析式，令，得，可得的坐标，再根据两点间距离公式求出的长，即可求出此时的周长；
（3）设P点的坐标为，由，，可得，，，当是等腰三角形时，分三种情况求解：①当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；②当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；③当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可．
【详解】（1）解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；
（2）解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l：上，点C的坐标为，
∴点的横坐标为：，纵坐标为，
∴，
∴的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，的周长最小
设直线的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
令，得
∴点M坐标为；
∵，
∴此时，的周长为；
（3）解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交x轴于点E，过C作轴于F，先求得，，然后再求得直线为得到，进而可得，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可求解；
（3）法一：设，先求得直线的解析式和直线的解析式；联立方程组求得直线与直线的交点N的坐标，利用等角对等边得到，然后利用两点坐标距离公式列方程求得t值即可；
法二：连接，与交于点N，先求得直线的解析式为，设，利用等角对等边得到，根据两点坐标距离公式列方程求得t值，则，再利用待定系数法求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立方程组求解即可；
法三：由（2）知，取的中点N，连接，利用直角三角形斜边上的中线性质和中点坐标公式得到，N为，则，延长与抛物线的交点即为点P，求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：依题意得：
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：延长交x轴于点E，过C作轴于F
则，
，
设直线为
则，得
直线为
；
（3）解：法一：
设，则且，连接，与交于点N，
设直线的解析式为
代入，有，解得
直线的解析式为；
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为；
点N是直线与直线的交点
，解得，即
又，
，解得
，
∴点P的坐标为．
法二：连接，与交于点N，
设直线的解析式为
代入，有，解得
直线的解析式为
设
，，
，解得
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为
联立，解得：或
点P的坐标为．
法三：由（2）知
取的中点N，连接
则，N为
∴
延长与抛物线的交点即为点P
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为
联立，解得：或
点P的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点问题、坐标与图形、等腰三角形的性质、两点坐标距离公式、直线与抛物线的交点问题、直角三角形的斜线中线性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想和“一题多解”思想的运用是解答的关键．
9．(1)
(2)
(3)t的值为或2或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可；
（3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解∶根据题意，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
当时，，
∴顶点，
当时，，
解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得（不符题意，舍去），，
∴，
∴；
（3）解：设M点的坐标为
如图所示，当时，
∵轴，
∴轴，N点的纵坐标为
∴Q点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴N点坐标为，
∴，，
又∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当时，
由①知：N的坐标为，则，
∴，，
同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴，
∴；
当时，过Q作于P，
由①知：N的坐标为，
同理得，
∴，，
∴，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识．
10．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设二次函数的解析式为，根据待定系数法即可得出二次函数解析式；
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标；
（3）设点的坐标为，分别表示出，，，再利用勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
∵图象经过，， ，
∴，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2），
∴这个二次函数的顶点的坐标为；
（3）由（2）知该二次函数的对称轴为，
设点的坐标为，
，，，
当是以为斜边的直角三角形，则，
即，
解得，，
∴存在满足条件的点，坐标为或．
11．(1)
(2)或
(3)点的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）求得，由三角形面积求出，经过判断得，解方程，即可求解；
（3）分点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：
，
解得，；
（2）解：由（1）知，，
设点，
，
，
的面积为10，
，
当时，，即
∵，此方程无实数根．
∴
当时，，
解得，，
或
（3）解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴,
设，
，
，
，
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为或；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或．
12．(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（）把点， 点代入即可求解；
（）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可；
（）分当时和当时两种情况分析即可；
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得：抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：存在，理由：
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
当时，，如图，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
当时，如图，作于点，则有，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
综上可知：点的坐标为或．
13．(1)
(2)或或
(3)最小值为，
【分析】（1）由待定系数法及二次函数的交点式得可设，将点代入，即可求解；
（2）设，由勾股定理得，分类讨论：当时，由等腰三角形的定义得，即可求解；当时，同理可求；
（3）过作轴交于，设，由待定系数法得直线解析式为，可设， 由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，
且与y轴交于点，
设，
将点代入得：
，
即，
解得，
，
二次函数的解析式为．
（2）解：设，
，
是以为腰的等腰三角形，
当时，
，
或，
或，
或，
当时，
，
，
解得：，，
其中与点重合，
，
点，
综上所述，或或．
（3）解：过作轴交于，
设，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得，
直线解析式为，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得，
，
点．
取关于轴的对称点，
，
连接交轴于点，
此时，
，
，即最小值为的长，
，
，
最小值为，
设所在直线的表达式为，
则，
解得，
所在直线的表达式为，
当时，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，等腰三角形的定义，勾股定理，线段和最小值问题，掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形腰的不同进行分类讨论及找到取得最小值的条件是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)存在，， ．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）将代入解析式求得a、b即可解答；
（2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答；
（3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答．
【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上，
∴解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即，
∵，点D在y轴负半轴，
∴，即；
设直线的表达式为，
则，解得，
直线的关系表达式为，
设，则，，其中，
∴，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，解得： ， (舍去)，
故当四边形是平行四边形时，．
（3）解：如图：分别连接，
∵
，
由（1）（2）易知， ，
∴当最大时，最大，即，
∵点E在线段上运动，
∴，
∴当 时， 最大面积．即，最大面积为．
15．(1)
(2)①最大值为，；②或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质．
（1）运用待定系数法求解即可；；
（2）① 求出直线的解析式，设，则，得，由二次函数性质可得结论；②分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：将A，B的坐标代入
得 ，
解得，，
（2）解：①由（1）可得C的坐标为，则直线的解析式可设为．
将B的坐标代入可得，
即直线的解析式可设为
设，则
于是
∴当时，取得最大值此时点的坐标为
②由已知及勾股定理可求得
为等腰三角形时有三种情况，即：
当时，即，解得或（舍去）
此时符合条件的D点坐标为；
当时，即，解得，或（舍去）
此时符合条件的D点坐标为
当时，即，解得，
此时符合条件的D点坐标为，
综上，当D点坐标为或或时，为等腰三角形
16．(1)
(2)最大值为 11，
(3)存在，或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答．
【详解】（1）解：将两点代入可得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：过P作轴交直线于H，

∵抛物线的表达式为，
∴点，对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，，
∴
，
∴当，即时，的最大值为11．
∴的最大值为11，．
（3）解：如图：设直线的解析式为，

则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵连接交y轴于点M，
∴，
∵，抛物线沿射线方向平移个单位，
∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：，
设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，解得：或，
将、代入分别得到，2，
∴ 或．
17．(1)
(2)，最大面积为
(3)存在，或或；
【分析】（1）根据对称轴可知，再将点代入中，求出的值即可确定函数的解析式；
（2）过点作轴交于点，设，则，可求，当时，的面积最大为，此时；
（3）设，分三种情况讨论：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，得到，求出的值再求点坐标即可；当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点，同理可证，此情况不存在；当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，同理可证，可求．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
将点代入中，
，
解得，
；
（2）解：设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时，的面积最大为，
此时；
（3）解：存在一点，轴上一点使得是等腰直角三角形，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，
如图1：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
或，
或；
如图2，当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点，
同理可证，
，，
，
此情况不存在；
如图3，当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
同理可证，
，，
，
；
综上所述：点坐标为或或；
【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用．
18．(1)，
(2)或
(3)存在，或或或或
【分析】（1）把、代入利用待定系数法求解解析式，再化为顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，过作对称轴交对称轴于，求解，可得此时，如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于，，结合，，，从而可得答案；
（3）设，求解，，，分三种情况：当时，当时，当时，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点．
（2）解：如图，过作对称轴交对称轴于，
∵，
当时，则，
∴，
∴，
∵顶点，
∴，
∴此时重合，
∴符合题意；
此时，
如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：当绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，点P坐标为或．
（3）解：∵，，设，
∴，，，
∵为等腰三角形，
当时，
∴，
∴，
∴或；
当时，
∴，
解得：，
∴或；
当时，
∴，
解得：，
∴，
综上：当为等腰三角形时，或或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数与等腰三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．