2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）
1．已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L．
①求L关于m的函数表达式；
②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围．
3．二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标；
(3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标．
4．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
5．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和点B的坐标；
(2)求抛物线的表达式；
(3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
6．如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B．
(1)直接写出点B的坐标________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)点C为的中点，
①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标；
7．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离；
(3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
11．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由；
(3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）．
(1)若抛物线经过点和点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图，当时，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)当时，点在轴上，且，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点．若的值为2，求的值．
13．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点 ，点是直线上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形 为菱形，请求出此时点的坐标；
(3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，点P在该抛物线上，其横坐标为m，点M在y轴上，其纵坐标为，过点P作轴于点Q，以为边作矩形．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当点Q与点M重合时，求的值；
(3)当抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当时，设该抛物线与矩形的某一组邻边的交点（包括顶点）分别为B、C，直接写出这两个交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1时m的值．
15．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
19．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，且点在该拋物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值：
(3)将原拋物线向左平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，点是原抛物线与新抛物线的交点，将点向上平移个单位得点，若，问：平面内是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．
①当四边形为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）》参考答案
1．(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)点Q的横坐标是或4或或．
【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答；
（2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答；
（3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入中得：，
∴，
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）解：分两种情况：
①点P在的下方时，如图1，
当时，，
∴，，
设的解析式为：，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴点P的坐标为；
②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
同理，的解析式为：，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
分三种情况：
①如图3，过点P作轴于F，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴点P的横坐标为，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为；
②如图4，过点P作轴于G，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或1，
∴点P的横坐标为1，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为4；
③如图5，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，，
∵，，
∴点Q的横坐标是或；
综上，点Q的横坐标是或4或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．(1)
(2)①
②
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用．
（1）由待定系数法可求出答案；
（2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案；
②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．
∴直线的表达式为，
∴设，
∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形，
∴，，
∴，
分以下两种情况讨论：
当（点E在点H左侧，如图1所示），，，
当时，点E在H右侧，如图2所示，，，
∴；
②L关于m的函数图象如图所示，
当时，，
当时，，
由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围．
3．(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，分①当点与点重合和点与点重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：设，
①当点与点重合时，交轴于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∵，，
设，
∴，
整理得，即，
∴，
∴；
②当点与点重合时，交轴于点，
∵，，
设，
同理，四边形是平行四边形，对角线互相平分，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：∵，设，则，
∴，
如图，作于点，交直线于点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵共线，
∴将代入，
得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
同理，直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵共线，
∴将代入，
得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
同理，直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵共线，
∴将代入，
得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
同理，直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大．
4．(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键．
（1）把和代入求解即可．
（2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答．
（3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把和代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，
解得：
∴
设直线的解析式为，把，点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为
点P为直线上方抛物线上的点，
设，
，
，
当时，，
；
（3）解：∵
将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，
∴，
的对称轴为.
∵，，
∴，
如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F，
∵D在的对称轴上，
，
∵，，
∴，
，，即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点；
如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F，
∵D在的对称轴上，
∴，
，
，即，
，即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；
当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为，
依意得：，解得，
又，
，
解得：，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为或.
综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形．
5．(1)，，
(2)
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键．
（1）利用待定系数法将代入即可得到及函数解析式，进一步即可得到点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出答案即可；
（2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴解得，
∴直线的解析式为，
∴，
（2）把分别代入，
解得，
∴抛物线的解析式为，
（3）解：∵，
∴P，N，
有两种情况：
①当点在点的上方时， ，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
②当点在点的下方时，，
同理，，
解得，
综上所述，的值为或．
6．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据顶点式写出坐标即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线
∴顶点为B的坐标为．
故答案为：
（2）由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线的表达式为
即为；
（3）①由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当时，，
∴点E的坐标为，
则；
②由（2）知，，
∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴根据点C平移的规律可得到
7．(1)
(2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点；
（1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可；
（2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可；
（3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，令，则，解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形．
8．(1)；
(2)点D到的距离为；
(3)，．
【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可；
（2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可；
（3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
将代入得，，
∴，，
将A、B代入抛物线得，
，解得，
∴抛物线表达式为；
（2）解：如图，
∵，，
∴中点坐标为，
被y轴平分，
∴为对角线，
∴，
∴，
由可知，当时，，
∴，
∴，，
设点D到的距离为h，
则，
∴，
即点D到的距离为；
（3）解：∵直线与x轴交于点E，
∴当时，，即，
设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
设，，且，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，即，
将代入上式得，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．(1)
(2)最大值为，此时点D的坐标为
(3)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键．
（1）根据题意得：，即可求解；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可．
【详解】（1）根据题意得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作直线于M，交直线于G，
∴轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B．
令，则，解得，，
令，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
由点B、C的坐标得，直线的解析式为，
设直线DM交x轴于N，，则，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，此时点D的坐标为；
（3）如图，
根据旋转得抛物线过点，，，
∴，
设，
∵四边形正方形，
∴，，
∴，
过点H作轴于M，过点P作轴于N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴P点的坐标为或，，
①当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
②当P点的坐标为时，
∵，，，四边形为正方形，
∴点K的坐标为；
综上，存在，点K的坐标为或．
10．(1)
(2)曲线顶点坐标为，解析式为
(3)，正方形的边长为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键．
（1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解；
（2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解；
（3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
11．(1)
(2)存在点，使的面积最大，最大面积是16
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）分为以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边或对角线两种情况，画出示意图讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
将代入，则，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．
，
．
，
当时，的面积最大，最大面积是16．
，
存在点，使的面积最大，最大面积是16．
（3）解：如图，
当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4，
∴或，
解得：，
当时，则有，
∴，
∴，
同理可得当，，
得，，
当为对角线时，则有，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，二次函数与特殊四边形的综合，解题的关键是用分类讨论的思想解决问题即可．
12．(1)抛物线对应的函数表达式为
(2)四边形是菱形，见解析
(3)的值为1或2或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入解析式，根据题意，求出的坐标，进而求出的长，得到，根据，即可得出结论；
（3）求出函数解析式，根据题意，得到点坐标为，点坐标为，根据的值为2，分3种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把和点，代入函数解析式，得：，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：四边形是菱形．
理由：∵，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，，
由题意，得：点坐标为，点坐标为，，
令，解得，
当时，，当时，，
∴直线与抛物线的交点坐标为和．
分三种情况：①当时，此时点在的上方，如图，
∴，解得；
②当时，，不合题意，舍去；
③当时，此时点在的上方，如图，

∴，
解得，（舍去）；
综上，的值为1或2或．
13．(1)
(2)点P的坐标为
(3)P点的坐标为 ，四边形的面积的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，与面积的综合问题，菱形的性质，综合性较强，熟练正确知识点是解题的关键．
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ，
得 ，
解得 ， ．
∴ 该二次函数的表达式为 ；
（2）解：若四边形是菱形，则点P在线段的垂直平分线上；如图，连接，则，垂足为E，
∵，
∴ ，
∴ 点P的纵坐标等于 ．
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，
设，由题意可设设直线的表达式为 ，
则代入得：，
解得 .
∴直线的表达式为 ．
∴Q点的坐标为，
∴，
当，
解得，
∴，
∴，
∴
=
= ，
∴
当时，四边形的面积最大，
此时P点的坐标为，四边形的面积的最大值为．
14．(1)
(2)；
(3)或
(4)或
【分析】因为抛物线的图象经过点，对称轴为直线，所以建立，进行求解，即可作答．
（2）先读懂题意得的纵坐标相等，结合点Q与点M重合，建立，运用公式法进行解方程，即可作答．
（3）进行分类讨论且逐个情况作图，符合抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而减小，则保留m的取值范围，否则舍去；
（4）因为当时，设该抛物线与矩形的某一组邻边的交点（包括顶点）分别为B、C，故要分类讨论，即当这组邻边是与时，或这组邻边是与，然后结合这两个交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵轴，
∴的纵坐标相等，
依题意，得点的纵坐标为，点M的纵坐标为，
∵点Q与点M重合，
∴，
整理得：，
∴，
解得：；
（3）解：依题意，抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而减小，
则点Q与点M重合，如下图所示：
依题意，得点的纵坐标为，点M的纵坐标为，
∵点Q与点M重合，
∴，
整理得：，
解得：；
当在轴的左边，即，且点Q在点M的上方时，如图所示：
此时满足抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而减小，
∴
∴，
解得或（舍去），
当点与点A关于对称轴对称时，如图所示：
此时，
∴；
当，如图所示：
此时满足抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而减小，
当时，如图所示：
则抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而增大，
此时不满足题意，故舍去；
综上：或；
（4）解：依题意，当时，设该抛物线与矩形的某一组邻边的交点（包括顶点）分别为B、C，
当这组邻边是与时，则如图所示：
则点和点的纵坐标相等,
即
则
解得（舍去）
∴；
当这组邻边是与时，则点C与点A重合，如图所示：
∵，点和点的纵坐标相等,
得，
∴，
解得（故舍去）
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数与特殊平行四边形的综合，待定系数法求解析式，公式法解一元二次方程，二次函数的图象性质，矩形的性质，难度较大，熟练运用数形结合思想以及分类讨论思想是解题的关键．
15．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)存在，点的坐标为或或．
【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解；
本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．
16．(1)
(2)
(3)点坐标或或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，推出，设，则，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．当沿着点逆时针旋转得到，设，则点，然后表示出的坐标，再代入一次函数即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
设，且，则，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，将，代入，
解得,，
∴直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，
∴
∴，
∴
设，
当点在轴左侧，轴下方时，
则， ，
∴，
∵点在直线上，
∴．
解得或（舍去），
当时，，，
点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点，
当点在轴左侧，轴上方时，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
则， ，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
同理可得：；
当点在轴右侧，轴下方时，作轴，轴，如图：
设，则点，则点，
∴，
解得，
∴（舍去），
∴点的坐标为；
当点在轴右侧，轴上方时，作轴，轴，如图：
则，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴点N的坐标为；
综上，点坐标或或或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的关系，数形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．
17．(1)抛物线的解析式为
(2)当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分
(3)存在，P点坐标为
【分析】（1）首先过C作轴于K，构造全等三角形，求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，设直线L为，求出，求出与的解析式，则可求出；根据题意，列出方程求解即可；
（3）设P的横坐标为t，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：过C作轴于K，如图：
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图：
设直线L为，
由，可得，
，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
直线解析式为，
，
设直线为，
将，代入，
得,
解得，
直线解析式为，
，
，
，
，
解得（此时直线L在C右侧，舍去）或，
∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分；
（3）解：存在点P，使四边形为平行四边形，
理由如下：
设P的横坐标为t，
∵四边形为平行四边形，
的中点即为的中点，
，，，
，
解得，
此时，
，
经检验，符合题意；
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．
18．(1)
(2)4
(3)①；②或
【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点A，B的坐标，再代入抛物线解析式求出b，c的值．
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，则，得到点的坐标为，通过三角形面积公式表示出面积，再根据二次函数性质求最大值．
（3）①先求出面积，再根据面积与面积关系求出点纵坐标，进而求出横坐标．②分二种情况，根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用点的坐标关系求出的值．
【详解】（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，，
，
把得：
，
将代入，
得，解得，
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得，
．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，三角形面积计算，平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握函数的性质，利用相关公式和性质建立方程求解．
19．(1)
(2)的最大值为
(3)或
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，设抛物线与轴交于点，先求得直线的解析式为，根据三角函数关系可得，则当取得最大值时，取得最大值，设，则，表示出的长，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据平移的性质得出解析式为，进而求得的横坐标为，联立抛物线解析式得出，根据平移的性质得出，设点的坐标为，，根据勾股定理求得，根据菱形的性质可得，解方程得出或，即可得点的坐标，进而根据中点坐标公式列出方程，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，设抛物线与轴交于点，
当时，，解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，
设直线与轴交于点，则
∴，则，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
设，则
∴
∴当时，取得最大值为
∴的最大值为，
（3）解：∵向左平移个单位后得到新抛物线解析式为
新抛物线的对称轴为直线
∵是新抛物线对称轴上一点，
∴的横坐标为，
联立
解得：
∴
∵将点向上平移个单位得点，
∴
设点的坐标为，
∵
，，
四边形是菱形，
，即：，解得：或，
此时的中点与中点重合，
，解得：或，
或，
故答案为：点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，线段最值问题，解直角三角形，二次函数的平移，点的平移，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
20．(1)；
(2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点坐标为，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，
，
，，
当四边形为正方形时，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
或者，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为1或0；
②根据①可知：当或时，，
当时，，
，
当或时，，
当时，的取值范围为或．