2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）
1．已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值；
(3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接．
①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
2．如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积；
(3)当的值最大时，求点的坐标．
3．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值．
4．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标；
(3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值．
5．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
6．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；
(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．
7．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第三象限的抛物线上，连接交y轴于点E，设点的横坐标为，线段的长为，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点A作，交第四象限的抛物线于点F，连接，点G在第一象限的抛物线上，连接交于点，，点K在上，连接，，过点作轴，交于点，若，求点的坐标．
8．抛物线交轴于两点（在左边），交轴于点．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)已知．
①如图1，点在第二象限抛物线上，交于点．若，求点的坐标；
②如图2，过点分别作直线和直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点．设线段的中点分别为，若，且，求证：直线必经过一定点．
9．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），连接，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
(3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
10．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线于点D，交该抛物线于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)若的面积取得最大值，求出这个最大值；
(3)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标．
11．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接交于点，当时，求点的坐标；
(3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．
①直接写出关于的函数解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)若时，
①如图（1），直接写出抛物线的解析式；
②如图（2），若抛物线上有一点P，且P在对称轴的右侧，射线与轴交于点Q使得，求点P的坐标；
(2)如图（3），当时，点P是第三象限抛物线上的一动点，分别连接，并延长交直线于M，N两点．若M、N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系．
14．如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．
(1)求搬物线C1的解析式；
(2)若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点．
15．如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结．
①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标；
②若，直接写出点E的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形．
(1)填空： ；
(2)求四边形的面积；
(3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标．
17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，为直线上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，过点作，垂足为，连接．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点也是直线上方抛物线上的一动点（点在点的左侧），分别过点，作轴的平行线，分别交直线于点，，连接．若四边形是平行四边形，且周长最大时，求的最大值及相应的点的横坐标．
19．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值．
(3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标．
20．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点为坐标原点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）》参考答案
1．(1)
(2)4
(3)①②是定值，定值为
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）由满足的点有且只有三个，则的值为抛物线顶点到x轴的距离；进而得到的顶点坐标为，即；
（3）①先求得；如图：过点 P作轴于点H，再证明，进而得到；设，则解得，再根据，解得
，即点P的坐标为 ；②先运用待定系数法可得，进而可得；再求得直线的解析式为，联立解得或 ，进而得到点D 的横坐标为，纵坐标为 ，然后求得
，最后代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过两点，
，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵满足的点有且只有三个，
∴的值为抛物线顶点到x轴的距离，
由（1）得抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，
∴．
（3）解：①由（1）知
将代入 中，得：
解得：
∵点A在点B的左侧，
∴．
如图：过点 P作轴于点H，
，
，
∵轴，，
∴，
，
，
∵点P在第四象限的抛物线上，
∴设
且均不为0，
化简可得
∵P为第四象限内抛物线上一点，
∴，且，
∴，解得：
∵点 P在第四象限，
，
此时
∴点P的坐标为
②是定值．
设直线的解析式为，
将代入中，
可得 ，解得：
∴直线的解析式为，
将代入中，得，
∴．
设直线的解析式为，
将代入中，
可得 ，解得
∴直线的解析式为
联立 ，解得：或
∴点D 的横坐标为，纵坐标为
．
∴的值是定值，定值为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识并掌握数形结合思想成为解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把分别代入抛物线解答即可；
（2）根据解析式得，对称轴为直线，结合点A，点B是对称点，可以确定点B的坐标，设直线的解析式为，与对称轴的交点为M，解得，得到直线的解析式为，故点，．
结合解答即可．
（3）不妨设，过点P作交的延长线于点N，
故，解得，得到，
确定，，根据，
得到，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可．
【详解】（1）解：把分别代入抛物线，
∴，
解得，
∴．
（2）解：，
∴，
∴，对称轴为直线．
∵点A，点B是对称点，
∴，
∴，

∴，
设直线的解析式为，与对称轴的交点为M，
故，
解得，
∴直线的解析式为，
∴时，，
故点，
∴．
∴
．
（3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设，
过点P作交的延长线于点N，

故，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
3．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可；
（3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，即，
∵，，
∴，，，
∴为等边三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
连接、，
∵与相似，
∴当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的横坐标为；
当时，，即，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去）；
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或；
（3）解：设，，，
由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，
设直线的解析式可得，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵直线和交于点，
∴，
由①可得：，由②可得：，
∴，
整理可得：
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，根据角平分线的性质定理可得点即为所求，先求出点的坐标，证出，根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得；
（3）先根据二次函数与直线只有唯一一个公共点可得，，再将点代入两条直线的解析式可得，，从而可得是方程的两个实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，
∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求，
由（1）已得：，
当时，，解得或，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（即为点），
∴点的坐标为．
（3）解：联立得：，
∵抛物线与直线只有唯一一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式，即，
同理可得：，
∵点在直线和直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是方程，即的两个实数根，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、角平分线的性质定理、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可即可解答；
（2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入可得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
6．(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解；
（3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
令，得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即点A的坐标为，
∵点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示：
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴的最大值为，此时点P的坐标为：
（3）解：如图2，
设点D的坐标为，
∵，
∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴，
∴，
∵，，，
①当时，
∴，即，
解得：，
即点，
②当时，
∴，即，
解得：，
即点，
综上所述：符合条件的点D的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线解析式求出点，进而可得，再代入函数解析式即可求出；
（2）过点D作轴于点，根据可得，进而可得，由此求解；
（3）先求出，可得，证明，可得，即，进而列方程可得求出，由此得出，再求出线CF的解析式为，延长至点R，使，连接，再证明，可得，过点D作轴于点，证明，可得，，由此求出；将其代入得，，解得即可求解．
【详解】（1）解：∵，交y轴的正半轴于点C，
当时，，
，
，
，．
将代入得：
，解得：．
该抛物线为；
（2）解：过点D作轴于点，
当时，，
，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
（3）解：对于，当时，，
解得：，，
，
，
在中，，
，
设点F的坐标为，过点F作轴于点N，如图，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
；
设直线CF的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
，
延长至点R，使，连接，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
过点D作轴于点，
，
，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
；
将其代入得，，
解得：，（舍），
，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并能够根据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
8．(1)
(2)①或；②见解析
【分析】（1）根据抛物线对称轴直线的计算方法即可求解；
（2）①过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点，可证，得到，则，由，抛物线的对称轴为：直线，得到，解得抛物线解析式为，直线的解析式为，得到，设，则，所以有，由此即可求解；
②联立抛物线与直线得到，，根据中点坐标公式，得到：，，由经过点，得到，则，根据，设直线的解析式为，得：，则直线的解析式为，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为：直线；
（2）解：①过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，抛物线的对称轴为：直线，
∴，
解得，，
∴，
把点代入抛物线解析式得，，
解得，，
∴抛物线解析式为，
设的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设，则，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为：或；
②联立得，
∴，
∵点是线段的中点，
∴中点的横坐标为：，
联立得，
同理可得：，
∵经过点，
∴即：，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析式为，则，
得：，
∴直线的解析式为，
∴直线恒过定点．
【点睛】本题主要考查二次函数以几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，一元二次方程组等知识的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键．
9．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分别令，解方程，即可求解；
（2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解．
（3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解．
【详解】（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，；
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴,
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点，，表示出的长，然后利用得到解析式，配方得到最大值即可；
（3）分为和两种情况，利用对应边成比例解题即可．
【详解】（1）解：令，则，
或，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
，
（2）解：由（1）可得的解析式为，
轴
设，，的面积为，
，
，
的面积最大值为；
（3）解：，，
是直角三角形，
设，
①如图1，当时，，
，
，
（舍去）或，
；
②如图2，当时，过点作轴，垂足为点，
，，
，
，
，
，
，
，
（舍去）或，
；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．(1)
(2)存在， G点坐标为或或或
(3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标；
（3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点．
【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
∴，
∵、，
∴，，
分两种情况讨论：
①当时，
∴，即，
∴，
∴或，
②当时，
∴，即，
∴，
∴或，
综上，点的坐标为或或或；
（3）解：存在，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴设过点与直线平行的直线为：，
将点代入，得，
解得，，
∴过点与直线平行的直线解析式为：，
联立，解得：，，
∵，
∴，
设过点与直线平行的直线为：，
同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：，
联立，解得：，，
∴的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
12．(1)
(2)点的坐标为或
(3)①；②
【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解；
（2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解；
（3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当时，点的坐标为或；
（3）解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，
∴对称轴直线为，即
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
令时，，
解得，，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，；
②根据题意，当时，，不符合题意，舍去；
当，；
当时，（不符合题意，舍去），；
∴当时，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键．
13．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①求出，，得，根据，得，解得，得；②在上取点D，使，连接，则，根据，求得，得，设，则，，根据，得，得，求出直线的解析式，联立得，解得，即得；
（2）设直线为l，过点A、B作的垂线于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H，当时，，设，根据，得，，得，，得，，可得，即得．
【详解】（1）解：①中，令，则，
∴，
令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），或，
∴；
②在上取点D，使，连接，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴；
（2）设直线为l，过点A、B分别作于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H，
则，
当时，，
设，
则，
令，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数求解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二倍角产生的等腰三角形问题，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
14．(1)
(2)不存在，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据二次函数的交点式即可得到结论；
（2）过点A作y轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，根据相似三角形的性质得到，求得，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点则，整理得到，由于，得到原方程无实数根，得到不存在点P，使得K刚好为的中点；
（3）过M作轴于K，过N作轴于T，如图：根据将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，得到抛物线的解析式为，设，根据相似三角形的性质得到，即，整理化简得到，由点M、N的坐标得，直线解析式为，求得，当时，，得到直线经过．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴，
即；
（2）解：不存在，
理由：过点A作y轴的平行线交的延长线于点M，过点P作y轴的平行线交BC于点N，
则，
∴，
∴，
∴，
由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得直线的表达式为：，
则点，即，则，
设点，则点，
则，
整理得，，
∵，
∴原方程无实数根，
∴不存在点P，使得K刚好为的中点；
（3）证明：过M作轴于K，过N作轴于T
∵将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
设，
∵M，N分别在第四象限和第二象限，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理化简得：，
由点M、N的坐标得得直线解析式为，
∴，
当时，，
∴直线经过，
∴直线经过一定点．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
15．(1)
(2)①或；②点的坐标为或
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式．
（2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可．
②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）．
∴
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去），
∴
综上所述：点的坐标为：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
16．(1)
(2)8
(3)或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由四边形是平行四边形，则四边形的面积；
（3）当 时，即，即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：，
则，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：如图1，过点作轴于．
，
．
，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是，
四边形是平行四边形，
且．
设点，
则点，
，
．
，
．
四边形的面积；
（3）解：如图2，过点作轴于，过点作于．
则．
，，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是．
直线与轴的交点．
．
，
，，
，
．
，
．
．
当 时，即，
，
．
，，
∴，即点G从而点F的纵坐标为2，
代入的函数表达式中，得．
；
当时，则，
，
则，
，
可设则，
中，，
（负值已舍去），
则，
∴，，
即点F的纵坐标为，代入的函数表达式中，得．
，
综上所述，点的坐标是或．
17．(1)
(2)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过与点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
设直线解析式为，
则有，解得：，
即直线解析式为；
设点坐标为，
轴，
点的坐标为，
；
当时；
如图，连接，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，（舍去），
此时；
当时，
则，，
则有，
；
过点作于，则，
，
，
解得：，（舍去），
此时；
综上，或．
18．(1)
(2)存在，
(3)l的最大值为12，相应的点P的横坐标
【分析】（1）根据点在函数图象可得出的值，根据二次函数的最大值为可得，继而得出的值，再确定二次函数与轴的交点坐标，，然后代入直线的解析式，解关于、的方程组即可；
（2）如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点，证明四边形是矩形，得，，确定直线的解析式为，设直线的解析式为，设，则，然后分两种情况：①，②求解即可；
（3）过点作，交的延长线于点，根据是平行四边形的性质得到，，，设，则直线的解析式为，联立方程组，则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，则，根据锐角三角函数得，则，当时，取得最大值，最大值为12，最后解方程即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，
，，，
，
抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
，，
，，
设直线的解析式为，过点，，
，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）解：如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，点为的中点，
，，
点的坐标为，即，
设直线的解析式为，
，得：，
直线的解析式为，
，，
，，
设直线的解析式为，
轴，
轴，，
，，
设，则，
①当时，
则，
设，则，
在中，，
则，
在中，，
则，
，
，
在中，，
则，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
解得：，
；
②当时，
则，
设，则，
在中，，
则，
在中，，
则，
，
，
在中，，
则，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或时，以点，，为顶点的三角形与相似；
（3）解：过点作，交的延长线于点，
轴，轴，
轴，
轴，
，
四边形是平行四边形，
，，，
设，
即线段向上平移个单位得到线段，
设直线的解析式为，
联立方程组，
，
则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，，
，，
，
，
，
在中，，
则，
平行四边形的周长：
，
当时，取得最大值，最大值为12，
此时，
，
解得：，，
点的横坐标为，
的最大值为12，相应的点的横坐标．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识．
（1）令，求出，得点，，由得，，
把代入，求出，故可求出；
（2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论；
（3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得：
，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
（2）解：对于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
过点G作轴于点E，
设，则，，，
又
∴
∴，
∴面积有最大值，最大值为；
（3）解：设的延长线交轴于点，
根据题意得
又
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或
∵
∴．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，利用是平行四边形，得出方程，解方程即可求解；
（3）根据两点，得出的直线方程为，求出的值，过点作轴于点，过点作轴于点，得出，求出直线的表达式，与抛物线方程联立，求出点坐标，并分两种情况讨论，当时和当时，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解．
【详解】（1）图象与轴交于点和，
设抛物线的解析式为，
，
，
将点代入中，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）已知，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
四边形恰好是平行四边形，
，
，
即，
解得，
．
（3）在直线上是否存在点，使得与相似，理由如下，
是的中点，点，
点，
由（2）可知，点，
设直线的直线方程为，
则，
解得，
直线的直线方程为，
，有，
点在直线上，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图2，
，
，
，
，
直线与直线关于直线对称，
，
，
，
设直线的表达式为，
将点，代入，
则，
解得，
直线的表达式为，
将直线的表达式与抛物线表达式联立，
得，整理得，
解得或，
点，
，
，
，
，
，
，
，
，点与点为对应点，
设点的坐标为，
则，
当时，
，
，
即，
整理得，
解得，（在点右侧，舍去），
，
当时，，
，
整理得，
解得（舍去）或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质等．解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．