2025届中考数学预热模拟卷 【湖南专用】（含解析）

2025届中考数学预热模拟卷 【湖南专用】
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.据光明网消息,今年“五一”假期,日均全社会跨区域人员流动量达亿人次以上,公路出行仍是主力,其中自驾出行比例达八成以上,将数据“亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图是某工厂生产的一种零件,该几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
5.“千门万户曈曈日,总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日,古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现在,人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节期间开展商品促销活动,顾客凡购物金额满100元,就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中,随机摸出一张卡片,然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品.现有2名顾客都只领取了一件礼品,那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图,直线与双曲线相交于点A和B,已知点A的坐标为,则不等式的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
7.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是( )
A.1,11 B.7,53 C.7,61 D.6,50
8.已知关于x的方程的两实数根为,,若,则m的值为( )
A. B. C.或3 D.或3
9.如图,是边长为的等边三角形的外接圆,点D是的中点,连接,.以点D为圆心,的长为半径在内画弧,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中横线上）
11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________.
12.因式分解析：______.
13.计算：______.
14.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为_________.
15.为了考察某种海水稻的长势,从所育稻苗中随机抽取5株,测量这5株稻苗高度所得数据为8,8,9,7,8(单位∶),该组数据的方差为______.
16.如图，为直径，点D为上一点，连接，过点作交于点，连接，.若，则的度数为______.
17.如果一个四位数N,前两位数字之和为8,后两位数字之和为5,且各位数字均不为0,则称为“同城数”.把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数.规定.例如：,∵,,∴2614是“同城数”,则.若“同城数”,则______.
已知是“同城数”(a,b,c,d均为正整数),若是整数,则满足条件的所有T之和是______.
18.如图,点和点B在反比例函数的图象上,延长与y轴相交于点C,若,则点C的纵坐标为______.
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）计算：.
20.（6分）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值.
21.（8分）为提高中小学学生的交通安全意识,有效预防和减少交通事故的发生,某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动.某中学为检验学生的学习效果,从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试(满分100分),并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息,解答下面的问题：
(1)在问卷测试时,该中学采取的调查方式是______(填写“普查”或“抽样调查”).
(2)在这次问卷测试中,抽取的学生一共有______名,扇形统计图中的值是______.
(3)已知A组的10名学生中有6名男生和4名女生,若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员,且每名学生被抽到的可能性相同,则恰好抽到男生的概率是______.
(4)若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动,估计本次活动中,学习效果不达标(成绩低于60分)的学生有______名.
22.（8分）如图,在四边形中,,,点O为的中点,连接并延长,交于点E.
(1)求证：；
(2)连接,若,请判断四边形的形状,并证明你的结论.
23.（9分）为鼓励学生加强锻炼,增强体质,某校准备购买若干套健身器材供学生使用.经调查,某公司有A,B两种健身器材可供选择,每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低万元,用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同.
(1)求A,B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？
(2)经协商,该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折.若学校购进的80套健身器材中,B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍,学校应如何购买才能使总费用最少？
24.（9分）五一期间,数学兴趣小组的几位同学到公园游玩,看到公园内宝塔耸立,几人想用所学知识测量宝塔的高度.为此,他们在距离宝塔中心18m处()的一个斜坡CD上进行测量.如图,已知斜坡CD的坡度为,斜坡CD长12m,在点D处竖直放置测角仪DE,测得宝塔顶部B的仰角为37°,量得测角仪DE的高为1.5m,点A、B、C、D、E在同一平面内.
(1)求点D距地面的高度；
(2)求宝塔AB的高度.(结果精确到0.1,参考数据；,,,)
25.（10分）如图,为的切线,C为切点,过点C作,垂足为D,交于点A,延长与的延长线交于点E.
(1)求证：为的切线.
(2)若,,求线段的长.
26.（10分）如图,在平面直角坐标系中,直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,抛物线经过点A和点B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2,点P是抛物线上第一象限内的一个动点,连接、,当时,求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M,使？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：的绝对值是,
故选B.
2.答案：B
解析：亿.
故选B.
3.答案：D
解析：.,原计算错误,故选项A不符合题意；
.,原计算错误,故选项B不符合题意；
.,原计算错误,故选项C不符合题意；
.,计算正确,故选项D符合题意；
故选：D.
4.答案：C
解析：由实物图可知,它的左视图是
故选：C.
5.答案：C
解析：分别用A,B,C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片,列表如下：
A B C
A A,A A,B A,C
B B,A B,B B,C
C C,A C,B C,C
共有9中等可能的结果,其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果,
∴；
故选C.
6.答案：D
解析：直线与双曲线相交于点A和B,已知点A的坐标为,
点B的坐标为,
由图象可得,不等式的解集为或,
故选：D.
7.答案：B
解析：设人数x人，物价y钱.
解得：
故选B.
8.答案：A
解析：由题意可知：,且
∵,
∴,解得：或,
∵,即,
∴,
故选：A
9.答案：C
解析：过D作于E,
∵是边长为的等边三角形的外接圆,
∴,,,
∴,
∵点D是的中点,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
故选：C.
10.答案：D
解析：在中，
当，，
解得，，
，，
当时，，
原抛物线与y轴交点坐标为，
翻折后与y轴的交点坐标为，
如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，
把代入中，得，
抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：，
翻折后的部分解析式为：，
当直线与抛物线只有一个交点C时，
直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，
整理得，
，解得，
当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是.
故选：D.
11.答案：/
解析：由题意，得：，
解得：；
故答案为：.
12.答案：
解析：
故答案为：.
13.答案：5
解析：.
14.答案：/0.5
解析：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：.
15.答案：/0.4
解析：∵,
∴.
故答案为：.
16.答案：;35度
解析：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
17.答案：30；15078
解析：根据题意,；
因为是“同城数”,所以,,
,
整理化简得,,
所以,是8的倍数；
那么、可能的取值为,；或,；或,；
满足条件的所有的值为：1741、6214、7123,它们的和为：.
故答案为：30；15078.
18.答案：4
解析：由点在反比例函数的图象上,可知,
∴反比例函数解析式为：；
过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为F,E,过点A作于点D,交于点H,
∴,
∴,
∴,
如图,点,,
.
∴,
又,,
,
∴,
∴,
点B的坐标为,
,
∵,
∴
∴,
,即点C的纵坐标为4.
故答案为：4.
19.答案：
解析：
.
20.答案：；2
解析：
，
∵，，
∴当时，原式
21.答案：(1)抽样调查
(2)5028
(3)
(4)60
解析：(1)在问卷测试时,该中学采取的调查方式是抽样调查；
(2)共抽取的学生有：(名),
,
；
(3)A组的10名学生中有6名男生和4名女生,
恰好抽到男生的概率是；
(4)由题意得：(名),
估计本次活动中,学习效果不达标(成绩低于60分)的学生有名.
22.答案：(1)见解析
(2)四边形是菱形,证明见解析
解析：(1)∵,
∴,
在和中,
,
∴.
(2)如图：四边形是菱形,证明如下：
∵,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴四边形是菱形.
23.答案：(1)A种健身器材每套万元,B种健身器材每套2万元
(2)学校购买A种健身器材套,B种健身器材套才能使总费用最少
解析：(1)设A种健身器材每套的售价为x万元,则B种健身器材每套的售价为万元,
∴,解得：,
经检验,时原方程的解,且符合题意,
∴,
答：A种健身器材每套的售价为万元,则B种健身器材每套的售价为2万元；
(2)设学校购买A型健身器材m套,则购买B型健身器材套,
∴,解得：,
∵m为正整数,
∴m的最大值为,
设总费用为w元,
∴,
∵,
∴w随m的增大而减小,
∴当时,w有最小值,
此时,,
答：学校购买A型健身器材26套,则购买型健身器材54套.
24.答案：(1)点D距地面的高度为6m
(2)宝塔AB的高度为28.8m
解析：(1)如图：
∵斜坡CD的坡度为,
∴在中,,
∴,
∴,
∴点D距地面的高度为6m；
(2)过点E作,垂足为G,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴宝塔AB的高度为28.8m.
25.答案：(1)见解析
(2)6
解析：(1)证明：如图,连接,
为的切线,C为切点,
,
,O为圆心,
是的垂直平分线,
,
在和中,
,
,
,
,
为的半径,
为的切线.
(2)为的切线,
,
,,
,
,,
,
,
,
解得.
26.答案：(1)
(2)
(3)存在,或
解析：(1)在中,
当时,；
当时,,
解得：,
,,
将,代入中,
得：,
解得：,
抛物线的表达式为：；
(2)过点P作轴,交于点Q,如图：
设,则,(其中),
；
由(1)得：,,
,
,
,
整理得：,
解得：,(舍去),
此时,,
；
(3)①作交抛物线于点M,
,
在中,
,
作于点N,
设,,
,,
,,
,,
,
,
.
整理得：,
解得：(舍去),,
当时,,
；
②作关于x轴对称点,
连接,则,
作交抛物线于点,
,
,
,
作于点
设,则,
,,
,
,
整理得,
解得：(舍去),,
当时,,
；
综上所述,点M的坐标为或.