人教新课标A版选修1-1数学1.1命题及其关系同步检测

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1.1命题及其关系同步检测
1.下列语句中,不能称为命题的是(　　)
A.5>12 B.x>0 C.若a⊥b,则a·b=0 D.三角形的三条中线交于一点
答案：B
解析：解答：选项A能判断为假,选项C,D能判断为真,而选项B中,因为在给x赋值之前,不能判断x>0的真假,所以x>0不是命题.,故选B.
分析： 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
注意：1.并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
2.在数学或其他领域,有一类陈述句,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇质数的和”,目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假,因此通常把它也算作命题.
2．下列语句中，命题的个数为(　　)
①空集是任何非空集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？
③若x∈R，则x2＋4x＋7>0；④指数函数的图象真漂亮！
A．1　　　 B．2 C．3 D．0
答案：B
解析：解答：由命题的定义可知，①③语句是命题，而②④不是命题,故选B.
分析： 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
注意：1.并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题. 2.在数学或其他领域,有一类陈述句,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇质数的和”,目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假,因此通常把它也算作命题.
3．下列说法正确的是 (　　)
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“ x0∈R，x＞1”的否定是“ x∈R，x2＞1”
C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题
答案：D
解析：解答：A项中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；B项中否定为“ x∈R，x2≤1”，所以B错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D..
分析： 本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
4．将命题“既不平行，又无公共点的两条直线是异面直线”改写成“若p，则q”的形式是(　　)
A．若两条直线不平行且不共线，则这两条直线是异面直线
B．若两条直线既不平行又不相交，则这两条直线是异面直线
C．若两条直线是异面直线，则这两条直线既不平行，又不相交
D．若两条直线是异面直线，则这两条直线不同在任何一个平面内
答案：B
解析：解答：把所给的命题改写成“若p，则q”的形式．即：若两条直线既不平行，又不相交，则这两条直线是异面直线，故B项正确，其他不正确,故选B.
分析： 根据命题的形式：一个命题由条件和结论两部分组成.数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是条件,q是结论.
5.下列每题：
①2004年10月01日是国庆节，又是中秋节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形；
④方程x2=1解x=1；
其中使用逻辑连接词的命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3 个 D. 4个
答案：C
解析：解答：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节，是且的形式； ②10的倍数一定是5的倍数，没有使用逻辑连接词； ③梯形不是矩形，是非的形式；④方程x2=1解x=1，是或的形式；故选C。
分析： ①是且的形式；②没有使用逻辑连接词；③是非的形式；④是或的形式．
复合命题:所谓复合命题是指由简单命题用连接词连接而成的命题．不含逻辑连接词的命题叫简单命题．含逻辑连接词（“或”，“且”，“非”）的命题叫复合命题．
6．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案：B
解析：解答：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案B
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
7.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案：C
解析：解答：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
8．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
答案：C
解析：解答：命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
9．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)．
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
答案：D
解析：解答：否命题是条件和结论都否定，奇函数的否定应为不是奇函数，故选D.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
10．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
答案：D
解析：解答：逆否命题是逆命题的否命题：若x2<1，则－1为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”．故选D.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
11．下列四个命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，x2＋3<0 B． x∈N，x2≥1
C． x∈Z，使x5<1 D． x∈Q，x2＝3
答案：C
解析：解答：由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“ x∈R，x2＋3<0”为假命题；由题0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题： x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“ x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x3＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“ x∈Q，x3＝3”是假命题．故选C.
分析： 本题主要考查命题的是全称命题与特称命题的真假判断，根据概念逐项分析即可。
12.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.
其中真命题的序号是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
答案：C
解析：解答：命题①，由球的体积公式可知，当一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的，故该命题正确；命题②，两组数据的平均数相等, 若离散程度不同，则它们的标准差就不相等，故该命题错误；命题③，直线x+y+1=0到圆心（0,0）的距离与圆x2+y2=的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确.故选C.
分析： 本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
13．已知命题p： x∈R，x2＋x－1＜0，则p为 (　　)
A． x∈R，x2＋x－1＞0 B． x∈R，x2＋x－1≥0
C． x R，x2＋x－1≥0 D． x R，x2＋x－1＞0
答案：B
解析：解答：命题p： x∈R，x2＋x－1＜0，则p： x∈R，x2＋x－1≥0.故选B
分析： 本题主要考查含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定;
14．下列命题中是假命题的是 (　　)
A． α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B． φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C． m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D． a＞0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点
答案：B
解析：解答：对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝，满足条件；对于D，令ln x＝t， a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，故选B.
分析： 本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
15. 命题p：“不等式的解集为”；命题q：“不等式的解集为”，则 （ ）
A．p真q假 B．p假q真
C．命题“p且q”为真 D．命题“p或q”为假
答案：D
解析：解答：不等式的解集为,故命题p为假;不等式的解集为,故命题q为假.于是命题“p或q”为假，故选D.
分析： 先判断命题P和命题q为的真假，命题P为真命题。命题q为假命题，
再由真值表对照答案逐一排除即可。
16．“若a>1，则a2>1”的逆否命题是____________________________，为_______(填“真”或“假”)命题．
答案：“若a2≤1，则a≤1”|真
解析：解答：若a>1，则a2>1的逆否命题为：“若a2≤1，则a≤1”为真命题．
故答案：“若a2≤1，则a≤1”　真
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
17．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是________．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
解析：解答：命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为：若a≤b，则2a≤2b－1
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
18.下列语句:
①是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时,2x>0;
④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 ⑤一个数不是合数就是质数；
⑥作△ABC≌△A'B'C'；⑦二次函数的图像太美了!
⑧4是集合{1,2,3}中的元素.
其中不是命题的有　　　　　,是真命题的有　　　　　.(只填序号)
答案：②④⑥⑦|③
解析：解答：①是命题,能判断真假,假命题.
②不是命题,因为语句中含有变量x,在没有给变量x赋值前,我们无法判断该语句的真假.
③是命题,是能作出判断的语句,是一个真命题.
④不是命题,因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断.
⑤是命题,是假命题,因为1既不是合数也不是质数.
⑥祈使句,不是命题.
⑦感叹句,不是命题.
⑧是命题,假命题,因为4 {1,2,3}.故为答案：②④⑥⑦　③
分析： 本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
19.给出下列命题：
①原命题为真,它的否命题为假；
②原命题为真,它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真,则它的否命题一定为真；
⑤“若，则的解集为R”的逆命题.
其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
答案：②③⑤
解析：解答：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，故
①④错误，②③正确．
因为不等式的解集为R，
所以由解得.故⑤正确．
故为答案：②③⑤
分析： 本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
20．命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是______．
答案：若A∪B≠A则A∩B≠B
解析：解答：命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题为若A∪B≠A则A∩B≠B
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
21．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆
命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
答案：解：逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
解析：分析：写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提；判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例；根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
22．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
答案：逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
答案：逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
解析：分析：写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提；判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例；根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
23.求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
答案：证明：该命题的逆否命题为若p＋q>2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝ [(p＋q)2＋(p－q)2]≥ (p＋q)2.
∵p＋q>2，∴(p＋q)2>4，
∴p2＋q2>2，即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立.
∴如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
解析：分析：根据原命题与逆否命题的等价性即可。
24．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
答案：解：由命题p为真知，0＜c＜1，由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤；
当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是∪[1，＋∞)．故答案∪[1，＋∞)
解析：分析： 先求命题p和命题q的a的取值范围，再由判断复合命题的口诀（或命题：有真则真；且命题：有假则假；非命题：真假相反。）进行判断即可。
25．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
答案：解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.
逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真。
解析：分析： 直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．
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