人教新课标A版选修1-1数学2.1椭圆同步检测

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2.1椭圆同步检测
1．已知点(3,2)在椭圆上，则(　　)
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
答案：C
解析：解答：∵点(3,2)在椭圆上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.
分析：本题考查了点与椭圆的位置关系，由椭圆的对称性，可得点(3,2)和点(－3,2)在椭圆上
2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段 C．椭圆、线段或不存在 D．不存在
答案：C
解析：解答：当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；
当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；
当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．，故选C.
分析：本题给出点P满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
3．下列说法中正确的是(　　)．
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆
答案：C
解析：解答：A中常数8＝|F1F2|，B中常数6＜|F1F2|，所以轨迹都不是椭圆；可计算C中常数等于＞|F1F2|，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D中点的轨迹应该是一条直线，故选C．故选C.
分析：本题给出焦点满足的条件，求动点的轨迹，注意应用椭圆的定义与形成椭圆的条件即可.
4．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支
答案：A
解析：解答：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.
即|F1Q|＝2a.
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.
分析：本题给出椭圆的焦点是F1、F2，求动点的轨迹，注意应用圆的定义与形成圆的条件即可
5．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
解析：选B.
答案：A
解析：解答：把椭圆的方程写成标准形式为
知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10,2b＝6， ＝0.8．故选A.
分析：本题给出椭圆25x2＋9y2＝225方程，化为标准方程再求其他量，注意焦点在x轴或y轴即可.
6.已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
答案：A
解析：解答：椭圆方程可化为,由焦点在轴上可得长半轴长为,
短半轴长为1，所以，解得．故选A.
分析：本题给出椭圆的焦点在y轴上，化为标准方程再求其他量即可.
7．椭圆的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A. B. C．1 D.
答案：B
解析：解答：椭圆的右焦点为F(1,0)，根据点到直线的距离公式得
故选B.
分析：根据椭圆标准的方程求出右焦点，再代入点到直线的距离的距离公式即可.
8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．故选B.
分析：根据长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，找出a与c的关系即可.
9．椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：.c2＝16－8＝8，∴e＝＝.故选D.
分析：根据椭圆,得出a与c，求出离心率即可.
10．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m的值为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：. ∵焦点在x轴上，∴a＝，b＝，c＝，
∴c＝，e＝＝＝，∴m＝.故选B.
分析：根据椭圆,得出a与c，求出离心率即可.
11.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：. ∵ 椭圆化成标准形式为，
∴ ，可得.
∴ 椭圆的焦点为，.
设位于椭圆轴上方弧上的点为，则
解得（负值舍去）.
∴ △的面积.故选B.
分析：根据椭圆化成标准形式为，可得.
设位于椭圆轴上方弧上的点为，再求出△的面积.
12.椭圆C：的左、右顶点分别为,,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是　(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：设，则，，
，故.
因为,所以.故选B.
分析：将代入到中,得到与之间的关系,利用为定值求解的取值范围.
13．已知椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质．
由已知B点横坐标为－c，取B(－c， )．
∵＝2.∴＝
∵AB所在直线方程为y＝ (x－a)，∴P点纵坐标为a－c.
由△BFA∽△POA得， ，∴2c2－3ac＋a2＝0.
即2e2－3e＋1＝0解得e＝(e＝1舍去)．故选D.
分析：本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质，注意结合直线的斜率求解即可．
14．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点，求的值（ ）
A. 1 B.3 C. 2 D.
答案：C
解析：解答：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .．故选C.
分析：本小题主要考查了椭圆与直线的结合，联立直线消去y，利用两根之和与两根之积，求解即可．
15.已知曲线C上的动点M(x,y)和向量a=(x+2,y),b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率
是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：|a|+|b|=6表示动点M到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e=，故选A.
分析：根据椭圆的定义，求出a与c的值，即可确定离心率.
16.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为 .
答案：
解析：解答设椭圆的右焦点为．
由椭圆的定义得的周长为.
∵ ,
∴ ，当过点时取等号.
∴ 的周长.
∴ 的周长的最大值是.
此时的面积为，∴ .
平方,得,即，∴ .
分析：由椭圆的定义先确定△FAB的周长的最大值，即可.
17．过点(－3,2)且与有相同焦点的椭圆方程是________．
答案：
解析：解答因为焦点坐标为(±，0)，设方程为，将(－3,2)代入方程可得，解得a2＝15，故方程为.
分析：先根据确定另一个椭圆的焦点，再根据标准方程，代入即可.
18．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为________．
答案：
解析：解答：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.
又e＝＝，故c＝，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆标准方程为.
分析：椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，确定a的长度，进而确定c，即可.
19．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程 ．
答案：
解析：解答：由9x2＋5y2＝45，得，其焦点F1(0,2)、F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为.又∵点M(2，)在椭圆上，
∴ ①又a2－b2＝4②解①②得a2＝12，b2＝8.
故所求椭圆方程为.
分析：根据椭圆9x2＋5y2＝45，先确定焦点，再求出a，b即可.
20.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是 .
答案：
解析：解答：设椭圆的上顶点为，焦点为,椭圆上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则.由余弦定理可得，即,所以，即，解得.
分析：设椭圆的上顶点为，焦点为,椭圆上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则，再根据余弦定理求解即可.
21．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
答案： 或
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
答案： 或,
解析：解答：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为 (a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为
若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为 (a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为
综上所述，椭圆方程为或; (2)由已知，∴ .从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为或,
分析：根据椭圆的标准方程的分情况讨论，焦点在x轴和在y轴上，即可.
22.已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
答案：
解析：解答：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为 (y≠0)．
分析：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
23.已知椭圆的中心在原点，焦点为(0,)，且离心.
（1）求椭圆的方程；
答案：
（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标
为，求直线倾斜角的取值范围.
答案： .
解析：解答：（1）设椭圆方程为.焦点为(0,)，，，所以a=3,c=，所以b=1.故所求椭圆方程为.
（2）设直线的方程为y=kx+b，代入椭圆方程整理得
. 设A，且线段AB中点的横坐标为，由题意得解得.
又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是.
分析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
24.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
答案：
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
答案：定点坐标为
解析：解答：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为． （2）设．联立
得 ，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．．
．．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
分析：（1）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；可得；进而求出椭圆的标准方程. （2）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．
25.已知动点M(x,y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1) 求动点M的轨迹C的方程;
答案：
(2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
答案：直线m的斜率
解析：解答：(1) 点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，则.
所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为. (2) P(0, 3), 设，
椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在..联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线m的斜率.
分析：设出动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与的关系式，利用中点坐标即可得斜率.
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