人教新课标A版选修1-1数学2.2双曲线 同步检测

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2.2双曲线同步检测
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线
答案：C
解析：解答：∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.故选C.
分析：本题考查了双曲线的定义，根据|PM|-|PN|=3，可得是双曲线的右支。
2.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题意知点P的轨迹是双曲线靠近B点的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是
故点P的轨迹为双曲线的右支.故选D.
分析：本题考查了双曲线的定义，根据动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，可得是双曲线的右支。
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)．
A．－ B．－4 C．4 D.
答案：D
解析：解答：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.
分析：本题考查了双曲线的定义，双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，可得b=2a，根据双曲线的标准方程，可得a=1即可。
4.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是( )
A.-1 B.1 C. D.
答案：D
解析：解答：由题知双曲线焦点在y轴上，且c=3,双曲线方程可化为∴k=-1.，故选A.
分析：因为双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），所以c=3,将双曲线化为标准方程即可。
5．双曲线的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
A. －12答案：C
解析：解答：双曲线方程可变为，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，
e＝，又∵e∈(1，2)，则1<<2，解得－12分析：因为双曲线的离心率e∈(1，2)，根据e＝确定1<<2，解不等式即可。
6.k＞9是方程表示双曲线的( )
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分又不必要条件
答案：C
解析：解答：当k＞9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．
当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．
∴k>9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选C.
分析：因为.k＞9是方程可得焦点在y轴上,将双曲线化为标准方程即可
7．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a＋c＝2b，由得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a＋c＝2b．故选：
分析：本题旨在考查双曲线的几何性质，可用筛选法．
8．与椭圆C：共焦点且过点(1， )的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C. D. －x2＝1
答案：C
解析：解答：椭圆的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为，则解得m＝n＝2，故选C.
分析：根据椭圆C：，可得a2=16，b2=12，可求出焦点坐标，即可。
9．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)．
A. (x≤－4) B. (x≤－3)
C. (x≥4) D. (x≥3)
答案：C
解析：解答：根据两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，
所以c=5，a=3，所以b=4，故选D
分析：根据双曲线的定义可得．
10.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：双曲线的右顶点为,渐近线方程为,则顶点到渐近线的距离为.故选C
分析：先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.
11. 已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
答案：C
解析：解答：.因为，所以，又因为，所以，得，所以渐近线方程为.故选C
分析：根据题目中给出离心率确定与之间的关系，再利用确定与之间的关系，即可求出渐近线方程.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（,y0）在该双曲线上，则=( )
（A）-12 (B)-2 (C)0 (D)4
答案：C
解析：解答：由题意：∴双曲线方程为
∵点在该双曲线上，∴y0=±1,
∴P,又F1(-2,0),F2(2,0)，∴=-1+1=0，
或=-1+1=0..故选C
分析：根据双曲线的渐近线方程求出b的值，然后把P点坐标求出来，再利用数量积的运算律计算.
13.已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=　(　　)
A.1 B. C.2 D.3
答案：C
解析：解答：
如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为，故△AOB的面积为,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2..故选C
分析：画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB的面积,然后求解.
14．一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。
A. 4y2+x2=1（y≥） B. 4y2-x2=1（y≥）
C. 4y2-x2=1（y） D. 4y2+x2=1（y）
答案：B
解析：解答：解：设动圆圆为C(x,y),半径为r,
∴ |cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,∴ 点c的轨迹为双曲线的一支
∵ ，c=1,∴ ,∴ c轨迹方程为4y2-x2=1（y≥）故选B
分析：因为一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切, ∴ |cc2|-|cc1|=1<|c1c2|,然后求解即可.
15、已知分别是双曲线的左和右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积 ( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：双曲线可化为，设
由题意可得即
所以
故选D
分析：双曲线可化为，设,然后余弦定理求解.
16.双曲线C ：的离心率为　　　　；渐近线的方程为　　　　　．
答案：|
解析：解答：由双曲线的标准方程知，， 则，所以.，又渐近线方程为.
分析：本题考查双曲线的性质，离心率、渐近线。
17. 双曲线的两条渐近线的方程为　　　　.
答案：
解析：解答：由双曲线得a=4,b=3,故两条渐近线的方程为。
分析：利用双曲线的标准方程求出a,b再利用渐近线公式求解.
18．双曲线的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________.
答案： 7或－2
解析：解答：(1)当焦点在x轴上，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2；综上述，m＝7或m＝－2.
分析：双曲线的一个焦点到中心的距离为3，分情况讨论求解即可。
19．如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为_____．
答案：
解析：解答：由题意知，所以离心率
分析：本题旨在考查双曲线的离心率，根据公式求解即可．
20. 若双曲线上存在四个点，使得四边形是正方形，则双曲线的离心率的取值范围是 .
答案：
解析：解答：由正方形的对称性可知，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x,x），所以双曲线的渐近线的斜率，离心率..
分析：本题考查了双曲线的性质及分析问题、解决问题的能力.
21．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是
圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
答案：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
解析：分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力.
22.已知与双曲线共焦点的双曲线过点求该双曲线的标准方程？
答案：已知双曲线据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为
依题意， c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为
∵点在双曲线上，
化简得，4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或
又当时，b2＝25－a2＝不合题意,舍去，故a2=1,b2=24.
∴所求双曲线的标准方程为
解析： 分析：由共焦点可求出c，然后用待定系数法求解，要注意检验.；待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程为或或mx2-ny2=1(mn＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c（或m,n）的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b（m,n）代入所设方程即为所求.
23．已知双曲线的右焦点为F(c,0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
答案：∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b.
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.
∴a2＝b2＝2.
∴双曲线方程为
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
答案：设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1.
∴x0＝y0.①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c.
∴点A的坐标为（，c）.
代入双曲线方程得
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
解析：分析：(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y＝x，双曲线的渐近线为y＝±x，所以a＝b.求解即可；（2）因为是以原点O为圆心，c为半径作圆，可得圆的方程为x2＋y2＝c2，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，可设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·(－)＝－1.代入圆的方程，化简即可。
24．设双曲线的两个焦点分别为F1、F2离心率e=2.
（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
答案：已知：双曲线方程为．所以a=1，b=，
所以渐近线方程：
（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且求线段AB的中点M的轨迹方程.
答案：设A（x1，y1）、B（x2，y2）AB的中点M（x， y）∵2|AB|=5|F1F2| ∴|AB|=10
∴(x1，x2)2 + (y1–y2)2=100，又，，x1+x2=2x，y1+y2=2y．
∴，
∴即
（3）过点N（1，0）能否作直线l，使l与双曲线交于不同两点P、Q.且，若
在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.
答案：假设存在这样的直线e，设其方程为P (x1，y1)，
Q (x2，y2) ∵
∴ ∴ ①
由 得 ∴ ②
由①②得： ∴k不存在，即这样的直线不存在．
解析： 分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力
25.双曲线满足如下条件：
①ab＝；②过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1；求双曲线的方程．
答案：设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，
设直线l：
令x＝0，得
则有
所以
∴x＝2(c－x)且
解得：
即且在双曲线上，
又∵a2＋b2＝c2，
解得又由ab＝，可得
∴所求双曲线方程为
解析： 分析：本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力.
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