人教新课标A版选修1-1数学2.3抛物线同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修1-1数学2.3抛物线同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-07 15:23:56 | ||
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文档简介
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2.3抛物线同步检测
1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－2
答案：B
解析：解答：由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，则：＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4..故选B.
分析：根据抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上 ，可设抛物线的标准方程为：x2＝－2py；求解即可。
2.抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：抛物线的焦点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，故选D.
分析：本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.
3．抛物线y＝x2(m<0)的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：∵x2＝my(m<0)，∴2p＝－m，p＝－，
焦点坐标为，即，故选A.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程,,在求解时首先求得抛物线的标准方程,,然后求出焦点，进行求解即可.
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
答案：B
解析：解答：由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得＋5＝6，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x，故选B.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程,在求解时首先求得抛物线的标准方程的p求解即可
5.已知抛物线y2＝2px(p＞0)与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝，则p＝( )
A．3 B． C． D．
答案：B
解析：解答：∵抛物线y2＝2px与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，则A，B关于x轴对称．又∵|AB|＝，不妨设A在第一象限，则A的纵坐标为，代入圆x2＋y2＝4，得A的横坐标为1．再将x＝1，y＝代入y2＝2px(p＞0)中得p＝．故选B.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程, 因为抛物线y2＝2px与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，则A，B关于x轴对称，假设A在第一象限，求解即可
6.设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
答案：C
解析：解答：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为，故选C.
分析：设出A、B点的坐标，利用抛物线的定义表示出，再利用，确立的方程.
7．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案：A
解析：解答：据题意设所求平行直线方程为3x－2y＋c＝0，又直线过抛物线y2＝2x的焦点(，0)，代入求得c＝－，故直线方程为6x－4y－3＝0.故选A.
分析：因为经过抛物线y2＝2x的焦点，可得(，0)，与直线3x－2y＋5＝0平行，
可得斜率，求解即可。
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
答案：C
解析：解答：因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
由题意知，3＋＝4，p＝2..故选C.
分析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，
可得3＋＝4，求解即可。
9.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解答：根据题意可得圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，又∵ 圆过点，
∴ 所求圆的方程为,故选D.
分析：因为正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，即可设圆的方程为：求解即可。
10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
答案：C
解析：解答：由题意知:F QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,准线方程为,则由抛物线的定义知,xM=,设以MF为直径的圆的圆心为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,所以圆的方程为又因为过点(0,2),所以yM=4,又因为点M在C上,所以16=2p QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.
分析：结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.
11．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
答案：C
解析：解答：由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，
∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，
且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，故∠A1FB＝90°.故选C.
分析：结合已知条件, 因为A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，|0F|∥|AA1|，|0F|∥|BB1|，抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，可得∠3＝∠4，∠1＝∠2，求解即可。
12．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
.故选B.
分析：结合已知条件, 设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，求解即可。
13. 已知抛物
，两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题意知直线的方程为，将其代入到得，
，设，，
则，①
又，②
③
因为,所以，
即.④
由①②③④得，..故选D
分析：先求出抛物线的焦点，列出过焦点的直线方程，与抛物线联立，化简成关于的一元二次方程，利用根与系数关系代入求解.
14．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
答案：B
解析：解答：如图，KAF＝－，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，
即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B.
分析：结合已知条件, 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，结合图像，求解即可。
15.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当时，．
分析：结合已知条件, 过定点作直线与抛物线（）相交于两点，设,联立，，利用韦达定理求解即可。
16.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p= ;准线方程为
答案：2|
解析：解答：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0），。故答案2，
分析：利用抛物线的标准方程求解。
17．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：(1)△FOP为正三角形．(2)△FOP为等腰直角三角形．
(3)△FOP为直角三角形．(4)△FOP为等腰三角形．
其中一定不正确的命题序号是________．
答案：①②
解析：解答：∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，
∴①错误．
若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．故答案①②
分析：利用抛物线的标准方程求解。
18.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
答案：±1
解析：解答：设直线l:y=k(x+1),由 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1·x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),
则,,因为|FQ|=2,F(1,0),
所以 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,所以k2=1,k=±1.
分析：由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.
19．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.如果直线过抛物线的焦点，求的值 ；
答案：-3
解析：解答：由题意：抛物线焦点为（1，0），设消去x得，则，
=
分析：抛物线焦点为（1，0），设消去x得求解即可。
20．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过 (通过或不通过)。
答案：通过
解析：解答：如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，B(2，y)，
由262＝－2px×(－6.5)，得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝－，∵6.5－>6，∴能通过．
分析：根据抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，设抛物线方程为x2＝－2py求解即可。
21．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
答案：由点A（2，8）在抛物线上，有，
解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）求线段BC中点M的坐标；
答案：如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则
，解得，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）求BC所在直线的方程.
答案：由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由消x得，
所以，由（2）的结论得，解得
因此BC所在直线的方程为：。
解析： 分析：（1）由点A在抛物线上，将A点坐标代入，求出参数P，求解即可（2）由于F（8，0）是△ABC的重心，则重心与焦点重合，由重心坐标公式可求M是BC的中点。（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：，解出k即可。
22.如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心, QUOTE \* MERGEFORMAT 为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求 QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 .
答案：抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.所以.
(2)若,求圆C的半径.
答案：设,则圆C的方程为,
即x2- QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+ QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 =0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则:
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 +1=4,解得y0=± QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ,此时Δ>0,
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2= QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ,|CO|=,即圆C的半径为
解析：分析：垂径定理求圆的弦长MN,第 (2)问,先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.
23．已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
答案：的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等，所以曲线C的方程为
（2）过点当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求的值.
答案：当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为，
代入 （*）与曲线C恒有两个不同的交点 设交点A，B的坐标分别为，
则
点O到直线m的距离，
，
（舍去）
当方程（*）的解为 若
若 当方程（☆）的解为
若
若 所以，
解析： 分析：（1）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线m的方程为y=kx+（2-2k），代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，知直线m与曲线C恒有两个不同的交点，再由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，利用、△AOB的面积为4，能求出λ的值．
24．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
答案：解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
答案：直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．
解析： 分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
25.过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.
（1）若，证明；；
答案：由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为.
由，得，设A,B两点坐标分别为，，
则是上述方程的两个实数根，从而，
，所以点M的坐标为，，同理可得点N的坐标为， ，于是
，由题设，，，
所以，故
（2）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.
答案：由抛物线的定义得，，
所以，从而圆M的半径，故圆M的方程为，
化简得
同理可得圆N的方程为.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，，则的方程为，因为，所以点M到直线l的距离
，故当时，取最小值，由题设，，解得，故所求抛物线E的方程为.
解析：分析： (1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,于是代入条件即可求解.
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2.3抛物线同步检测
1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( )
A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－2
答案：B
解析：解答：由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，则：＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4..故选B.
分析：根据抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上 ，可设抛物线的标准方程为：x2＝－2py；求解即可。
2.抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：抛物线的焦点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，故选D.
分析：本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.
3．抛物线y＝x2(m<0)的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：∵x2＝my(m<0)，∴2p＝－m，p＝－，
焦点坐标为，即，故选A.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程,,在求解时首先求得抛物线的标准方程,,然后求出焦点，进行求解即可.
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
答案：B
解析：解答：由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得＋5＝6，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x，故选B.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程,在求解时首先求得抛物线的标准方程的p求解即可
5.已知抛物线y2＝2px(p＞0)与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝，则p＝( )
A．3 B． C． D．
答案：B
解析：解答：∵抛物线y2＝2px与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，则A，B关于x轴对称．又∵|AB|＝，不妨设A在第一象限，则A的纵坐标为，代入圆x2＋y2＝4，得A的横坐标为1．再将x＝1，y＝代入y2＝2px(p＞0)中得p＝．故选B.
分析：本题考查的是抛物线的标准方程, 因为抛物线y2＝2px与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，则A，B关于x轴对称，假设A在第一象限，求解即可
6.设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
答案：C
解析：解答：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为，故选C.
分析：设出A、B点的坐标，利用抛物线的定义表示出，再利用，确立的方程.
7．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案：A
解析：解答：据题意设所求平行直线方程为3x－2y＋c＝0，又直线过抛物线y2＝2x的焦点(，0)，代入求得c＝－，故直线方程为6x－4y－3＝0.故选A.
分析：因为经过抛物线y2＝2x的焦点，可得(，0)，与直线3x－2y＋5＝0平行，
可得斜率，求解即可。
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
答案：C
解析：解答：因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
由题意知，3＋＝4，p＝2..故选C.
分析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，
可得3＋＝4，求解即可。
9.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解答：根据题意可得圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，又∵ 圆过点，
∴ 所求圆的方程为,故选D.
分析：因为正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，即可设圆的方程为：求解即可。
10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
答案：C
解析：解答：由题意知:F QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,准线方程为,则由抛物线的定义知,xM=,设以MF为直径的圆的圆心为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,所以圆的方程为又因为过点(0,2),所以yM=4,又因为点M在C上,所以16=2p QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.
分析：结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.
11．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
答案：C
解析：解答：由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，
∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，
且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，故∠A1FB＝90°.故选C.
分析：结合已知条件, 因为A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，|0F|∥|AA1|，|0F|∥|BB1|，抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，可得∠3＝∠4，∠1＝∠2，求解即可。
12．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
.故选B.
分析：结合已知条件, 设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，求解即可。
13. 已知抛物
，两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题意知直线的方程为，将其代入到得，
，设，，
则，①
又，②
③
因为,所以，
即.④
由①②③④得，..故选D
分析：先求出抛物线的焦点，列出过焦点的直线方程，与抛物线联立，化简成关于的一元二次方程，利用根与系数关系代入求解.
14．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
答案：B
解析：解答：如图，KAF＝－，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，
即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B.
分析：结合已知条件, 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，结合图像，求解即可。
15.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当时，．
分析：结合已知条件, 过定点作直线与抛物线（）相交于两点，设,联立，，利用韦达定理求解即可。
16.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p= ;准线方程为
答案：2|
解析：解答：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0），。故答案2，
分析：利用抛物线的标准方程求解。
17．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：(1)△FOP为正三角形．(2)△FOP为等腰直角三角形．
(3)△FOP为直角三角形．(4)△FOP为等腰三角形．
其中一定不正确的命题序号是________．
答案：①②
解析：解答：∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，
∴①错误．
若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．故答案①②
分析：利用抛物线的标准方程求解。
18.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
答案：±1
解析：解答：设直线l:y=k(x+1),由 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1·x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),
则,,因为|FQ|=2,F(1,0),
所以 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,所以k2=1,k=±1.
分析：由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.
19．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.如果直线过抛物线的焦点，求的值 ；
答案：-3
解析：解答：由题意：抛物线焦点为（1，0），设消去x得，则，
=
分析：抛物线焦点为（1，0），设消去x得求解即可。
20．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过 (通过或不通过)。
答案：通过
解析：解答：如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，B(2，y)，
由262＝－2px×(－6.5)，得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝－，∵6.5－>6，∴能通过．
分析：根据抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，设抛物线方程为x2＝－2py求解即可。
21．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
答案：由点A（2，8）在抛物线上，有，
解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）求线段BC中点M的坐标；
答案：如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则
，解得，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）求BC所在直线的方程.
答案：由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由消x得，
所以，由（2）的结论得，解得
因此BC所在直线的方程为：。
解析： 分析：（1）由点A在抛物线上，将A点坐标代入，求出参数P，求解即可（2）由于F（8，0）是△ABC的重心，则重心与焦点重合，由重心坐标公式可求M是BC的中点。（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：，解出k即可。
22.如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心, QUOTE \* MERGEFORMAT 为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求 QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 .
答案：抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.所以.
(2)若,求圆C的半径.
答案：设,则圆C的方程为,
即x2- QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+ QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 =0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则:
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 +1=4,解得y0=± QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ,此时Δ>0,
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2= QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4 ,|CO|=,即圆C的半径为
解析：分析：垂径定理求圆的弦长MN,第 (2)问,先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.
23．已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
答案：的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等，所以曲线C的方程为
（2）过点当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求的值.
答案：当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为，
代入 （*）与曲线C恒有两个不同的交点 设交点A，B的坐标分别为，
则
点O到直线m的距离，
，
（舍去）
当方程（*）的解为 若
若 当方程（☆）的解为
若
若 所以，
解析： 分析：（1）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线m的方程为y=kx+（2-2k），代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，知直线m与曲线C恒有两个不同的交点，再由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，利用、△AOB的面积为4，能求出λ的值．
24．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
答案：解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
答案：直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4
解析： 分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
25.过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.
（1）若，证明；；
答案：由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为.
由，得，设A,B两点坐标分别为，，
则是上述方程的两个实数根，从而，
，所以点M的坐标为，，同理可得点N的坐标为， ，于是
，由题设，，，
所以，故
（2）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.
答案：由抛物线的定义得，，
所以，从而圆M的半径，故圆M的方程为，
化简得
同理可得圆N的方程为.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，，则的方程为，因为，所以点M到直线l的距离
，故当时，取最小值，由题设，，解得，故所求抛物线E的方程为.
解析：分析： (1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,于是代入条件即可求解.
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