2025年中考数学压轴题专练：圆相关的证明题（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：圆相关的证明题
1．如图，在中，，，是的直径，交于点，于点，交于点，连接，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
2．四边形内接于，对角线，F为延长线上一点，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接并延长至点E，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，延长交于点T，求的长．
3．如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若半圆的半径为，，求的长．
4．如图所示，是的弦，C为过点B的切线上一点，且，点D，E，F分别在上，且，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
5．如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长．
6．如图，已知为的直径，，，直线相交于点B．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当时，求的半径．
7．如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作 交的延长线于点 E，连接交于点 F，已知，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长度；
(3)求的值．
8．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点 F．
(1)求证：；
(2)P 是弧上一点．
①，求半径r的长；
②当是的平分线时，求的长．
9．如图，在中，内接于，连接并延长，交于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
10．如图，为的切线，切点为，点在上，连接，，分别交于两点，且为的中点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求线段的长．
11．如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
12．如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
13．如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长．
14．如图，四边形内接于⊙，，、的延长线相交于点，且，点是上一点，连接，．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求线段的长．
15．如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
16．如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分．
(1)求证：；
(2)若，，当时，求的值．
17．如图①，中，．点D为边上一点，以为直径作，点A在O上，过点B作交的延长线于点E，交于点F．连接．
(1)求证：；
(2)如图②，当与相切时，四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
18．如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分．
(1)求证：为的切线．
(2)已知，，求的长．
19．如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．

(1)求证：；
(2)若，的长为π，求的长．
20．如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径和的长．
21．如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且
(1)求证：是的切线；
(2)若；
①求的长；
②求的长．
22．如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
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《2025年中考数学压轴题专练：圆相关的证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
（1）连接，，根据圆周角定理得，由，根据等腰三角形的直线得，所以为的中位线，则，然后利用得到，再根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由是的直径得，再根据等角的余角相等得，则，，然后利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）证明：连接，，
是直径，
，
，
垂直平分，即，
为的中位线，
，
，
，
为的切线；
（2）解：由（1）可知：四边形是矩形，，
四边形也是正方形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，在中，
，
，
．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知得；再由圆内接四边形的性质得，从而得结论成立；
（2）证明，得，再结合即可求证；
（3）过点C作于点H，于点G，证明，，则，；证明，则；设，则，从而可表示出，由面积可求得x的值，从而求得的值；过点A作，交延长线于点Q，可证明，得；设，则得；由勾股定理求得a的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∵，
∴；
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，设；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，，
∴；
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：过点C作于点H，于点G，如图；
∵，
∴，；
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
设，则，
∴；
∵，，
∴，
解得：（舍去），
∴，
由勾股定理得：；
过点A作，交延长线于点Q，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
设，则；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（舍去），
∴．
【点睛】本题是圆的综合，考查了圆内接四边形的性质，同弧对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，三角函数等知识，构造适当辅助线是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定、切线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质．
（1）连结，则，即可得，有，结合半径相等得，即可得结论；
（2）作于得，由平行得，即可判定，则，即可解得．
【详解】（1）解：证明：如图连接，
∵与相切于点，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）如图1，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
即长为．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，得到，根据切线的性质和判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在和中，
，
．
．
∵，
∴，
∴，
∴．
5．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明；
（2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴设，则，，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，
整理得，
∵，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．(1)详见解析
(2)的半径长为
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由圆周角定理可得，得到，进而得出，即可证明结论；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而证明，得出，再利用勾股定理求解即可；
（3）连接、交于点，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，得到，，从而求出，再证明是的中位线，得到，从而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
（3）解：如图，连接、交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线 的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
8．(1)见解析
(2)①5；②
【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；
（2）①连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质求出即可；
②过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接，

∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴的半径为；
②如图，过点B作交于点G，

∴，
∵的半径为，为的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质与圆周角定理证明，可得，进一步可得结论；
（2）由（1）知，，证明，可得，结合，再进一步求解即可.
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数的应用，熟练根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质得到，由直角三角形的性质得到，则，据此可证明，再证明得到，再由圆周角定理得到，则，即，据此可证明结论；
（2）过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则，解得到，，则，解得到，则，解得到，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵为的切线，切点为，
∴，即，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图所示，过点O作于G，过点A作于H，连接，设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵为的中点，
∴．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知切线的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）如图所示，连接，由切线的性质得到，则可证明，再由等边对等角和平行线的性质证明，即可证明平分；
（2）先证明，求出，进而得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图所示，连接，
∵是半圆的直径，切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
．
12．(1)见解析；
(2)．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，可证，根据切线的定义可知，从而可证；
设的半径为，则，，根据，可证，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的半径．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
；
（2）解：，
设，则，
，
设的半径为，
则，，
，
，
，
，
，即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系求出圆的半径．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可；
（2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
，
，
，
在中，
，
，
设，则，
，
，
解之得，或（舍去），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质．
14．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接、，证明为的中垂线，推出，．求出 ，即，即可证结论；
（2）由（1）知，推出．根据是的切线，证明四边形是矩形，在中，求出．再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图①，连接、，
四边形为圆内接四边形，，
，即．
，
为的中垂线，
，
．
，，
，
，
，即．
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图②，延长交于点，
由（1）知，
．
，
，即．
是的切线，
．
，
，
四边形是矩形，
，，，．
是的半径，，
，即，
在中，．
在中，，
．
，，
．
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及了切线的判定定理及圆中同弧所对的圆周角相等这一性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活的利用圆的性质是解题的关键．
15．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得，结合三角形内角和性质得，因为，得，进行作答即可．
（2）先整理得，再根据垂径定理以及圆周角定理得，则，证明，得，代入数值得，，最后在中，．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴在中，，
连接，取的中点，连接交于一点，如图所示：
∵点是的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∵
则
∴
在中，．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据圆内接四边形的性质得到，则可证明，然后证明，从而得到结论；
（2）先证明，则可判断，利用相似三角形的性质可计算，，进而证明，然后利用相似比，即可求解．
【详解】（1）（1）证明：，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）
由（1）得，，
，
，
，
又，，
，
，即，
∴，；
，，
，
．
17．(1)见解析
(2)菱形，见解析
【分析】（1）利用圆周角定理求得，利用等角的余角相等求得，再圆内接四边形的性质求得，即可证明；
（2）由，推出，得到，利用切线的性质结合圆周角定理求得，证明，证得四边形是平行四边形，由，推出是菱形．
【详解】（1）证明：∵BD为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是菱形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，得到由直径所对的圆周角是直角得到，继而得到，即可得到结论；
（2）先证明，得到，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
平分，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解： ，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理，弧长公式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，证明，得出，，再利用圆周角定理，得出，据此即可得证；
（2）根据弧长公式计算求得，在中，利用正切函数的定义，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接．

∵与相切于点D，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，的长为π，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
20．(1)见解析
(2)的半径为，
【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合题意推出，由平行线的性质可得，再由圆周角定理得出，即可得证；
（2）连接，由切线的性质可得，设，则，解直角三角形得出的半径为，，从而可得，，，，，，，，由（1）可得，由平行线的性质可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵与边相切于点D，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴的半径为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
21．(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）根据题意得到，继而得到，即可得到结论；
（2）①连接，得到设，则，得到，利用勾股定理求出，得到；
②设的半径为，求出，得到，，求出，得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①如图，连接，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则
，，
，
，
，
在中，
，
负值舍去 ，
；
②由①知，
设的半径为，
，
，
在中，
，
，
，
由（1）知是的切线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接．证明即可证明是的切线；
（2）根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明；
（3）根据解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
．
，．
，
，
，即，
，
又点在上，
是的切线．
（2）证明：，
，
．
由（1）知，，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知，，
．
在中，，的半径为2，即，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．