人教新课标A版选修1-1数学3.3导数在研究函数中的应用同步检测

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3.3导数在研究函数中的应用同步检测
一、选择题
1. ．曲线在点处的切线方程是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：解答：求导，则曲线在点处的切线的斜率,由点斜式可得，即切线方程为.
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义分析计算即可.
2. 已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：的定义域为，求导得，因为有两个极值点，所以是方程的两根，又，且，所以又，所以，令，，所以在上为增函数，所以，所以
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，解决问题的关键是根据函数的单调性结合函数极值计算即可.
3. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：解答：由题意可知不等式为，
设所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据函数单调性分析计算即可.
4. 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，
，且则不等式的解集为（ ）
A．（－∞，－3）∪（3，+∞）
B．（－3，0）∪（0，3）
C．（－3，0）∪（3，+∞）
D．（－∞，－3）∪（0，3）
答案：C
解析：解答：由题意是奇函数，当时，时，
，则在上为减函数，在上也为减函数，又有，则有，可知的解集为.
分析：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据单调性与导数关系分析计算即可.
5. 可导函数在某点取得极值是函数在这点的导数值为的
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：解答：可导函数 EMBED Equation.DSMT4 在点取得极值，；可导函数在点的导数为时，函数未必能取得极值。如函数当时导数为
，但函数在这一点的左右两端导数值均大于零，所以在此上处并未取得极值.所以
可导函数在点取得极值是导函数在点的导数为的充分不必要条件，
正确答案为A
分析：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解决问题的关键是根据函数在某点取得极值的的性质进行分析计算即可.
6. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,2）
B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）
C．（－3,6）
D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
答案：B
解析：解答：,有极大值和极小值在R上有两个不同的实根或
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解决问题的关键是根据函数极值的性质分析计算即可.
7. 已知函数的导函数为，且满足，则( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：由得：，即函数单调减，，，
，选B．
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导数的性质计算即可.
8. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：解答：令，，所以在上单调递增，，，即，故选A.
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导数的性质分析函数单调性求解即可.
9. 数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. C.
答案：D
解析：解答：切点即为.,由导数的几何意义可知在点处切线的斜率为4,所以所求切线方程为,即.故D正确.
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义进行计算即可.
10. 等差数列中的，是函数的极值点，则( )
A．3 B．2 C．4 D．5
答案：B
解析：解答：由于，是函数的极值点，
的两个根是，由根与系数的关系得，由等差数列的性质，得，
，故答案为B.
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解决问题的关键是根据函数极值的性质分析即可.
11. 函数的图象在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：解答：求导，得，由导数的几何意义，切线的斜率，所以切线方程是，即，故答案为D.
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数运算得到切线的斜率，然后计算即可.
12. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率是( )
A．4 B． C．2 D．
答案：A
解析：解答：由导数的几何意义，得，求导函数得，，故答案为A.
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义分析计算即可.
13. 函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是
A． B．（0,3） C．（0，＋∞） D．（－∞，3）
答案：A
解析：解答：，得，或；由，得，因此当取极小值，，，故答案为A.
分析：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解决问题的关键是根据导数及函数极值的有关性质计算即可.
14. 直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（ ）
A.2 B.-1 C.1 D.-2
答案：C
解析：解答：，；由题意得，解得，则
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义计算即可.
15. 已知定义在上的函数，其导函数的图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
解析：解答：由导数的图像可知，在（上导函数，所以函数在（上是增函数，又因为，所以，故选C．
分析：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决问题的关键是根据函数图像结合导数的意义分析即可.
二、填空题
16. 已知函数存在极值，则实数m的取值范围为__________．
答案：或
解析：解答：∵函数既存在极大值，又存在极小值，它有两个不相等的实根，∴解得或，故答案为：或．
分析：本题主要考查了数在某点取得极值的条件，解决问题的关键是根据函数极值存在的条件分析计算即可.
17. 若函数：，则函数在的切线方程为 ．
答案：
解析：解答：当时，，∴，时，，∴切线方程为．
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的结合意义计算即可.
18. 函数在区间上的最小值是
答案：-16
解析：解答：由函数得，，解得，，，，，故函数在区间上的最小值是．
分析：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，解决问题的关键是利用函数在区间上的单调性求解即可.
19. 若函数的导函数，则的单调递减区间是 .
答案：
解析：解答：由得，即得的单调递减区间是，所以由得的单调递减区间.
分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导函数的性质计算即可.
20. 过曲线上点处的切线平行于直线，那么点的坐标为
答案：
解析：解答：设点的坐标，求导得由导数的几何意义
，解得，所以，故点坐标为．
分析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是导数的几何意义分析计算即可.
三、解答题
21. 已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
答案：解：当时，
.
令，得，.
当时，，在是增函数；
当时，，在是减函数；
当时，，在是增函数；
（2）若时，，求的取值范围.
答案：解：由得.
当，时，
，
所以在是增函数，于是当时，.
综上，a的取值范围是.
解析：分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是（1）直接利用求导的方法，通过导函数大于0和小于0求解函数单调区间；（2）解题关键是利用求导的方法和不等式的放缩进行证明.
22. 已知函数．若，求的值；当时，求的单调区间．
答案：解：因为，， ，
所以，
,所以有：，解得
当时， ,
当时，，
当时，
当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为
解析：分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是利用导数研究函数的单调性，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”
23. 设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）。
（1）求a，b的值；
答案：解：由题意： 即 解得
（2）讨论函数f(x)的单调性.
答案：解：
当或时，，的单调递增区间为
当时，，的单调递减区间为
解析：分析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间,属基础题
24. 已知,函数,若.
(1)求的值并求曲线在点处的切线方程；
答案：解：,由得,所以;
当时,,,又,
所以曲线在处的切线方程为,即;
(2)设,求在上的最大值与最小值.
答案：解：由(1)得,
又,,,
∴在上有最大值1,有最小值.
解析：分析：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题
25. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
答案：解：时，，，切点坐标为，
切线方程为
（2）当时，判断方程实根个数.
答案：解：时，令，
，在上为增函数
又，
在内有且仅有一个零点
在内有且仅有一个实数根
（或说明也可以）
（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：解：恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，
令，只需小于的最小值，
，
， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是
值、最小值问题中的应用
解析： 分析：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用，解决问题的关键是是能将不等式的恒成立问题转化为函数的最值来处理，并得到参数的范围，同时要理解导数的几何意义表示的为切线的斜率.
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