2025年人教版八下数学下册第十八章 平行四边形 真题练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025年人教版八下数学下册第十八章 平行四边形 真题练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 605.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 11:22:34 | ||
图片预览
文档简介
2025年人教版八下数学下册第十八章
《平行四边形》真题练习
一、选择题
1．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
3．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
4．（2025八下·萧山期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1)，则点B的坐标是（ ）
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
5．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
7．（2025八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
8．（2025八下·余姚期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
9．（2025八下·南山期中）边长为2的等边三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
10．（2025八下·宁波期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．（2025八下·新昌期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2025八下·诸暨期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为 .
14．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是 .
15．（2025八下·余姚期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是 ．
16．（2025八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为 ．
17．（2025八下·宁波期中）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 用的代数式表示．
18．（2025八下·宁波期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 .
19．（2025八下·诸暨期中） 计算： 。
20．（2025八下·诸暨期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 （填“甲”或“乙”）.
三、计算题
四、证明题
22．（2025八下·惠阳期中）已知△ABC中，BC=m n(m>n>0)，AC=2，AB=m+n．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
当∠A=30°时，求m，n满足的关系式．
22．（2025八下·惠阳期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
23．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点，，点分别为的中点，连结．
求证：．
求证：四边形BEFG为平行四边形．
五、作图题
24．（2025八下·萧山期中）如图，在5x5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的.
在图1中画一个面积为6的.
在图2中画一个有一条对角线长等于的.
25．（2025八下·瑞安期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形.
（1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上），
（2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使平行四边形ABCD关于点O成中心对称。
26．（2025八下·广安期中）根据要求作图．
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且，连接EF．求作线段EF中点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）．
（2）如图2，平行四边形ABCD，点在边AB上，请你在边CD上找一点，使得四边形AECF为平行四边形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形AECF为平行四边形）
六、综合题
27．（2025八下·广州期中）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？
28．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，AB=10+10，P为线段CD上一点，连结AP，将△ADP沿着线段AP折叠，点D落在D'处，作D'E//CD交AP于点E.
证明：四边形D'EDP为菱形.
如图1，若D'恰好落在平行四边形ABCD的对角线交点处，求此时DP的长度.
（3）如图2，连结AC，∠ADC=45°，∠DAC=105°，在AB上取一点M（AM答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC∴∠ADB=∠CBD∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC∴ED=FB
又∵BG=DH∴△EDH≌△FBG（SAS）∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG∴EH=GF，∠DHE=∠BGF∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°∴∠EHG=∠FGH∴EH∥GF又∵EH=GF∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；∵G是BD上的动点∴EG的长度在变化∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
3．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】 利用平行四边形关于其对角线交点中心对称的性质 ，对角线上的B，D两点关于O点成中心对称.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
7．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】AB=2，∵等边三角形高线即中点，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD==，
∴等边△ABC的面积为BC AD=×2×=，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
10．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
11．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
故答案为：B．
【分析】将代入二次根式，计算求解即可．
12．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
13．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
15．【答案】平方单位
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
由作图可得：平分，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AC与EF交于点O，由作图可得：AF平分∠CAD，EF垂直平分AC，从而得出，∠AOF=90°，由矩形的性质即可求解．
18．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】要使二次根式有意义，即是被开方数大于等于0，据此解答即可.
19．【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
20．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
21．【答案】解：（1）∵BC=m-n（m＞n＞0），AC=2，AB=m+n，
∴AC2+CB2=（m-n）2+4mn=m2+n2-2mn+4mn=m2+n2+2mn=（m+n）2=AB2．
∴∠C=90°．
∴△ABC是为直角三角形；
（2）∵∠A=30°，
∴，
∴m=3n．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
22．【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）中，
是AO中点
（2）点E、F是AO、OD的中点，
且
中，
且
点G是BC的中点，
且
成立
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
24．【答案】（1）解：不唯一
（2）解：一个
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）结合平行四边形的性质按要求画图即可；
（2）结合勾股定理、平行四边形的性质按要求画图即可.
25．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图，平行四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，在网格中找一直角边分别为1和4的直角三角形，则斜边长为，据此确定点C，然后根据平行四边形的性质找出点D，按顺序连接顶点即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接AO并延长至点C，使CO=AO，连接BO并延长至点D，使DO=BO，再按顺序连接顶点即可.
26．【答案】（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：如图，在CD上截取DF=BE，然后连接CE和AF，则四边形AECF是平行四边形；
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=DF，
∴AE=CF，
∴AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1) 作线段EF的垂直平分线交EF于点O，则点O即为所作；；
(2) 在CD上截取DF=BE，然后连接CE和AF，则四边形AECF是平行四边形；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
27．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
28．【答案】（1）证明：∵将沿线段AP折叠得到，
∴∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，
∵D'E∥CD，
∴∠D'EP=∠DPE，
∴∠D'EP=∠DPE=∠DEP=∠D'PE，
∴DE=DP，D'E=D'P，
∴DE=DE'=D'P=DP，
∴四边形D'EDP为菱形；
（2）解：∵D'为AC中点，D'E∥CD，
∴D'E为中位线，
∴，即CP=2D'E，
由（1）得四边形D'EDP为菱形，
∴D'E=DP，
∴CD=DP+CP=3DP，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AB∥CD，，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵折叠的性质，
∴∠DAP=∠D'AP，
①如图，当点N在AP上时，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP，
∵∠BAD=∠D'AN+∠D'AM+∠DAP=135°，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，
∵∠ADC=45°，∠DAC=105°，
∴∠APC=∠ADC+∠DAP=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=180°-∠ADC-∠DAC=30°，
∴PA=PD，
设PA=PD=x，
∴AC=2PA=2x，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴DP=10，AC=20；
②如图，当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，
∴∠PFA=∠PFC=90°，
∵AB∥CD，∠ACP=30°，
∴∠BAC=∠ACP=30°，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=15°，
∵∠DAC=105°，
∴∠DAD'=∠DAC+∠D'AN=120°，
∴∠DAP=∠D'AP=60°，
∴∠PAF=∠D'AP-∠D'AN=45°，
∵∠PFA=90°，
∴∠APF=∠PAF=45°，
∴AF=PF，设AF=PF=y，
∵AC=20，
∴CF=AC-AF=20-y，
∵∠PFC=90°，∠ACP=30°，
∴PC=2PF=2y，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴；
综上所述，DP的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，然后根据平行线的性质得∠D'EP=∠D'PE，于是进行等量代换得∠D'EP=∠D'PE=∠DEP=∠DPE，从而根据等腰三角形的判定证出DE=DP，D'E=D'P，进而进行等量代换得DE=DE'=D'P=DP，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）根据中位线定理得CP=2D'E，然后根据菱形的性质得D'E=DP，从而得CD=3DP，进而根据平行四边形的性质得AB=CD=3DP，据此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质得，∠BAD=135°，∠DAP=∠D'AP，然后分情况讨论：①当点N在AP上时，根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，然后求出∠APC=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=30°，从而根据等腰三角形的判定得设PA=PD=x，进而利用勾股定理得，于是可得，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得DP=10，AC=20；
②当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，得∠PFA=∠PFC=90°，根据平行线的性质得∠BAC=∠ACP=30°，然后根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=15°，从而求出∠DAD'=120°，∠DAP=∠D'AP=60°，进而得∠PAF=∠APF=45°，于是根据等腰三角形的判定得设AF=PF=y，得CF=20-y，接下来根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得PC=2y，，即可列出关于y的方程，解方程求出y的值可得PC的值，于是得DP的值，最后综合以上两种情况得到答案.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：57分
分值分布 客观题（占比） 30.0(52.6%)
主观题（占比） 27.0(47.4%)
题量分布 客观题（占比） 15(46.9%)
主观题（占比） 17(53.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 12(37.5%) 24.0(42.1%)
填空题 8(25.0%) 18.0(31.6%)
证明题 3(9.4%) 10.0(17.5%)
作图题 3(9.4%) 0.0(0.0%)
计算题 4(12.5%) 0.0(0.0%)
综合题 2(6.3%) 5.0(8.8%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (40.6%)
2 容易 (46.9%)
3 困难 (12.5%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 平均数及其计算 2.0(3.5%) 13
2 平方差公式及应用 0.0(0.0%) 21
3 含30°角的直角三角形 5.0(8.8%) 25
4 轴对称的性质 0.0(0.0%) 32
5 菱形的性质 2.0(3.5%) 16
6 三角形的中位线定理 0.0(0.0%) 27,32
7 菱形的判定与性质 0.0(0.0%) 32
8 坐标与图形性质 2.0(3.5%) 4
9 矩形的性质 7.0(12.3%) 17,26
10 二次根式有意义的条件 4.0(7.0%) 14,18
11 垂线段最短及其应用 2.0(3.5%) 1
12 完全平方公式及运用 0.0(0.0%) 21,23
13 方差 8.0(14.0%) 3,10,13,20
14 最简二次根式 2.0(3.5%) 5
15 平行四边形的性质 6.0(10.5%) 1,4,7
16 翻折变换（折叠问题） 0.0(0.0%) 32
17 中位数 4.0(7.0%) 6,12
18 等边三角形的判定与性质 2.0(3.5%) 7
19 等边三角形的性质 4.0(7.0%) 9,15
20 四边形的综合 0.0(0.0%) 32
21 二次根式的性质与化简 4.0(7.0%) 19
22 负整数指数幂 0.0(0.0%) 24
23 平行线的性质 2.0(3.5%) 17
24 勾股定理 6.0(10.5%) 7,9,15,28,29
25 二次根式的混合运算 2.0(3.5%) 7,21,23
26 平行四边形的判定 7.0(12.3%) 8,26,29
27 二次根式的化简求值 2.0(3.5%) 11
28 众数 4.0(7.0%) 6,12
29 三角形的面积 2.0(3.5%) 9
30 作图﹣中心对称 0.0(0.0%) 29
31 直角三角形斜边上的中线 2.0(3.5%) 16
32 平行四边形的判定与性质 2.0(3.5%) 2,27,28,30
33 尺规作图-垂直平分线 0.0(0.0%) 30
34 勾股定理的应用 5.0(8.8%) 31
35 中点四边形模型 0.0(0.0%) 27
36 二次根式的乘除法 0.0(0.0%) 22
37 零指数幂 0.0(0.0%) 24
38 二次根式的加减法 0.0(0.0%) 22,24
39 勾股定理的逆定理 5.0(8.8%) 25
1 / 1
《平行四边形》真题练习
一、选择题
1．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
3．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
4．（2025八下·萧山期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1)，则点B的坐标是（ ）
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
5．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
7．（2025八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
8．（2025八下·余姚期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
9．（2025八下·南山期中）边长为2的等边三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
10．（2025八下·宁波期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．（2025八下·新昌期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2025八下·诸暨期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为 .
14．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是 .
15．（2025八下·余姚期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是 ．
16．（2025八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为 ．
17．（2025八下·宁波期中）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 用的代数式表示．
18．（2025八下·宁波期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 .
19．（2025八下·诸暨期中） 计算： 。
20．（2025八下·诸暨期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 （填“甲”或“乙”）.
三、计算题
四、证明题
22．（2025八下·惠阳期中）已知△ABC中，BC=m n(m>n>0)，AC=2，AB=m+n．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
当∠A=30°时，求m，n满足的关系式．
22．（2025八下·惠阳期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
23．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点，，点分别为的中点，连结．
求证：．
求证：四边形BEFG为平行四边形．
五、作图题
24．（2025八下·萧山期中）如图，在5x5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的.
在图1中画一个面积为6的.
在图2中画一个有一条对角线长等于的.
25．（2025八下·瑞安期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形.
（1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上），
（2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使平行四边形ABCD关于点O成中心对称。
26．（2025八下·广安期中）根据要求作图．
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且，连接EF．求作线段EF中点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）．
（2）如图2，平行四边形ABCD，点在边AB上，请你在边CD上找一点，使得四边形AECF为平行四边形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形AECF为平行四边形）
六、综合题
27．（2025八下·广州期中）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？
28．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，AB=10+10，P为线段CD上一点，连结AP，将△ADP沿着线段AP折叠，点D落在D'处，作D'E//CD交AP于点E.
证明：四边形D'EDP为菱形.
如图1，若D'恰好落在平行四边形ABCD的对角线交点处，求此时DP的长度.
（3）如图2，连结AC，∠ADC=45°，∠DAC=105°，在AB上取一点M（AM
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC∴∠ADB=∠CBD∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC∴ED=FB
又∵BG=DH∴△EDH≌△FBG（SAS）∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG∴EH=GF，∠DHE=∠BGF∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°∴∠EHG=∠FGH∴EH∥GF又∵EH=GF∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；∵G是BD上的动点∴EG的长度在变化∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
3．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1）
故答案为：A.
【分析】 利用平行四边形关于其对角线交点中心对称的性质 ，对角线上的B，D两点关于O点成中心对称.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
7．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】AB=2，∵等边三角形高线即中点，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD==，
∴等边△ABC的面积为BC AD=×2×=，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
10．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
11．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
故答案为：B．
【分析】将代入二次根式，计算求解即可．
12．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
13．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
15．【答案】平方单位
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
由作图可得：平分，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AC与EF交于点O，由作图可得：AF平分∠CAD，EF垂直平分AC，从而得出，∠AOF=90°，由矩形的性质即可求解．
18．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】要使二次根式有意义，即是被开方数大于等于0，据此解答即可.
19．【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
20．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
21．【答案】解：（1）∵BC=m-n（m＞n＞0），AC=2，AB=m+n，
∴AC2+CB2=（m-n）2+4mn=m2+n2-2mn+4mn=m2+n2+2mn=（m+n）2=AB2．
∴∠C=90°．
∴△ABC是为直角三角形；
（2）∵∠A=30°，
∴，
∴m=3n．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
22．【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）中，
是AO中点
（2）点E、F是AO、OD的中点，
且
中，
且
点G是BC的中点，
且
成立
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
24．【答案】（1）解：不唯一
（2）解：一个
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）结合平行四边形的性质按要求画图即可；
（2）结合勾股定理、平行四边形的性质按要求画图即可.
25．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图，平行四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，在网格中找一直角边分别为1和4的直角三角形，则斜边长为，据此确定点C，然后根据平行四边形的性质找出点D，按顺序连接顶点即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接AO并延长至点C，使CO=AO，连接BO并延长至点D，使DO=BO，再按顺序连接顶点即可.
26．【答案】（1）解：如图点O即为所求，
（2）解：如图，在CD上截取DF=BE，然后连接CE和AF，则四边形AECF是平行四边形；
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=DF，
∴AE=CF，
∴AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1) 作线段EF的垂直平分线交EF于点O，则点O即为所作；；
(2) 在CD上截取DF=BE，然后连接CE和AF，则四边形AECF是平行四边形；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
27．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
28．【答案】（1）证明：∵将沿线段AP折叠得到，
∴∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，
∵D'E∥CD，
∴∠D'EP=∠DPE，
∴∠D'EP=∠DPE=∠DEP=∠D'PE，
∴DE=DP，D'E=D'P，
∴DE=DE'=D'P=DP，
∴四边形D'EDP为菱形；
（2）解：∵D'为AC中点，D'E∥CD，
∴D'E为中位线，
∴，即CP=2D'E，
由（1）得四边形D'EDP为菱形，
∴D'E=DP，
∴CD=DP+CP=3DP，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AB∥CD，，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵折叠的性质，
∴∠DAP=∠D'AP，
①如图，当点N在AP上时，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP，
∵∠BAD=∠D'AN+∠D'AM+∠DAP=135°，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，
∵∠ADC=45°，∠DAC=105°，
∴∠APC=∠ADC+∠DAP=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=180°-∠ADC-∠DAC=30°，
∴PA=PD，
设PA=PD=x，
∴AC=2PA=2x，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴DP=10，AC=20；
②如图，当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，
∴∠PFA=∠PFC=90°，
∵AB∥CD，∠ACP=30°，
∴∠BAC=∠ACP=30°，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=15°，
∵∠DAC=105°，
∴∠DAD'=∠DAC+∠D'AN=120°，
∴∠DAP=∠D'AP=60°，
∴∠PAF=∠D'AP-∠D'AN=45°，
∵∠PFA=90°，
∴∠APF=∠PAF=45°，
∴AF=PF，设AF=PF=y，
∵AC=20，
∴CF=AC-AF=20-y，
∵∠PFC=90°，∠ACP=30°，
∴PC=2PF=2y，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴；
综上所述，DP的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，然后根据平行线的性质得∠D'EP=∠D'PE，于是进行等量代换得∠D'EP=∠D'PE=∠DEP=∠DPE，从而根据等腰三角形的判定证出DE=DP，D'E=D'P，进而进行等量代换得DE=DE'=D'P=DP，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）根据中位线定理得CP=2D'E，然后根据菱形的性质得D'E=DP，从而得CD=3DP，进而根据平行四边形的性质得AB=CD=3DP，据此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质得，∠BAD=135°，∠DAP=∠D'AP，然后分情况讨论：①当点N在AP上时，根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，然后求出∠APC=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=30°，从而根据等腰三角形的判定得设PA=PD=x，进而利用勾股定理得，于是可得，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得DP=10，AC=20；
②当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，得∠PFA=∠PFC=90°，根据平行线的性质得∠BAC=∠ACP=30°，然后根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=15°，从而求出∠DAD'=120°，∠DAP=∠D'AP=60°，进而得∠PAF=∠APF=45°，于是根据等腰三角形的判定得设AF=PF=y，得CF=20-y，接下来根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得PC=2y，，即可列出关于y的方程，解方程求出y的值可得PC的值，于是得DP的值，最后综合以上两种情况得到答案.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：57分
分值分布 客观题（占比） 30.0(52.6%)
主观题（占比） 27.0(47.4%)
题量分布 客观题（占比） 15(46.9%)
主观题（占比） 17(53.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 12(37.5%) 24.0(42.1%)
填空题 8(25.0%) 18.0(31.6%)
证明题 3(9.4%) 10.0(17.5%)
作图题 3(9.4%) 0.0(0.0%)
计算题 4(12.5%) 0.0(0.0%)
综合题 2(6.3%) 5.0(8.8%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (40.6%)
2 容易 (46.9%)
3 困难 (12.5%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 平均数及其计算 2.0(3.5%) 13
2 平方差公式及应用 0.0(0.0%) 21
3 含30°角的直角三角形 5.0(8.8%) 25
4 轴对称的性质 0.0(0.0%) 32
5 菱形的性质 2.0(3.5%) 16
6 三角形的中位线定理 0.0(0.0%) 27,32
7 菱形的判定与性质 0.0(0.0%) 32
8 坐标与图形性质 2.0(3.5%) 4
9 矩形的性质 7.0(12.3%) 17,26
10 二次根式有意义的条件 4.0(7.0%) 14,18
11 垂线段最短及其应用 2.0(3.5%) 1
12 完全平方公式及运用 0.0(0.0%) 21,23
13 方差 8.0(14.0%) 3,10,13,20
14 最简二次根式 2.0(3.5%) 5
15 平行四边形的性质 6.0(10.5%) 1,4,7
16 翻折变换（折叠问题） 0.0(0.0%) 32
17 中位数 4.0(7.0%) 6,12
18 等边三角形的判定与性质 2.0(3.5%) 7
19 等边三角形的性质 4.0(7.0%) 9,15
20 四边形的综合 0.0(0.0%) 32
21 二次根式的性质与化简 4.0(7.0%) 19
22 负整数指数幂 0.0(0.0%) 24
23 平行线的性质 2.0(3.5%) 17
24 勾股定理 6.0(10.5%) 7,9,15,28,29
25 二次根式的混合运算 2.0(3.5%) 7,21,23
26 平行四边形的判定 7.0(12.3%) 8,26,29
27 二次根式的化简求值 2.0(3.5%) 11
28 众数 4.0(7.0%) 6,12
29 三角形的面积 2.0(3.5%) 9
30 作图﹣中心对称 0.0(0.0%) 29
31 直角三角形斜边上的中线 2.0(3.5%) 16
32 平行四边形的判定与性质 2.0(3.5%) 2,27,28,30
33 尺规作图-垂直平分线 0.0(0.0%) 30
34 勾股定理的应用 5.0(8.8%) 31
35 中点四边形模型 0.0(0.0%) 27
36 二次根式的乘除法 0.0(0.0%) 22
37 零指数幂 0.0(0.0%) 24
38 二次根式的加减法 0.0(0.0%) 22,24
39 勾股定理的逆定理 5.0(8.8%) 25
1 / 1