2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中线段的计算与证明综合训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中线段的计算与证明综合训练
1．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．
2．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
3．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：MD=NB．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
8．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：∠CBP=∠ADB．
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．
9．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．
10．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
12．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
14．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．
15．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．
参考答案
1.【解答】证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE=AM．
∵∠EAD=∠MAD，
∴=，
∴CD=BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
2．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
（2）解：OC交BF于H，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
易得四边形CDFH为矩形，
∴FH=CD=4，∠CHF=90°，
∴OH⊥BF，
∴BH=FH=4，
∴BF=8，
在Rt△ABF中，AB===2，
∴⊙O的半径为．
3．【解答】解：（1）连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵，∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
4．【解答】解：（1）连接OC，OD，
∴OC=OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP=∠OCP=90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP=∠COP，
∵OD=OC，
∴OP⊥CD；
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA=OD=OC=OB=2，
∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，
∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，
∴∠COD=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，
在Rt△ODP中，OP==．
5．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
6．【解答】证明：（1）连接ON，如图，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠B，
∵OC=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴ON∥DB，
∵NE为切线，
∴ON⊥NE，
∴NE⊥AB；
（2）连接DN，如图，
∵CD为直径，
∴∠CMD=∠CND=90°，
而∠MCB=90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∴DM=CN，
∵DN⊥BC，∠1=∠B，
∴CN=BN，
∴MD=NB．
7．【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
8．【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴=，即=，
∴BP=7．
9．【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，
由圆周角定理得，∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC=OC=3，==π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
10．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC===5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2=CD CE，
∴CD==，
∴OC==，
∴⊙O的半径=．
11．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴．
12.【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
13.【解答】（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，
解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
14.【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵=，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA=BA=×6=3．
∴BD=DA=3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，
∴cos30°==．
∴BP=4．
∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．
15.【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ADB，
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵AC=AC，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD=AE；
（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，
则BD=（6﹣y），
∵△AEC和△ADB为直角三角形，
∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，
AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，
解得：x=，y=，
即AE的长为．
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