2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练
1．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCD；
（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．
2．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．
3．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF AB=12，求AC的长．
4．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA=6，求PB的长．
5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．
（1）求证：EF=BF；
（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
8．如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1，求CD的长度．
9．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．
10．如图，AB是⊙O的直径，=，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
11．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．
（1）求∠P的度数；
（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE DC=20，求⊙O的面积．（π取3.14）
12．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
13．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
24．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
15．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE CP；
（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．
16．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求的值．
参考答案
1.【解答】（1）证明：∵AD为圆O的切线，
∴∠AMD=90°，
∵∠BMC=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠ABM=∠MCD=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
则△ABM∽△MCD；
（2）解：连接OM，
∵BC为圆O的切线，
∴OM⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴sin∠E==，即=，
∵AD=8，AB=5，
∴=，即OE=16，
根据勾股定理得：ME===4．
2．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵=，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA=BA=×6=3．
∴BD=DA=3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，
∴cos30°==．
∴BP=4．
∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．
3．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°；
∴∠CAD+∠D=90°
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠D=90°，
∴∠D=∠ACF，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=∠CAF，
∴△ABC∽△ACF，
∴，
∴AC2=AF AB
∵AF AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2．
4．【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD是直径，
∴∠DEP=90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP=∠FBP，
∴DE∥BF，
∵=，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线．
（2）解：作OH⊥PA于H．
∵OA=OP，OH⊥PA，
∴AH=PH=3，
∵OA∥PB，
∴∠OAH=∠APB，
∵∠AHO=∠ABP=90°，
∴△AOH∽△PAB，
∴=，
∴=，
∴PB=．
5．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ADB，
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵AC=AC，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD=AE；
（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，
则BD=（6﹣y），
∵△AEC和△ADB为直角三角形，
∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，
AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，
解得：x=，y=，
即AE的长为．
6．【解答】（1）证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，∠OCD=90°，
∴∠OFE=∠OCD=90°，
∵OB=OE，
∴EF=BF；
（2）∵∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠OCD=∠CFE=90°，
∴四边形EFCD是矩形，
∴EF=CD，DE=CF，
∵DC=4，DE=2，
∴EF=4，CF=2，
设⊙O的为r，
∵∠OFB=90°，
∴OB2=OF2+BF2，
即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，
∴AB=2r=10，
即直径AB的长是10．
7．【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF=AC，
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=4，
在Rt△BCD中，BD==4
同理：△CFD∽△BCD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AC=2AF=．
8．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB是⊙M的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点G作GH⊥BC于H
∵MB=BE=1
∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法
AB BE=BG AE
∴BG=
由勾股定理：
AG=，GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理：②
①+②，得
∴
∴CD=
9．【解答】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA=PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，
由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，
解得PB=6，
∴PA=PB=6，
∵OP⊥AB，
∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF=PA=3，
∴△DFE∽△QEA，
∴==，
设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，
∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，
∴==．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，=，
∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
∵，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=OC=2，
由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF===2，
∴S△ABF=，
4×2=2 BD，
∴BD=．
11．【解答】解：（1）连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠1，
∵AC=CP，
∴∠P=∠CAO，
又∵∠2是△AOC的一个外角，
∴∠2=2∠CAO=2∠P，
∴2∠P+∠P=90°，
∴∠P=30°；
（2）连接AD，
∵D为的中点，
∴∠ACD=∠DAE，
∴△ACD∽△EAD，
∴=，即AD2=DC DE，
∵DC DE=20，
∴AD=2，
∵=，
∴AD=BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴Rt△ADB为等腰直角三角形，
∴AB=2，
∴OA=AB=，
∴S⊙O=π OA2=10π=31.4．
12．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AG是∠HAF的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，
∵D在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，
连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
即，
∴a=，
由（1）知：OD∥AC，
∴=，即，
∵a=，解得BD=r．
13.【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴=．
∵BD=AD，
∴=，
∴=，
又∵AC=3，
∴CD=2．
14.【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM=AB=×4=2，
∴S△ABM=AB OM=×4×2=4；
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，
∴△PAN∽△PMB．
15．【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．
（2）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴=，
∴BC2=CE CP；
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，
∴∠MCB=∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB=∠BMP=90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴=，
∴BM2=CM PM=3a2，
∴BM=a，
∴tan∠BCM==，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°
∴的长==π．
16．【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD．
∵=，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3，
∴OD=3，MC=6，
∵==，
∴DP=6，
∵O是MC的中点，
∴==，
∴点P是BC的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，
∴BM=6，
∵△BCM∽△CDM，
∴=，即=，
∴MD=2，
∴==．
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