2025年九年级数学三轮冲刺训练圆中切线的判定和性质综合练习（含解析）

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2025年九年级数学三轮冲刺训练圆中切线的判定和性质综合练习
1．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，且AB＝BD，DB的延长线交⊙O于点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）CF与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若BF+CF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长度．
2．如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
4．如图，CD是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，点A在CD的延长线上，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，且CB平分∠ACE．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
5．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB＝∠BDF；
（3）已知圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长．
7．如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，AB＝10，求DF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝l，BC＝4，求直径AB的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．
12．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB＝6，DB＝8，求⊙O的半径．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．
（1）求证：BF与⊙O相切．
（2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．
14．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．
参考答案
1．【解答】解：（1）CF与⊙O相切．连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
又∵OA＝OB，
∴OC是△ABD的中位线．
∴OC∥BD，
∴∠OCF＝∠CFD＝90°，
即CF⊥OC．
∴CF与⊙O相切；
（2）过点O作OH⊥BE于点H，则∠OCF＝∠CFH＝∠OHB＝90°，
∴四边形OCFH是矩形，
∴OC＝FH，OH＝CF，
设BH＝x，
∵OC＝5，BF+CF＝6，
∴BF＝5﹣x，OH＝CF＝6﹣（5﹣x）＝x+1，
在Rt△BOH中，由勾股定理知：
BH2+OH2＝OB2，即x2+（x+1）2＝52，
解得x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴BH＝3，
∵OH⊥BE，
∴BH＝EH＝BE，
∴BE＝2BH＝2×3＝6．
2．【解答】（1）证明：连接OD，作OG⊥AB于G，如图1所示：
则∠OGB＝90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，
∵O为BC的中点，
∴OB＝OC，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ODC＝90°＝∠OGB，
在△OBG和△OCD中，，
∴△OBG≌△OCD（AAS），
∴OG＝OD，∴AB与⊙O相切；
（2）解：连接OA、OM，作OH⊥FM于H，如图2所示：
则∠OHB＝90°，FH＝MH，
∵CE＝AC，AC＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠OGB＝90°，
∴四边形OHBG是矩形，
∴OH＝BG，
∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，
∴OB＝BC＝AB＝2，
∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°，
∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，
在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1，
∴MH＝＝，
∴FM＝2MH＝2．
3．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．
∴AH＝AF＝8，
设AE＝x．
∵DE+AE＝8，
∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，
解得：x＝2，
∴OA＝8+2＝10．
∴⊙O的半径为10．
4．【解答】解：（1）连接OB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB平分∠ACE，
∴∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC＝∠BCE，
∴OB∥CE，
∵CE⊥AB，
∴OB⊥AE，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）连接DB，
∵∠E＝90°，BE＝3，CE＝4，
∴BC＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠E，
∵∠DCB＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴，
∴＝，
∴CD＝，
∴⊙O的半径＝．
5．【解答】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则AF为直径，∠ABF＝90°，
∵，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠FAB+∠F＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
（2）连接OC，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB＝2，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵OC＝OB，
∴OA⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝，
在Rt△ABH中，
AH＝＝1，
在Rt△OBH中，设OB＝r，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴（r﹣1）2+（）2＝r2，
解得：r＝2，
∴DB＝2r＝4，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝，
∴AD的长为．
6．【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．
∴GH＝＝
7．【解答】（1）证明：连接CO、EO、BC，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠BCA＝∠BCD＝90°，
∵Rt△BCD中，E是BD的中点，
∴CE＝BE＝ED，
∵OC＝OB，OE＝OE，
则△EBO≌△ECO（SSS），
∴∠ECO＝∠EBO＝90°，
∵点C在圆上，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：解法一：Rt△ACF中，∵AC＝5，CF＝3，
∴AF＝4，
设圆O的半径为r，则OF＝4﹣r，
由勾股定理得：CF2+OF2＝CO2，
即32+（4﹣r）2＝r2，r＝；
解法二：Rt△ACF中，∵AC＝5，CF＝3，
∴AF＝4，
设BF＝x，
由勾股定理得：BC2＝x2+32，
BC2+AC2＝AB2，
x2+32+52＝（x+4）2，
x＝，
则r＝＝，
则⊙O的半径为．
8．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．
设AH＝x．
∵DE+AE＝8，OD＝10，
∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（x﹣2）2＝102，
解得x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH＝8，OH＝6，
∵OH⊥AF，
∴AH＝FH＝AF，
∴AF＝2AH＝2×8＝16
∴△OAF的面积＝×16×6＝48．
9．【解答】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BD＝CD，
∵AE＝4，AB＝10，
∴BE＝2，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BE，
∴DF＝BE＝．
10．【解答】（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE＝OB，
∴∠OBE＝∠PEB，
∵OD∥BE，
∴∠AOD＝∠OBE，∠OEB＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠EOD，
在△AOD和△EOD中
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OAD＝∠OED，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OED＝90°，
即OE⊥DE，
∵OE为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：
过D作DH⊥BC于H，
∵AM和BN是⊙O的两条切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH，AD＝BH，
∵AD＝l，BC＝4，
∴BH＝1，CH＝4﹣1＝3，
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，AD＝1，BC＝4，
∴DE＝AD＝1，BC＝CE＝4，
∴DC＝1+4＝5，
在Rt△DHC中，由勾股定理得：DH＝＝＝4，
即AB＝4．
11．【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD垂直平分OA，
∴OM＝OA＝OD，
∴∠ODC＝30°，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵DN平分∠CDE，
∴∠CDN＝45°，
∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，
∵OD＝OC，
∴∠DCO＝∠ODC＝30°，
∴∠FGD＝45°+30°＝75°，
∵FD＝FG，
∴∠FDG＝∠FGD＝75°，
∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EDB＝30°，
∴∠EOB＝60°，
Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴∠DEC＝∠EOB＝60°，
∴DE∥AB，
∴S△DOE＝S△ODE，
∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；
答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，
12．【解答】解：（1）∵DE⊥PE，
∴∠E＝90°，
∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，
∴∠EDB+∠DOE＝∠EPB+∠POB，即∠OBP＝∠E＝90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，
根据勾股定理得：PD＝＝10，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC＝PB＝6，
∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4．
在Rt△CDO中，设OC＝r，则有DO＝8﹣r，
根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，
解得：r＝3，
则圆的半径为3．
13．【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝2∠4，
∴∠1＝∠4，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴AB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：∵BC＝CF＝4，
∴∠F＝∠4，
而∠BAC＝2∠4，
∴∠BAC＝2∠F，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝4，
∴BF＝＝＝4．
14．【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC，
∴∠ADC＝2∠P，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，
∴∠ADC＝2∠ACP，
∵CD为直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝60°，∠C＝30°，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
而∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴OP＝2OA，
∴PD＝OD＝，
∴⊙O的直径为2；
（3）解：作EH⊥AD于H，如图，
∵点B等分半圆CD，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝45°，
设DH＝x，
在Rt△DHE中，DE＝2x，HE＝x，
在Rt△AHE中，AH＝HE＝x，
∴AD＝x+x＝（+1）x，
即（+1）x＝，
解得x＝，
∴DE＝2x＝3﹣．
15．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，则AH＝DH，
在Rt△OAB中，sinA＝＝，
在Rt△OAH中，sinA＝＝，
∴OH＝，
∴AH＝＝，
∴AD＝2AH＝，
∴BD＝5﹣＝，
∴BF＝BD＝，
在Rt△ABC中，cosB＝，
在Rt△BEF中，cosB＝＝，
∴BE＝×＝，
∴线段DE的长为．
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