2025年九年级数学二轮专题复习中考数学高频考点圆中切线证明综合训练（含解析）

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2025年九年级数学二轮专题复习中考数学高频考点圆中切线证明综合训练
1．如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
3．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
4．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，BC=，求DE的长．
6．如图，点B是⊙O上一点，弦CD⊥OB于点E，过点C的切线交OB的延长线于点F，连接DF，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠CFD＝60°，求CD的长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
9．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OD的长；
（3）求线段BM的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
11．如图，在△ABC中，E为BC边上一点，以BE为直径的AR半圆D与AC相切于点F，且EF∥AD，AD交半圆D于点G．
（1）求证：AB是半圆D的切线；
（2）若EF＝2，AD＝5，求切线长AB．
12．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝12，⊙O的半径为10，求CE的长．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半径．
15．如图，点O在△ABC的边BC上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点D，点E是下半圆的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若CF＝4，EF＝，求AB的长度．
参考答案
1.【解答】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=，
∴2OA=2PD=2．
∴⊙O的直径为2．
2．【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，
∵tan∠E==，
∴=，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC===6．
3．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴==，即==，
∴CE=4，EF=，
∴MF=ME﹣EF=6﹣=．
4．【解答】解：（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA sin∠AOM=4×sin60°=2，
∴AE=2AM=4．
5．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，BC=，
∴AC==5，
∴OD=，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
则四边形ODGC为正方形，
∴DG=CG=OD=，
∵DE∥AC，
∴∠CEG=∠ACB，
∴tan∠CEG=tan∠ACB，
∴=，即=，
解得：GE=，
∴DE=DG+GE=．
6．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD+∠DCF＝90°
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠OCD
∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵FC，FD是⊙O的切线，∠CFD＝60°，
∴∠CFO＝30°，
∴∠COF＝60°，
∵CD⊥OB，
∴∠OCE＝30°，
∵OC＝2，
∴CE＝OC＝，
∴CD＝2CE＝2．
7．【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
8．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
9．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，
∴OD＝OB，
∵OC＝OD，
∴BC＝OC＝1，
∴⊙O的半径OD的长为1；
（3）∵OD＝1，
∴DE＝2，BD＝，
∴BE＝＝，
∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O 的割线，
∴BD2＝BM BE，
∴BM＝＝＝．
10．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．
11．【解答】（1）证明：连接DF，
∵AC与半圆D相切于点F，
∴DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，
又∵DF＝DE，
∴∠EFD＝∠FED，
∴∠ADF＝∠ADB，
在△ABD与△AFD中
∴△ABD≌△AFD （SAS），
∴∠ABD＝∠AFD＝90°，
∴AB是半圆D的切线；
（2）解：∵EF∥AD，
∴△CFE∽△CAD，
∴，
设CE＝2x，
∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，
∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，
∴AF＝6x，
在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，
解得x＝，
∴AB＝AF＝6x＝2．
12．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴AD＝，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∵AO＝OC，
∴OH＝AD＝，
∴点O到CD的距离是．
13．【解答】（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠CBE＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，
∴BH＝HF＝6，
在Rt△OBH中，
OH＝＝＝8，
在矩形OHCE中，CE＝OH＝8．
14．【解答】（1）证明：连接AO并延长交⊙O于E，连接DE，
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：过A作AF⊥BC于F，
∵∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴，
∴BD＝＝，
∴AD＝BD＝，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝BC＝8，
∴AF＝＝6，
∵∠E＝∠C＝∠B，
∴sinE＝sinB，
∴＝，
∴AE＝，
∴⊙O的半径为．
15．【解答】解：（1）连接AO、EO，
∵点E是下半圆的中点，
∴∠DOE＝∠COE＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝90°，
∵∠EFO＝∠BFA，
∴∠OEF+∠BFA＝90°，
∵AB＝BF，AO＝EO，
∴∠BFA＝∠BAF，∠OEF＝∠OAF，
∴∠BAF+∠OAF＝∠BFA+∠OEF＝90°，
即∠BAO＝90°，
∵A为⊙O上的一点，
∴AB是⊙O切线；
（2）设FO＝x，则CO＝FC﹣FO＝4﹣x，
∴EO＝CO＝4﹣x，
在Rt△EFO中，EO2+FO2＝EF2，
∴（4﹣x）2+x2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝3（不合题意，舍去），
∴AO＝CO＝4﹣1＝3，
设AB＝y，则BO＝BF+FO＝y+1，
在Rt△ABO中，AO2+AB2＝BO2，
∴32+y2＝（y+1）2，
解得：y＝4，
∴AB＝4．
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