2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点四边形中的证明与计算综合训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点四边形中的证明与计算综合训练
1．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长．
2．如图，在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边中线．延长AO至点B，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）连接DF，若cosA＝，CF＝8，求DF的长．
3．如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证DG＝BE；
（2）连接FC，求tan∠FCN的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．
（1）求证：四边形AOBF是矩形；
（2）若AD＝5，sin∠AFO＝，求AC的长．
5．已知四边形ABCD是正方形，∠MAN＝90°，将∠MAN绕顶点A旋转，旋转角为∠DAM（0°＜DAM＜45°），AM交CD于点E，∠MAN的平分线与CB交于点G．
（1）如图1，连接GE．求证：GE＝DE+BG；
（2）如图2，设AN交CB的延长线于点F，直线EF分别交AG，AB于点P，H．
①探究GH与AE的位置关系，并证明你的结论；
②若正方形的边长为6，BG＝2，求GH的长．
6．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．
（1）求证：四边形DBEF是矩形；
（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求DF的长．
7．如图，在矩形ABCD中，DE＝1，BE＝2，F，G分别是BE，BC的中点，延长GF，交AD于点H．
（1）求证：点H是AD的中点；
（2）连结AF，当∠EBA＝70°时，求∠EFA的度数；
（3）设AB＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式，并猜想函数图象是什么图形；
（4）当△AEF是直角三角形时，求边AB的长．
8．如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．
（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；
（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；
（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CD＝CB，过点C作∠DCB的平分线CE交AB于点E，连接DE，过点D作DF∥AB，且交CE于F点，连接BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝13，求tan∠AED的值．
10．如图，已知正方形ABCD的顶点D关于射线CP的对称点G落在正方形内，连接BG并延长交边AD于点E，交射线CP于点F．连接DF，AF，CG．
（1）试判断DF与BF的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝4，DF＝2，求AE的长；
（3）若∠ADF＝2∠FAD，求tan∠FAD的值．
11．如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，∠ABC＝∠ADC．在BC延长线上取点E，使得DC＝DE．
（1）如图1，当AD∥BC时，求证：
①∠ABC＝∠DEC；
②CE＝2BC；
（2）如图2，若tan∠ABC＝，BE＝10，设AB＝x，BC＝y，求y与x的函数表达式．
12．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连结EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连结AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．
（1）求α，β之间等量关系；
（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．
13．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交边AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，BC＝4，当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
14．如图．E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC的中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若AB＝4，求cos∠AEF的值．
15．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接BD，若，求BG的长．
16．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）求证：△ABN≌△ADN；
（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON．
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．即MB＝5，
∴菱形BMDN的周长为5×4＝20．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4，
∴．
在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝，
由（1）得：OM＝ON，
∴．
2．【解答】（1）证明：∵在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边中线，
∴OD⊥AC，OD平分∠AOC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠AOC，
∵OH平分∠COB，
∴∠COF＝∠COB，
∵∠AOC+∠COB＝180°，
∴∠COD+∠COF＝90°，即∠DOF＝90°，
∵CF⊥OH，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形CDOF是矩形；
（2）解：如图所示：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵四边形CDOF是矩形，
∴CD∥OF，
∴∠ACO＝∠COF，
∴cos∠COF＝＝cosA＝，
设OF＝3x，OC＝5x，
则CF＝＝＝4x，
∴CF＝8＝4x，
∴x＝2，
∴OC＝10，
∴在矩形CDOF中，DF＝OC＝10．
3．【解答】解：（1）如图1，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠BAE＝∠GAD，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴DG＝BE；
（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
又AE＝EF，
∴△BAE≌△MEF（ASA），
∴FM＝BE，EM＝AB，
又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，
∴CM＝FM，
在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；
（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
同理可证∠GAD＝∠FEM，
又AG＝EF，
∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，
∴EM＝AD＝BC＝8，＝，
设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，
∴CM＝BE＝a，
∴＝，
∴FM＝，
∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．
4．【解答】解：（1）证明：∵点E为AB的中点，EF＝EO，
∴四边形AOBF是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形；
（2）∵四边形AOBF是矩形，
∴AB＝OF，∠FAO＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝5，
∴OF＝5，
在Rt△AFO中，OF＝5，
∵sin∠AFO＝，
∴OA＝3，
∴AC＝6．
5．【解答】（1）证明：延长CB交AN于F，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABG＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
在△DAE和△BAF中，，
∴△DAE≌△BAF（ASA），
∴DE＝BF，AE＝AF，
∵AG平分∠MAN，
∴∠EAG＝∠FAG，
在△EAG和△FAG中，，
∴△EAG≌△FAG（SAS），
∴EG＝FG，
∵FG＝BF+BG＝DE+BG，
∴GE＝DE+BG；
（2）解：如图2所示：
①GH与AE的位置关系为：GH∥AE，理由如下：
由（1）得：AE＝AF，
∵AG平分∠MAN，
∴AG⊥EF，EP＝FP，
∴∠APH＝∠FPG＝∠APE＝90°，AP＝EF＝EP＝FP，
∴∠PDG+∠PGF＝90°，
又∵∠ABG＝90°，
∴∠PAH+∠PGF＝90°，
∴∠PAH＝∠PFG，
在△PAH和△PFG中，，
∴△PAH≌△PFG（ASA），
∴PH＝PG，
∴△PGH是等腰直角三角形，
∴∠PGH＝45°，
∵∠EAF＝90°，EP＝FP，
∴AP＝EP，
∵AG⊥EF，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，
∴∠PGH＝∠PAE，
∴GH∥AE；
②由（1）得：GE＝GF，DE＝BF，
设DE＝x，
∵正方形的边长为6，BG＝2，
∴CG＝4，CE＝6﹣x，GE＝GF＝2+x，
在Rt△ECG中，CE2+CG2＝GE2，
即（6﹣x）2+42＝（2+x）2，
解得：x＝3，即DE＝BF＝3，
∴CE＝6﹣3＝3，CF＝6+3＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GBH＝90°，BH∥CE，
∴△FBH∽△FCE，
∴＝，即＝，
∴BH＝1，
由勾股定理得：GH＝＝＝．
6．【解答】证明：（1）∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB．
∴CE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形DBEF是矩形．
（2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB，OC＝OA，
由（1）得四边形DBEF是矩形，
∴DF⊥BD，
∴AC∥DF，
∴OC＝DF，
∵AB＝5，cos∠ABD＝，
∴OB＝3，
∴OA＝OC＝4，
∴DF＝8．
7．【解答】（1）证明：∵F，G分别是BE，BC的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴FG∥CE，
∵BG＝GC，
∴AH＝HD，即点H是AD的中点；
（2）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB＝180°﹣∠EBA＝110°，
∵DE＝FE＝1，
∴∠EDF＝∠EFD＝×（180°﹣110°）＝35°，
∵HG∥CD，
∴∠DFH＝∠EDF＝35°，∠FHA＝∠CDA＝90°，
∵DH＝HA，
∴FD＝FA，
∴∠AFH＝∠DFH＝35°，
∴∠EFA＝35°+35°+35°＝105°；
（3）解：过点E作EN⊥AB于N，
则EN∥DA，
∵DE∥AN，EN∥DA，∠CDA＝90°，
∴四边形ADEN为矩形，
∴AN＝DE＝1，EN＝AD＝y，
∴BN＝AB﹣AN＝x﹣1，
在Rt△ENB中，EN2+BN2＝EB2，即（x﹣1）2+y2＝4，
则点（x，y）到（1，0）的距离为2，
∴函数图象是以（1，0）为圆心、2为半径的圆的一部分；
（4）解：如图3，连接AE，
由图3可知，当△AEF是直角三角形时，只有∠AFE＝90°，即AF⊥BE，
∵AF⊥BE，EF＝FB，
∴AB＝AE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即AE2＝y2+12，
∴AB2＝y2+12，即x2＝y2+12，
由（3）可知，（x﹣1）2+y2＝4，
∴（x﹣1）2+x2﹣1＝4，
整理得，x2﹣x﹣2＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣1（舍去），
∴当△AEF是直角三角形时，边AB的长为2．
8．【解答】解：（1）证明：∵正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，
∴BE＝CE＝a，∠ABC＝∠ECF＝90°，
∵CF＝a，
∴，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°；
（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，如图1，则
AE＝AE'，BE＝DE'，∠E'AD＝∠EAB，∠ADE'＝∠ABE＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴点F、D、E'三点在同一直线上，
∵CF＝2DF，
∴CF＝a，DF＝a，CE＝BE＝DE'＝a，
∴E'F＝a，EF＝a，
∴EF＝E'F，
∵AE＝AE'，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE'F（SSS），
∴∠EAF＝∠E'AF＝∠EAE'＝45°；
（3）过A作AG⊥EF，如图2，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠DAE＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵∠ABE＝∠AGE＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴BE＝GE＝a，AB＝AG，
∵AB＝AD，
∴AD＝AG，
∵AF＝AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，
设CF＝x，则GF＝DF＝a﹣x，
∴EF＝，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴，
解得，x＝a，
∴△CEF的面积＝．
9．【解答】（1）证明：∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BEC，
∴∠DFE＝∠DEC，
∴DE＝DF，
∴DF＝BE，又DF∥AB，DE＝DF，
∴四边形DEBF为菱形；
（2）解：∵AD∥BC，AB∥DF，
∴四边形ABGD为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABGD为矩形，
∴∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，
在Rt△DGC中，GC＝＝12，
∴AD＝BG＝BC﹣GC＝13﹣12＝1，
设AE＝x，则DE＝BE＝5﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即（5﹣x）2＝x2+12，
解得，x＝，
∴tan∠AED＝＝．
10．【解答】解：（1）DF⊥BF，
理由如下：∵点D关于射线CP的对称点G，
∴CD＝CG，DF＝FG，
又∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CGF（SSS），
∴∠CDF＝∠CGF，
∵CD＝CB，
∴∠CGB＝∠CBG，
∵∠CGB+∠CGF＝180°，
∴∠CBG+∠CDF＝180°，
∵∠CDF+∠DFB+∠CBF+∠DCB＝360°，
∴180°+90°+∠DFB＝360°，
∴∠DFB＝90°，
∴DF⊥BF；
（2）如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△CDF≌△CGF，∠DFB＝90°，
∴∠CFD＝∠CFG＝45°，DF＝FG＝2，
∵CH⊥BF，
∴∠CFH＝∠FCH＝45°，
∴CH＝FH，
∴CF＝CH＝4，
∴CH＝FH＝4，
∴GH＝FH﹣FG＝2，
∴CG＝＝＝2，
∴CD＝CG＝BC＝AB＝2，
∵CB＝CG，CH⊥BG，
∴BH＝GH＝2，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBH，
又∵∠DAB＝∠CHB＝90°，
∴△AEB∽△HBC，
∴，
∴＝，
∴AE＝；
（3）连接BD，过点F作FM⊥AD于M，作∠AFN＝∠FAD，交AD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠DFB＝∠DAB＝90°，
∴点D，点F，点A，点B四点共圆，
∴∠DBF＝∠DAF，∠FDA＝∠FBA，
∵∠ABD＝∠FBD+∠FBA＝∠FDA+∠DAF＝45°，∠ADF＝2∠FAD，
∴∠FDA＝30°，∠FAD＝15°，
∵∠AFN＝∠FAD＝15°，
∴∠FNM＝30°，
又∵FM⊥AD，
∴NM＝FM，FN＝2MF＝AN，
∴AM＝AN+MN＝（2+）FM，
∴tan∠FAD＝＝＝2﹣．
11．【解答】（1）证明：①∵AD∥BC，
∴∠DCE＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠DCE＝∠ABC，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠ABC＝∠DEC；
②如图1，作DH⊥CE于H，
∵DC＝DE，DH⊥CE，
∴CH＝HE，
∵AD∥BC，
∴∠ACH＝∠CAD＝90°，又DH⊥CE，
∴四边形ACHD为矩形，
∴AD＝CH，
∵∠DCE＝∠ABC，
∴AB∥CD，又AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BC＝CH＝HE，即CE＝2BC，
（2）解：作AM⊥BE于M，DH⊥BE于H，作AN⊥DH于N，
则四边形AMHN为矩形，
∴AN＝MH，∠MAN＝90°，
∵DC＝DE，DH⊥CE，
∴CH＝HE＝CE，
∵∠MAN＝90°，∠CAD＝90°，
∴∠MAC＝∠NAD，又∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC∽△AND，
∴＝，
设AM＝4a，
∵tan∠ABC＝，
∴BM＝3a，
由勾股定理得，AB＝＝5a，
则5a＝x，
∴a＝，
∴AM＝x，BM＝x，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ADC＝，即＝，
∴＝，
∴AN＝x，
∴MH＝AN＝x，
∴HE＝BE﹣BH＝10﹣x，
∴CE＝2HE＝20﹣x，
∴y＝BC＝10﹣（20﹣x）＝x﹣10，
∵0＜BC＜10，
∴＜x＜，
∴y与x的函数表达式为y＝x﹣10（＜x＜）．
12．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，∠CBG＝∠ABC＝90°，
∴∠AED＝∠GAE，
∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴∠AED＝∠AEG＝α，
∴∠G＝180°﹣2α，
∵∠BFG+∠G＝90°，
∴180°﹣2α+β＝90°，
∴2α﹣β＝90°；
（2）如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠ABC＝∠CBG＝90°，
设BF＝x，
∵△ADE≌△ABF，
∴DE＝BF，
∴CE＝CF＝2﹣x，
∴EF＝2x，∠CFE＝∠BFG＝45°，
∴BG＝BF＝x，
∴FG＝＝x，
∵AG＝EG，
∴2+x＝2x+x，
解得，x＝2﹣2，
∴．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE DB⊥EF，
∵AB＝3，BC＝4，
设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，
在Rt△ADE中，32+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴DE＝，
∵BD＝＝5，
∴DO＝BO＝BD＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OE＝．
14．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠D＝∠B＝∠C＝90°，
∵E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC的中点，
∴DE＝DC，BF＝BC，
∴DE＝BF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）过点A作AM⊥EF，垂足为点M，
∵△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，
∴EM＝FM，
由勾股定理可得：AE＝＝2，EF＝＝2，
∴EM＝，
∴cos∠AEF＝＝＝．
15．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE．
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，
又∵，，
∴，
在Rt△BDC中，∵∠BCD＝90°，
∴，
过点G作BD的垂线，点H为垂足，
∵∠HDG＝45°，，
∴，
∴DH＝2，
∴GH＝DH＝2，
∵BD＝BH+DH，
∴BH＝6﹣2＝4．
在△BHG中，∠BHG＝90°，由勾股定理得：．
16．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠1＝∠2．
又∵AN＝AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
（2）作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH＝∠ABC＝60°．
在Rt△AMH中，MH＝AM sin60°＝4×sin60°＝2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH＝2．
∴DH＝6+2＝8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH＝，
由（1）知，∠MDH＝∠ABN＝α，
∴tanα＝．
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