2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O在AB上，以O为圆心，以OA长为半径的圆分别与AC，AB交于点D，E，直线BD与⊙O相切于点 D．
（1）求证：∠CBD＝∠A；
（2）若AC＝6，AD：BC＝1：．
①求线段BD的长；
②求⊙O的面积．
3．如图，四边形ABCD为正方形，取AB中点O，以AB为直径，O圆心作圆．
（1）如图1，取CD的中点P，连接BP交⊙O于Q，连接DQ并延长交AB的延长线于E，求证：QE2＝BE AE；
（2）如图2，连接CO并延长交⊙O于M点，求tanM的值．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BFA＝∠DBC．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BH＝3，求AD的长度；
（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．
5．如图1，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．
（1）求证：AI是⊙O的切线；
（2）如图2，连接CI交AB于点E，交⊙O于点F，若tan∠IBC＝，求．
6．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的平分线于点C，交AD于点F，过点C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠DAB的值．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝AD，求的值．
8．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC＝∠B．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF AB＝12，求AC的长．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
10．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝6，求PB的长．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．
12．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．
13．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD＝∠BDC；
（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．
14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC上一点且满足PA＝PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
参考答案
1.【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
2．【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵直线BD与⊙O相切于点D，
∴∠BDO＝90°，
∴∠BDC+∠ODA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BDC+∠OAD＝90°，
∴∠CBD＝∠A；
（2）①∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A，
∴△ACB∽△BCD，
∴＝，
∵AC＝6，AD：BC＝1：．
∴设AD＝x，BC＝x，
∴＝，
解得：x＝3．
∴BC＝3，CD＝AC﹣AD＝3
根据勾股定理得，BD＝3；
②由①可知BC＝3．
又∵∠C＝90°，AC＝6，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝3，
设OA＝OD＝r，则OB＝3﹣r，
∴在Rt△OBD中，由勾股定理得：r2+＝，
解得：r＝，
∴⊙O的面积为：π×＝．
3．【解答】（1）证明：如图1中，连接OD，OQ，设AQ交OD于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DP＝CD，OB＝AB，
∴DP＝OB，
∴四边形PDOB是平行四边形，
∴OD∥PB，
∵AB是直径，
∴∠AQB＝90°，
∴∠AKO＝∠AQB＝90°，
∵OK∥BQ，AO＝OB，
∴AK＝KQ，
∴OD垂直平分线段AQ，
∴DA＝DQ，
∵OD＝OD，OA＝OQ，
∴△ODA≌△ODQ（SSS），
∴∠DQO＝∠DAO＝90°，
∴∠EQO＝90°，
∴∠EQB+∠OQB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴∠OQB＝∠OBQ，
∵∠QAB+∠ABQ＝90°，
∴∠EQB＝∠EAQ，
∵∠E＝∠E，
∴△EQB∽△EAQ，
∴＝，
∴EQ2＝EA EB．
（2）解：如图2中，作BT⊥CM于T．设AB＝BC＝2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝90°，
∵OB＝OA＝a，BC＝2a，
∴OC＝＝＝a，
∵S△OBC＝ OB BC＝ OC BT，
∴BT＝a，OT＝＝＝a，
∴MT＝OM+OT＝a+a，
∴tanM＝＝＝．
4．【解答】解：（1）证明：∵∠BFA＝∠BDC，∠BDC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BFA，
∵OB∥CD，
∴∠BOF＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BOF+∠F＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）∵BH⊥AC，
∴∠OHB＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠OHB，
∵∠BOC＝∠ACD，
∴△ACD∽△BOH，
∴，
∵BH＝3，
∴AD＝6；
（3）∵△ACD∽△BOH，
∴∠DAC＝∠OBH，
∵sin∠DAC＝＝，
∴sin∠OBH＝，设OH＝4a，OB＝7a，
∴AC＝2OB＝14a，
∴DC＝8a，
∴BH＝＝a，
过C作CM⊥OB于M，
∵OB＝OC，
∴CM＝BH＝a，
∵OB∥CD，CM⊥OB，
∴CM⊥CD，
∴S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB
＝CD CM+OB CM
＝（8a+7a）×a
＝，
S△OBH＝OH×BH＝4a×a＝2a2，
∴＝．
答：△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比为．
5.【解答】（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI．
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．
∴∠1＝∠3，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC．
又∵OB＝OI，
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠2．
∴OI∥BD，
∴OI⊥AI．
∴AI为⊙O的切线；
（2）解：连接BF，过B作BM⊥CF于M
由（1）得AD垂直平分BC，
∴BI＝CI，
∴∠1＝∠4
故∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝α，
∴∠BOI＝180°﹣2α，
∴∠F＝BOI＝90°﹣α，
∴∠F+∠4＝90°，
∴∠FBC＝∠ADC＝90°，
∴BF∥AD，
∴△AEI～△BEF，
∴．
∵DI∥BF，BD＝CD，
∴CI＝FI，
∴BF＝2ID，
故，
设ID＝a，
∵，
∴，
由面积法：，
∴，
又∠MIB＝2∠1＝∠ABD，
∴tan∠MIB＝tan∠ABD，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，则AH＝HF，
易得四边形OCDH为矩形，
∴OH＝CD，OC＝DH，
∵＝，
∴设CD＝x，则AD＝2x，
设⊙O的半径为r，
∴AH＝2x﹣r，OA＝r，
在Rt△OAH中，x2+（2x﹣r）2＝r2，解得x＝r，
∴AH＝r，
在Rt△OAH中，cos∠HAO＝＝＝．
7．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴DK＝KB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，
∴△ODC≌△OBC（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵CD＝AD，
∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．
∵DK＝KB，AO＝OB，
∴OK＝AD＝a，
∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，
∴△CDK∽△COD，
∴＝，
∴＝
整理得：2（）2+（）﹣4＝0，
解得＝或（舍弃），
∵CK∥AD，
∴＝＝＝．
8．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD＝90°；
∴∠CAD+∠D＝90°
∵∠PAC＝∠PBA，∠D＝∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∴∠PAD＝90°，
∴PA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAD＝90°，
∵∠CAD+∠D＝90°，
∴∠D＝∠ACF，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAC＝∠CAF，
∴△ABC∽△ACF，
∴，
∴AC2＝AF AB
∵AF AB＝12，
∴AC2＝12，
∴AC＝2．
9．【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠BEO＝∠C＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过A作AH⊥EF于H，
Rt△AHF中，sin∠EFA＝，
∵AF＝5，
∴AH＝4，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AE＝AH＝8，
∵sin∠EFA＝sin∠ADE＝＝，
∴AD＝10，
∵∠DAE＝∠EAC，∠DEA＝∠ECA＝90°，
∴△AED∽△ACE，
∴，
∴，
∴AC＝6.4．
10．【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD是直径，
∴∠DEP＝90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP＝∠FBP，
∴DE∥BF，
∵＝，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线．
（2）解：作OH⊥PA于H．
∵OA＝OP，OH⊥PA，
∴AH＝PH＝3，
∵OA∥PB，
∴∠OAH＝∠APB，
∵∠AHO＝∠ABP＝90°，
∴△AOH∽△PAB，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
11．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，
sinB＝，
∴AC＝6，BC＝8，
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
设AD＝3x，CD＝4x，
Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
52+（4x）2＝（5+3x）2，
x＝0（舍）或，
∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，
∴CE＝CF，
设CF＝a，
∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，
∠CFE＝∠B+∠BDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵∠ACD＝∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴，
∴，a＝，
∴CF＝．
12．【解答】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA＝PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ＝∠PBQ＝90°．
在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5．
由QA2+OA2＝OQ2，得QA＝4．
在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ+OB＝8，
由QB2+PB2＝PQ2，得82+PB2＝（PB+4）2，
解得PB＝6，
∴PA＝PB＝6，
∵OP⊥AB，
∴BF＝AF＝AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF＝PA＝3，
∴△DFE∽△QEA，
∴＝＝，
设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE+FE＝7t，
∴BE＝BF+FE＝AF+FE＝7t+3t＝10t，
∴＝＝．
13．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OBD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDC．
（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝．
∵BD＝AD，
∴＝，
∴＝，
又∵AC＝3，
∴CD＝2．
14．【解答】（1）证明：如图1，连接OP，
∵PA＝PB，
∴，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图2，过A作AH⊥BC于H，连接OA，OP，OP交AB于E，
∵AB＝AC，
∴BH＝BC＝＝4，
Rt△ABH中，tan∠ABC＝＝＝，
∴AH＝2，AB＝＝2，
∴BE＝，PE＝，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣，
由勾股定理得：，
r＝，
答：⊙O的半径是．
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