2025年九年级数学中考三轮冲刺训练图形的旋转训练（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练图形的旋转训练
1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）AF的长度是多少？
（4）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
2．已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是　 　，∠DAE＝　 　°；
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了　 　度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为　 　．
3．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3．以BC为对角线做正方形BDCE，连接AD．求AD的最大值．
4．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，连接EM，AE，且使得∠MAE＝45°．
（1）求证：ME＝EF；
（2）求证：EF2＝BE2+DF2．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠DEF＝∠ABF；
（2）求证：F为AD的中点；
（3）若AB＝8，AC＝10，且EC⊥BC，求EF的长．
7．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，对角线AC绕点O逆时针旋转，分别交边DC，AB于点E、F．
（1）求证：CE＝AF
（2）若DB＝2，BC＝1，CD＝．当AC绕点O逆时针方向旋转45°时，判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
8．如图，在△ABC中，AC＝AB，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B、C分别对应点D、E），BD和CE交于点F．
（1）求证：CE＝BD；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求BF的长．
9．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是　 　；
（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M（m，n）落在第四象限，求a的取值范围；
（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式m2+2n+5取得最小值．
10．三角形面积的计算．
（1）如图①，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4，
①设BD＝x，用x表示AD2；②求BD长；③求△ABC的面积．
（2）如图②，点D是等边△ABC内一点，AD＝5，BD＝7，CD＝4．将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，连结DE．
①求△CDE的面积；
②求△ABC的面积．
11．如图，点E在正方形ABCD边AB上运动，点A与点F关于DE对称，作射线CF交DE延长线于点P，连接AP、EF．
（1）若∠ADE＝15°，求∠DPC的度数；
（2）试探究AP与PC的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，求BF的最小值．
12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若A对应的点A2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A2B2C2；
（2）若△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，直接写出旋转中心坐标　 　．
（3）在x轴上有一点P使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标　 　．
13．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求点P的坐标，使|PA﹣PB|的值最大．
14．已知：点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合．
（1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？
（2）若BP＝2，求PE的长．
15．正方形ABCD中，E是CD边上一点，
（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是　 　，∠AFB＝∠　 　
（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP＝PQ
（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2＝MN2．
16．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
17．已知：如图，E点是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝4，DE＝6，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是　 　．旋转角为　 　度．
（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．
（3）求四边形DEBF的周长和面积．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试说明△COD是等边三角形；
（2）当a＝150°时，OB＝3，OC＝4，试求OA的长．
19．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到；
（3）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
20．如图，正方形ABCD内有一点P，若PA＝1，PB＝2，PC＝3．
（1）画出△ABP绕点B顺时针旋转90°得到的△CBE；
（2）求∠APB度数；
（3）求正方形ABCD的面积．
参考答案
1．【解答】解：观察图形，由△ADE到△ABF的旋转可知：
（1）旋转中心是点A；
（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB＝90°就是旋转角
（3）∵AD＝1，DE＝
∴
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴
（4）∵∠EAF＝90°且AF＝AE
∴△EAF是等腰直角三角形
2．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；
（2）∵AB和AC为对应边，
∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，
∴∠MAM′＝60°，
∴点M转动了60°；
（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴△ABD≌△ACE，
∵BD＝BC，
∴CD＝2BD，
∴S△ABC＝S△ABD＝×3＝，
∴S四边形ADCE＝S△ABC＝．
故答案为点A，60；60；．
3．【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．
由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD的最大值为，
4．【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD'≌△ACE
∴AC＝BC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∴∠ACB＝90°
故旋转角的度数为90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°
∴∠MBC+∠BMC＝90°
∵△BCD'≌△ACE
∴∠DBC＝∠EAC
即∠MBC＝∠NAM
又∵∠BMC＝∠AMN
∴∠AMN+∠CAE＝90°
∴∠AND＝90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接DE，
由旋转图形的性质可知
CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°
∴∠EDC＝∠CED＝45°
∵CD＝3，
∴CE＝3
在Rt△BCD中，∠DCE＝90°
∴DE＝＝＝3
∵∠ADC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°
∴EA＝＝＝
∴BD＝
5．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，
∴MB＝DF，AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAM＝45°，∠MAF＝90°
∴∠FAE＝45°，
∴∠MAE＝∠FAE，
在△AME和△AFE中
，
∴△AME≌△AFE（SAS）
ME＝EF．
（2）由（1）得△AME≌△AFE，
∴ME＝EF，
∵∠ABM＝∠ADF＝45°，∠ABD＝45°，
∴∠MBE＝90°．
在Rt△MBE中，∵MB2+BE2＝ME2，
又∵MB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
6．【解答】（1）证明：如图1中，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABC＝∠CED＝90°，
∴∠DEF+∠CEB＝90°，∠ABF+∠CBE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABF．
（2）证明：如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．
∵∠ABN＝∠DEM，∠ANB＝∠M＝90°，AB＝DE，
∴△ANB≌△DME（AAS），
∴AN＝DM，
∵∠ANF＝∠M＝90°，∠AFN＝∠DFM，AN＝DM，
∴△AFN≌△DFM（AAS），
∴AF＝FD．
（3）解：如图2中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC＝EC＝＝6，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵AC＝CD＝10，
∴AD＝10，
∴DF＝AF＝5，
∵∠MED＝∠CEB＝45°，
∴EM＝MD＝4，
在Rt△DFM中，FM＝＝3，
∴EF＝EM﹣FM＝．
7．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，AO＝CO，AB＝CD
∴∠DCO＝∠BAO，且AO＝CO，∠AOF＝∠COE
∴△COE≌△AOF（ASA）
∴CE＝AF，
（2）四边形BEDF是菱形
理由如下
如图，连接DF，BE，
∵DB＝2，BC＝1，CD＝
∴DB2+BC2＝5＝CD2，
∴∠DBC＝90°
由（1）可得AF＝CE，且AB＝CD
∴DE＝BF，且DE∥BF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DO＝BO＝1，
∴OB＝BC＝1，且∠OBC＝90°
∴∠BOC＝45°，
∵当AC绕点O逆时针方向旋转45°时
∴∠EOC＝45°
∴∠EOB＝90°，即EF⊥BD
∴平行四边形DEBF是菱形
8．【解答】证明：（1）∵把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC
∴AD＝AB＝AC＝AE
∵∠DAB＝∠EAC，AD＝AB，AC＝AE
∴△AEC≌△ADB（SAS）
∴CE＝BD
（2）∵四边形ADFC是平行四边形
∴DF＝AC，AC∥BD
∴∠ABD＝∠BAC＝45°
∵AB＝AD
∴∠DBA＝∠BDA＝45°
∴∠BAD＝90°
∴BD＝AB＝2
∵DF＝AC＝AB＝2
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2
9．【解答】解：（1）由题意：Q（﹣3，1）．
故答案为（﹣3，1）．
（2）把点Q（﹣3，1）向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，
得到的点M的坐标为（﹣3+a，1﹣a），而M在第四象限，则有，
解得a＞3，
即a的范围为a＞3．
（3）由（2）得，m＝﹣3+a，n＝1﹣a
∴m2+2n+5＝（a﹣3）2+2（1﹣a）+5
＝a2﹣6a+9+2﹣2a+5
＝a2﹣8a+16
＝（a﹣4）2
∵（a﹣4）2≥0，
∴当a＝4时，代数式m2+2n+5的最小值为0．
10．【解答】解：（1）①∵AD是△ABC的高，AB＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2，
②∵AD是△ABC的高，AC＝4
∴AD2＝AC2﹣CD2，
∴25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，
∴x＝3
∴BD＝3
③∵AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2＝16
∴AD＝4
∴S△ABC＝×BC×AD＝14
（2）①∵将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，
∴BD＝BE＝7，∠DBE＝60°，AD＝CE＝5，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝7，
∴在△DEC中，DC＝4，DE＝7，CE＝5
由（1）可得△DEC的面积＝14
②∵S△ABD+S△BDC＝S四边形BDCE，
∴S△ABD+S△BDC＝×49+14＝
同理可得：S△ABD+S△ADC＝×25+14＝+14，
S△ACD+S△BDC＝×32+14＝8+14
∴S△ABC＝21+
11．【解答】解：（1）∵∠ADE＝15°，
∴∠FDE＝15°，∠CDF＝60°．
∵DC＝AD＝DF，
∴∠CFD＝60°．
又∠CFD＝∠DPC+∠FDE＝15°+∠DPC，
∴∠DPC＝45°．
（2）AP与PC垂直，理由如下：
∵A、F关于DE对称，
∴∠APD＝∠DPF．
设∠ADE＝x，可得∠FDE＝x，∠CDF＝90°﹣2x，
∵DC＝AD＝DF，
∴∠CFD＝45°+x．
又∠CFD＝∠DPC+∠FDE＝x+∠DPC，
∴∠DPC＝45°，即∠APF＝90°．
所以AP与PC垂直；
（3）点F始终在以点D为圆心，2为半径的圆上运动，根据两点之间线段最短，
可知当点D、F、B三点共线时，BF有最小值，最小值为BD﹣DF＝．
12．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
（2）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（3）如图所示，点P即为所求，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
将点A′（﹣4，﹣1），B（﹣1，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线A′B的解析式为y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
解得x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
13．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示，此时|PA﹣PB|的值最大，P点坐标为：（﹣2，0）．
14．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；
（2）∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴BP＝BE＝2，∠PBE＝90°，
∴PE＝PB＝2．
答：（1）△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；（2）PE为2．
15．【解答】解：（1）如图1，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE＝BF，∠AFB＝∠AED．
故答案为：BF，AED；
（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D＝∠ABE＝90°，
即点E、B、P共线，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠PAQ＝∠PAE，
在△APE和△APQ中
∵，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴PE＝PQ，
而PE＝PB+BE＝PB+DQ，
∴DQ+BP＝PQ；
（3）如图3，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK＝∠ADN＝45°，BK＝DN，AK＝AN，
与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN＝MK，
∵∠MBA+∠KBA＝45°+45°＝90°，
∴△BMK为直角三角形，
∴BK2+BM2＝MK2，
∴BM2+DN2＝MN2．
16．【解答】解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC，
∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
17．【解答】解：（1）旋转中心是点D．旋转角为90度．
（2）根据旋转的性质可得：△DAE≌△DCF，则DE＝DF，∠EDF＝∠ADC＝90°，
则△DFE的形状是等腰直角三角形．
（3）四边形DEBF的周长是BE+BC+CF+DF+DE＝AB+BC+DE+DF＝20；
面积等于正方形ABCD的面积＝16．
18．【解答】证明：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，OD＝OC＝4
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∴OA＝＝5
19．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS）
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到．
故答案为：A，90
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8
又∵DE＝3，
∴AE＝＝
由旋转性质得：
∴AE＝AF＝，∠EAF＝90°
∴△AEF的面积＝AE2＝
20．【解答】解：（1）作∠QBC＝∠ABP，BP＝BQ＝2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）连接PQ，
在Rt△PBQ中
∵BP＝BQ＝2，
∴PQ2＝BP2+BQ2＝22+22＝8，
在△PCQ中，
∵PC＝3，QC＝AP＝1，
∴PC2＝PQ2+QC2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°；
∵BP＝BQ＝2，∠PBQ＝90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，
∵∠PQC＝90°，
∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝45°+90°＝135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB＝∠BQC＝135°．
（3）如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H．
∵∠BQC＝135°，
∴∠CQH＝∠QCH＝45°，
∴CH＝QH，∵CQ＝QP＝1，
∴CH＝QH＝，
∴BH＝BQ+QH＝2+，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为5+2．
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