2025年九年级数学中考三轮冲刺训练四边形中的相似三角形综合问题（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练四边形中的相似三角形综合问题
1．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．
2．如图，点P是 ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交AD于点F，交CD的延长线于点G，已知．
（1）求的值．
（2）若四边形ABCD是菱形．
①求证：△APB≌△APD；
②若DP的长为6，求GF的长．
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BC上，且满足AE⊥BD；
（1）求证：AB2＝BC BE；
（2）若AO＝3，AE＝4，求AB的长．
4．如图，在 ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB．
（1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；
（2）求证：GE＝BG．
5．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE＝DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF GF＝28时，请直接写出CE的长．
6．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点G．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）求∠AGD的度数；
（3）若BG＝BC，求的值．
8．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°
①求证：MN＝BM+DN；
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．
9．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．
10．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．
（1）求证：△ADQ≌△AEQ；
（2）求证：PQ＝DQ+PB；
（3）当∠1＝∠2时，求PQ的长．
11．如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．
12．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF．
（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；
（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①求证：△AGC∽△KGB；
②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．
14．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
15．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．
16．已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE＝CF．
（1）求证：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME MB．
参考答案
1.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP＝∠F，
∴∠DAP＝∠F，
又∵∠APE＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
（3）∵△APE∽△FPA
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝2，EF＝6，
∴PF＝PE+EF＝2+6＝8，
∴PC＝4．
2．【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵．
∴设DF＝x，则AF＝2x
∴AD＝3x
∴BC＝AD＝3x
∵AD∥BC
∴
（2）①∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD，
AB＝AD
∴∠DAP＝∠BAP
又AP＝AP
∴△APB≌△APD（SAS）
②解：∵△APB≌△APD
∴DP＝BP＝6
∵
∴FP＝4
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC
∴
∴，
∴GF＝5
3.【解答】证明：如图所示：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝∠EHB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ABH+CBH＝90°，
∠EBH+∠BEH＝90°，
∴∠BEA＝∠ABH，
∴∠CAB＝∠AEB，
∴△ABE∽△CBA（AA），
∴，
∴AB2＝BC BE；
（2）设AB＝2x，由BC＝3x，
由证明（1）得△ABE∽△CBA，
∴，
又∵AO＝3，AE＝4，
∴
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴（2x）2+（3x）2＝62
解得：x＝，
∴AB＝．
4.【解答】（1）解：∵BE⊥AD，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝3，BE＝＝＝3，
∴S△ABE＝AE BE＝×3×3＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠FGB＝∠BED＝90°，∠FBG＝∠DBE
∴∠BFC＝∠BDE，
∴∠CBG＝∠BFG，
∵∠CGB＝∠BGF＝90°，
∴∠BCF＝∠DBE，
∴∠CBF＝∠BCG+∠CBG＝90°，
∵BE⊥AD，AB＝BD，
∴AE＝DE，
∵AB＝BD，CF＝AB，
∴CF＝BD，
在△DEB和△FBC中，，
∴△DEB≌△FBC（AAS），
∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，
设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，
S△BCF＝CF BG＝BF BC，
即：x BG＝x 2x，
∴BG＝x，
∴DG＝x﹣x＝x，
过G作GH⊥AD于H，如图所示：
sin∠EDG＝＝，即：＝，
∴GH＝x，
cos∠EDG＝＝，即：＝，
∴DH＝x，
EH＝DE﹣DH＝x﹣x＝x，
∴EG＝＝＝，
∴＝＝，
∴EG＝BG．
5.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC；
（2）如图，连接DF，
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，
∴BF＝CF＝EF＝EC，
∴∠ABF＝∠CEB，
∵∠DCE＝∠CEB，
∴∠ABF＝∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF；
（3）CE＝4．
理由如下：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵EH∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BEH＝90°，
∴∠FEH+∠CEB＝90°，
∵∠ABF＝∠CEB，
∴∠BAF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠AFE，
∴△EFG∽△AFE，
∴＝，即EF2＝AF GF，
∵AF GF＝28，
∴EF＝2，
∴CE＝2EF＝4．
6．【解答】（1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝AE＝10cm，
设AB＝a，BF＝b，
∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2＝100，ab＝48，
∴（a+b）2＝196，
∴a+b＝14或a+b＝﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10＝24cm；
（3）解：存在，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
∴AE2＝AO AP，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE2＝AC AP，
∴2AE2＝AC AP．
7．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，
∵CE＝DF，
∴△ADF≌△DCE（SAS）．
（2）解：∵△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠DAF+∠AFD＝90°，
∴∠AFD+∠CDE＝90°，
∴∠DGF＝90°，
∴∠AGD＝90°．
（3）解：∵BA＝BG＝BC，
∴∠BAG＝∠BGA，∠BGC＝∠BCG，
∵∠ABC＝90°，2∠AGB+2∠GBC＝270°，
∴∠AGB+∠CGB＝135°，
∴∠CGF＝45°，
∴∠CGE＝∠FGC＝45°，
∵∠ECF+∠EGF＝90°，
∴E，C，F，G四点共圆，
∴∠CEF＝∠CGF，∠CFE＝∠CGE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵DF＝EC，
∴FC＝DF，
∴DF＝CD＝AD，
∵tan∠DAG＝＝＝．
8．【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN．
（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，
∴∠AED＝∠FAB，
∵∠ABF＝∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠FCE＝90°，CF＝CE，
∴∠BCD﹣∠FCD＝∠ECF﹣∠FCD，即∠BCF＝∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△BCF≌△DCE，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵∠FCE＝90°，
∴FC∥DE，
∴∠CFG＝∠DEG，
∵∠CGF＝∠DGE，
∴△CFG∽△DEG，
∴＝（）2＝，
∴＝，
又由（1）知DE＝BF，
∴＝，
∵∠BFC＝90°，
∴tan∠FBC＝＝．
10．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠D＝∠AEF＝90°，AD＝AE，
∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中
，
∴△ADQ≌△AEQ（HL）；
（2）证明：与证△ADQ≌△AEQ类似，可证得：△AEP≌△ABP，
∴PB＝PE，QD＝QE，
∴PQ＝QE+PE＝DQ+PB；
（3）解：当∠1＝∠2时，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴Rt△ADQ∽Rt△PCQ，
∴∠AQD＝∠PQC，
∵△ADQ≌△AEQ
∴∠AQD＝∠AQE，
∴∠AQD＝∠PQC＝∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC＝180°，
∴∠AQD＝60°，
∴∠1＝30°
∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝，
∴QC＝3﹣，
∵∠C＝90°，∠PQC＝60°，
∴∠2＝30°，
∴PQ＝2QC＝6﹣2．
11．【解答】（1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵点O是线段FH的中点，
∴OF＝OH．
在△AOF和△COH中，有，
∴△AOF≌△COH（SAS），
∴∠AFO＝∠CHO，
∴AF∥CH．
同理可得：DH∥BF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）（方法一）设BD＝m，则AC＝2m，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝m2＝20，
∴m＝2，
即BD＝2，AC＝4．
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，
∴AB＝＝5．
∵四边形EFGH为矩形，
∴∠G＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△AGC，
∴，
∴CG＝4，AG＝8．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．
（方法二）设BD＝m，则AC＝2m，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝m2＝20，
∴m＝2，
即BD＝2，AC＝4．
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，
∴AB＝＝5，
∴HG＝＝4．
在Rt△BHG中，BH＝5，HG＝4，∠G＝90°，
∴BG＝3，
∴FG＝AB+BG＝8．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．
12．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
13．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠OAC＝∠OAB＝45°，
∴∠EAB＝∠EAF﹣∠BAF＝45°，
∴∠EAB＝∠BAF，
在△EAB和△FAB中，
，
∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE＝BF；
（2）①证明：∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA＝∠FCA，
又∵∠KGB＝∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
②当∠EBF＝90°时，∵BE＝BF，
∴∠BFE＝45°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝90°，
此时，点F和点O重合（不符合题意），
当∠EFB＝90°时，AB：BF＝：2．
当∠BEF＝90°时，AB：BF＝：2．
14．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3，
∵AD＝4，
∴，
∴．
15．【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
即AE2＝AO AP，
∵AO＝AC，
∴AE2＝AC AP，
∴2AE2＝AC AP．
（3）解：设AB＝xcm，BF＝ycm．
∵由（1）四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝10cm．
∵∠B＝90°，
∴x2+y2＝100．
∴（x+y）2﹣2xy＝100①．
∵△ABF的面积为24cm2，
∴xy＝24．即xy＝48 ②．
由①、②得（x+y）2＝196．
∴x+y＝14或x+y＝﹣14（不合题意，舍去）．
∴△ABF的周长为：x+y+AF＝14+10＝24（cm）．
16．【解答】（1）证明：在△BCE和△DCF中，
∵，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC（全等三角形的对应角相等），即∠EBC＝∠EDM，
在△BCE和△DME中，
∵，
∴△BCE∽△DME，
∴∠BCE＝∠DME＝90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；
（2）解：∵BC＝2，
∴BD＝2．
又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，
∴BD＝BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM＝FM，
∴CF＝2﹣2．
在△BMF和△DME中，
∠MBF＝∠MDE，∠BMF＝∠DME＝90°，
∴△BMF∽△DME，
∴＝，
∴＝，即ME MB＝MD2，
∵DC2+FC2＝（2DM）2，即22+（2﹣2）2＝4DM2，
∴DM2＝4﹣2，即ME MB＝4﹣2．
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