2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中锐角三角函数综合训练（含解析）

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2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中锐角三角函数综合训练
1．如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE＝EC，过点B的切线与AF的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长CE交AD于H
（1）求证：H为三角形ADE的外心；
（2）若cos∠C＝，DF＝9，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，设△AHE与△DBC的面积分别为S1，S2，求的值．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若DE＝6，tan∠CDA＝，求AD的长．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在AB上，作DE⊥AB交AC的延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF交DE于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）若AB＝10，BE＝2.8，sin∠ADE＝，求CF的长．
5．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA＝2，AE＝4，求AF的长．
6．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若tanE＝，BD＝1，求⊙O半径的长度．
7．如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接AE．
（1）求证：∠CAB＝∠CAD；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AE＝5，求线段PC的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．
9．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E．
（1）求证：PC与 ⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．
10．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若BD＝4，sin∠DBF＝，求DE的长．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD、DE于点H、点G，tan∠BAD＝
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：DG＝GH；
（3）若DG＝5，求⊙O的半径长．
12．如图，AB是⊙O直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，若AD＝CD，求sin∠OCA的值．
13．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC，弦BD∥OC，连接BC，DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若cos∠ACB＝，求tan∠CBD的值．
15．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
参考答案
1.【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
∵HF＝HG，∴∠1＝∠HGF．
∵∠HGF＝∠3，∴∠3＝∠1．
∵OF＝OB，∴∠B＝∠2．
∴∠B+∠3＝90°．
∴∠BEG＝90°．
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB＝90°．
即∠2+∠4＝90°．
∴∠HGF＝∠1＝∠4＝∠A．
在Rt△AFB中，AB＝＝＝4．
∴⊙O的半径长为2．
2.【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE＝EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE＝90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG＝90°，
∴∠CBE＝∠CEG，
∵∠CBE＝∠CDA，∠CEG＝∠DEH，
∴∠CDA＝∠DEH，
∴HD＝EH，
∵∠A+∠ADC＝90°，∠AEH+∠DEH＝90°，
∴AH＝EH，
∴AH＝HD，
又∵∠AED＝90°，
∴H为三角形ADE的外心；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF＝∠C，
∵cos∠C＝，DF＝9，
∴tan∠DBF＝，
∴BD＝＝12，
∵∠A＝∠C，
∴sin∠A＝，
∴AB＝＝20，
∴⊙O的半径为10；
（3）解：∵BD＝12，AB＝20，∴AD＝16，
则DE×AB＝BD×AD，
即DE＝＝，
∵DE2＝BE×AE，
∴（）2＝BE（20﹣BE），
解得：BE1＝12.8（不合题意舍去），BE2＝7.2，
∵△AHE与△DBC的面积分别为S1，S2，
∴S1＝××AE×DE＝×12.8×，
S2＝×DC×BE＝××2×7.2，
∴＝＝．
3.【解答】解：（1）连接BC，OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠E＝∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠E，
∵∠ABC＝∠BDC+∠DCB，∠DCE＝∠A+∠CDB，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠E，
∴CD＝DE；
（2）由（1）知，CD＝DE＝6，
∵∠OCD＝∠ADE＝90°，
∴∠CDO+∠COD＝∠CDO+∠CDE＝90°，
∴∠COD＝∠CDE，
∴tan∠CDA＝＝，
∴OC＝8，
∴OD＝＝10，
∴AD＝10+8＝18．
4．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A，
∴∠A+∠2＝90°，
而DE⊥AE，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠2＝∠D，
∴FC＝FD；
（2）解：连接BC交DE于G，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠B，
∵AB＝10，BE＝2.8，
∴AE＝7.2，
在Rt△ADE中，∵sin∠ADE＝＝，
∴AD＝＝12，
在Rt△ACB中，sinB＝＝，
∴AC＝×10＝6，
∴CD＝12﹣6＝6，
∵∠D+∠DGC＝90°，∠2+∠FCG＝90°，
∴∠FGC＝∠FCG，
∴CF＝DF＝FG，
在Rt△CDG，sinD＝＝，
设CG＝3x，则DG＝5x，
∴CD＝4x，
∴4x＝6，解得x＝，
∴DG＝5x＝，
∴DF＝DG＝．
方法二：连接OF．设DF＝CF＝x，由题意DE＝9.6，OE＝2.2
则有：（9.6﹣x）2+2.22＝52+x2，
解得x＝．
∴DF＝．
5．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE．
∴AE⊥DE；
（2）解：连接CF．
∵＝，
∴∠CAB＝∠CAE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ACE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵tan∠CBA＝tan∠ACE＝2＝，
∵AE＝4，
∴EC＝2，
∵EC2＝EF EA，
∴22＝EF 4，
∴EF＝1，
∴AF＝AE﹣EF＝3．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°．
∴∠E+∠ODC＝90°．
又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠BCD＝∠E．
又∵∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴＝＝．
∴BC2＝BD BE．
∵tanE＝，
∴＝．
∵△BCD∽△BEC，
∴＝＝＝．
∴BC＝3BD＝3，BE＝3BC＝9，
∴ED＝BE﹣BD＝9﹣1＝8，
∴OD＝ED＝4，
即⊙O半径的长度为4．
7．【解答】（1）证明：∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵∠BCP+∠OCB＝∠BCP+∠OBC＝∠BAC+∠OBC＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，
∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：∵＝，
∴AE＝BE＝5，
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
AB＝BE＝10，
∴OB＝OC＝5，
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
设PB＝2x，则PC＝3x，
在Rt△POC中，（2x+5）2＝（3x）2+52，
解得x1＝0（舍），x2＝4，
∵x＞0，
∴x＝4，
∴PC＝3x＝3×4＝12．
9．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴＝．
又∵tan∠ABC＝，
∴，
∴，
设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与 ⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是 ⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵＝，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝5．
11．【解答】解：（1）连接OD，
∵BD平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABD＝∠DBF，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠DBF＝∠ODB，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴FD是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵BD平分∠ABC交AC于点E，
∴∠DBF＝∠ABD，
在Rt△ABD中，BD＝4，
∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝，
∴AD＝3，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，
在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，
∴DE＝．
12．【解答】（1）证明：如图①中，连接OD．∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∴∠ODE+∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵FG⊥OA，OD⊥DE，
∴∠AFH＝∠ODG＝90°，
∴∠OAD+∠AHF＝∠ODA+∠HDG＝90°，
∴∠AHF＝∠HDG，
∵∠AHF＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠GDH，
∴DG＝GH；
（3）∵tan∠BAD＝＝，
设BD＝3x，AD＝4x，
∴AB＝5x，
∵点F是OA中点，
∴AF＝x，
FH＝AF tan∠BAD＝x ＝x，AH＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由（2）可知，GH＝GD＝5，
过点G作GM⊥HD，交HD于点M，
∴MH＝MD，
∴HM＝HD＝×x＝x，
∵∠FAH+∠AHF＝90°，∠MHG+∠HGM＝90°，
∴∠FAH＝∠HGM，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x＝5，
∴x＝，
∴AO＝，
∴⊙O的半径长为．
13．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD．
AB是直径，则BD⊥AC．
∵AD＝CD，
∴△BCD≌△BDA，BC＝AB．
BC是切线，点B是切点，
∴∠ABC＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A＝45°，OE＝AO．
由勾股定理得，CO＝OB＝AO，所以sin∠ACO＝＝．
14．【解答】解：（1）∵∠ABT＝45°，AT＝AB．
∴∠TAB＝90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA＝AB＝2OA，
设OA＝x，则AT＝2x，
∴OT＝x，
∴TC＝（﹣1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴＝＝，即＝＝，
∴CD＝（1﹣）x，TD＝2（1﹣）x，
∴AD＝2x﹣2（1﹣）x＝x，
∴tan∠TAC＝＝＝．
或可以使用切割线定理：延长TO交圆与点G，连接AG．tan∠TAC＝tan∠G＝＝＝＝．
15．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC为切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠ABC，∠DOC＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠DOC，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC＝∠OAC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：作OE⊥CB于E，如图，
在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，
设AC＝3x，BC＝4x，
∴AB＝4x，
∴sin∠ABC＝＝，
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝＝，
∴OB＝ 2x＝，
∴BE＝＝x，
∴CE＝BC﹣BE＝x，
在Rt△OCE中，tan∠OCE＝＝＝，
∵OC∥CD，
∴∠CBD＝∠OCB，
∴tan∠CBD的值为．
16.【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，
∵＝，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半径为．
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