2025年九年级数学三轮冲刺训练圆的综合题训练（含解析）

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2025年九年级数学三轮冲刺训练圆的综合题训练
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．
（1）连接AD，则∠OAD＝　 　°；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．
3．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
4．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO AD，求证：四边形ABDC是菱形．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC＝CD，或C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点，
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AE＝4.8，求CF长；
（3）若AB＝4ED，求cos∠ABC的值．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE＝2，BF＝4，求的值．
7．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．
（1）⊙O的半径为　 　．
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．
8．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
10．如图，AB 是⊙O的直径，∠DAB的角平分线AC交⊙O于点C，过点C作CD⊥AD于D，AB的延长线与DC的延长线相交于点P，∠ACB的角平分线CE交AB于点F、交⊙O于E．
（1）求证：PC与 ⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE，求证：△ABC≌△EBF．
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，求DE EF的值．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于D，过D作⊙O的切线EF交AC于E，交AB延长线于F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）若BD＝2，tan∠CDE＝，求BF的长．
13．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC＝∠B．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF AB＝12，求AC的长．
14．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．
15．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD＝∠BDC；
（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．
16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC上一点且满足PA＝PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
17．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝4，求CE CP的值．
18．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF＝CE；
（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）
参考答案
1．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝45°，
∵O是AC的中点，
∴∠ODC＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠DCA＝45°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∴AD＝CD＝5，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝6，
∵∠BAD＝∠DCE，
∵∠ABD＝∠CDE＝45°，
∴△ABD∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝．
2．【解答】解：（1）如图1，连接OD，AD
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴AB垂直平分CD
∵M是OA的中点，
∴OM＝OA＝OD
∴cos∠DOM＝＝
∴∠DOM＝60°
又：OA＝OD
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD＝60°
故答案为：60°
（2）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴CM＝MD．
∵M是OA的中点，
∴AM＝MO．
又∵∠AMC＝∠DMO，
∴△AMC≌△OMD．
∴∠ACM＝∠ODM．
∴CA∥OD．
∵DE⊥CA，
∴∠E＝90°．
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°．
∴DE⊥OD．
∴DE与⊙O相切．
（3）如图2，连接CF，CN，
∵OA⊥CD于M，
∴M是CD中点．
∴NC＝ND．
∵∠CDF＝45°，
∴∠NCD＝∠NDC＝45°．
∴∠CND＝90°．
∴∠CNF＝90°．
由（1）可知∠AOD＝60°．
∴．
在Rt△CDE中，∠E＝90°，∠ECD＝30°，DE＝3，
∴．
在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠CDN＝45°，CD＝6，
∴．
由（1）知∠CAD＝2∠OAD＝120°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CAD＝60°．
在Rt△CNF中，∠CNF＝90°，∠CFN＝60°，，
∴．
3．【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2；
②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O时AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．
4．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，
∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，
∵AB2＝AO AD，
∴＝，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
5．【解答】（1）证明：连接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA＝90°
∵OC＝OA
∴∠OCA＝∠OAC
又∵BC＝CD
∴∠OAC＝∠EAC
∴∠OCA＝∠EAC
∴∠ECA+∠OCA＝90°
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF是⊙O的切线
∴∠OCF＝90°
又∵∠AEF＝90°∠EFA＝∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴
即
解得：OF＝5
在Rt△OCF中
CF＝＝＝4
（3）解：∵EF是⊙O的切线
∴∠ECD＝∠EAC
又∵BC＝CD
∴∠EAC＝∠BAC
∴∠ECD＝∠BAC
又∵AB是直径
∴∠BCA＝90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA＝∠DEC＝90°
∠ECD＝∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴
又∵AB＝4DE，CD＝BC
∴
∴BC＝
∴cos∠ABC＝＝
6．【解答】（1）证明：连接OF，如图1，
∵OA∥EF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵OE＝OF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△AOC和△AOF中，
，
∴△AOC≌△AOF，
∴∠ACO＝∠AFO＝90°，
∴OF⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，在Rt△OFB中，设OE＝OF＝r，
∵OF2+BF2＝OB2，
∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，
∴OB＝5，
设AC＝AF＝t，则AB＝4+t，
在Rt△ACB中，t2+82＝（t+4）2，解得t＝6，
即AC＝6，
∴AO＝＝3，
∵AC2＝AO AG，
∴AG＝＝，
∴AO＝AG，
∵OA∥EF，
∴△BEF∽△BOA，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵EF∥GA，
∴△PEF∽△PAG，
∴＝＝2．
7．【解答】（1）解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
故答案为：4；
（2）证明：如图1，连接OC，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴四边形OBAC为菱形，
∴OC∥BD，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
（3）解：如图2，连接BE，
∵＝，
∴OA⊥BC于H，
∵∠ABC＝30°，
∴AH＝AB＝2，
由勾股定理得，BH＝＝2，
∴BC＝2BH＝4，
在Rt△BDC中，∠ABC＝30°，
∴CD＝BC＝2，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EBA＝90°，
∴BE＝AB tan∠BAE＝4，
∵∠DBE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥BE，
∴＝＝2，
∠DAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴DA＝AC＝AB，
∴＝，
∴AF∥CD，
∴＝＝，即＝，
解得，AF＝．
8．【解答】解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．
∵F是中点，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如图2，联结BF．
∵AF⊥OC，垂足为点＝D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即线段OD的长为．
9.【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．
10.【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴PC与 ⊙O相切；
（2）∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠CAF＝∠PCB，
∴∠ACF+∠CAF＝∠BCF+∠PCB，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF．
（3）∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，tan∠ABC＝＝，
∴BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴OB＝OE＝5，
∵∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴EO⊥AB，
∴BE＝＝5．
11.【解答】解：（1）BD与⊙O相切，如图1，连接OB．
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；
（3）解：如图2，连接CF，
∵△ABC≌△EBF，
∴BC＝BF，
∵∠CBF＝90°，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴BF＝BC＝+1，
∴EC﹣BC﹣BE＝，
∵∠CED＝∠BEF，∠CDE＝∠EBF，
∴△CED∽△FEB，
∴＝，
∴DE EF＝BE EC＝
12．【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图：
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
又∵OB＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．
（2）解：由（1）得，
∵DE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CDE+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠DAC，
∴，
∴，
∴．
在Rt△ABD中，，
∴OA＝OD＝OB＝5，AC＝AB＝10，
在Rt△CDE中，DE2+CE2＝CD2，
∴2，
解得CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，
∵∠AEF＝∠ODF＝90°，∠F＝∠F，
∴△AEF～△ODF，
∴，即，
解得．
13．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD＝90°；
∴∠CAD+∠D＝90°
∵∠PAC＝∠PBA，∠D＝∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∴∠PAD＝90°，
∴PA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAD＝90°，
∵∠CAD+∠D＝90°，
∴∠D＝∠ACF，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAC＝∠CAF，
∴△ABC∽△ACF，
∴，
∴AC2＝AF AB
∵AF AB＝12，
∴AC2＝12，
∴AC＝2．
14．【解答】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA＝PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ＝∠PBQ＝90°．
在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5．
由QA2+OA2＝OQ2，得QA＝4．
在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ+OB＝8，
由QB2+PB2＝PQ2，得82+PB2＝（PB+4）2，
解得PB＝6，
∴PA＝PB＝6，
∵OP⊥AB，
∴BF＝AF＝AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF＝PA＝3，
∴△DFE∽△QEA，
∴＝＝，
设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE+FE＝7t，
∴BE＝BF+FE＝AF+FE＝7t+3t＝10t，
∴＝＝．
15．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OBD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDC．
（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝．
∵BD＝AD，
∴＝，
∴＝，
又∵AC＝3，
∴CD＝2．
16．【解答】（1）证明：如图1，连接OP，
∵PA＝PB，
∴，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图2，过A作AH⊥BC于H，连接OA，OP，OP交AB于E，
∵AB＝AC，
∴BH＝BC＝＝4，
Rt△ABH中，tan∠ABC＝＝＝，
∴AH＝2，AB＝＝2，
∴BE＝，PE＝，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣，
由勾股定理得：，
r＝，
答：⊙O的半径是．
17．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，
∵∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝120°，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PAO＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，
∵AB＝4，．
∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴，
∴CP CE＝CA2＝（2）2＝8．
18．【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，
∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∵∠BCP＝∠BCE，
∴∠ACF＝∠ACE，
∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF＝CE．
解法二：证明：连接AC．
∵OA＝OC
∴∠BAC＝∠ACO，
∵CD平行AF，
∴∠FAC＝∠ACD，
∴∠FAC＝∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴CF＝CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，
∴∠MCB＝∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴＝，
∴BM2＝CM PM＝3a2，
∴BM＝a，
∴tan∠BCM＝＝，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，
∴的长＝＝π．
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