直线与方程专项训练-2025年高考数学二轮专题（含解析）

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直线与方程专项训练-2025年高考数学二轮专题
一、单选题
1．若三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与互相垂直，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
6．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ）
A． B． C． D．
7．若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在直角坐标系xOy中，，圆与y轴相切．P为圆上的动点，且不在x轴上，的垂直平分线与直线交于点，则（ ）
A． B．
C．直线与的斜率之积为3 D．若，则
10．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为
11．已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．直线的方向向量与向量共线
C．若直线与C有公共点，则
D．当时，则直线与圆C所交弦长为
三、填空题
12．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ．
13．已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ．
14．已知为圆的一条直径，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ．
四、解答题
15．已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为.
(1)求m；
(2)若，证明：四边形ABCD是等腰梯形.
16．已知直线．
(1)求直线所过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
17．已知直线：，：．
(1)若，求m的值．
(2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程.
18．已知直线.
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
19．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点．
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值．
《直线与方程专项训练-2025年高考数学二轮专题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B C A B C BCD AD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可.
【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在，
所以，则，解得．
故选：B.
2．B
【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，
当时，直线的斜率不存在，不满足；
当时，直线的斜率，
由，得，即，解得．
故选：B
3．D
【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离.
【详解】有已知直线与直线平行，
则，即，
此时直线与直线，即满足平行，
则两直线间距离，
故选：D.
4．B
【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解．
【详解】由，
所以的斜率为，则该直线的倾斜角为．
故选：B．
5．C
【分析】当时，将函数转化为直线上点到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可.
【详解】解：因为，
当时，；
当时，如图所示：
设，于，
则，
由图可知，的最小值为点到直线的距离.
因为直线的方程为，
即，
所以，
故的最小值为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为直线直线上点到直线的距离与到点的距离之和.
6．A
【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解.
【详解】易知，由，得到，
由已知一般式方程为，所以有，
则，解得，
又，，
所以，则，
故选：A.
7．B
【分析】根据导数的几何意义求出该切线的斜率，结合线线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
所以该切线的斜率为，
又该切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B
8．C
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据圆的方程可知不为定值，即可求解A,根据两点距离公式即可化简求解B，根据垂直平分线的性质可判断在双曲线上，即可根据两点斜率公式求解C，根据正切的和差角公式化简可得根据求解即可求解D.
【详解】对于A,由题意可知圆，而不为定值，故A错误，
对于B,设，则，
故，
故，B正确，
对于C,根据垂直平分线的性质可得，当在同侧时，，
当在两侧时，，
因此,故在双曲线上，
设，则，所以与的斜率之积为，故C正确，
对于D,根据对称性，不妨设位于第一象限，设直线与的倾斜角分别为，
由C可知，又故，
因此故
解得因此，故，D正确，
故选：BCD
10．AD
【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.
【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】A令即可；B求出直线的方向向量，再判断与是否共线；C利用圆心到直线的距离；D利用公式即可.
【详解】当时，，则直线恒过定点，故A正确；
直线的方向向量为，若与共线，则，得，
故只有当时才与共线，故B错误；
若直线与C有公共点，且圆的半径，
则圆心到直线的距离，
解得或，故C正确；
当时，圆心到直线的距离，
因圆的半径，则弦长为，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据直线与关于直线对称，可求的值.
【详解】由题意，直线与直线关于直线对称，
所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，
所以，所以，
所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以．
故答案为：；
13．
【分析】把共线的线段之积转化为向量之积，从而用坐标来进行计算，最后利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值.
【详解】设，则，则直线的方程为，所以．
，
当且仅当时等号成立，此时直线的方程为．
故答案为：.
14．1
【分析】分析得到，当垂直于直线时，取最小值，再利用点到线的距离公式即可求得结果
【详解】如图所示，,
当垂直于直线时，取最小值，故有最小值，
即．所以的最小值为1．
故答案为：1
15．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）先确定直线l斜率，从而求出l的方程，再由点到直线的距离公式求解；
（2）由，得，且，即可得证.
【详解】（1）根据题意，以向量为方向向量的直线l斜率为，
所以l的方程为，即，
点到直线l的距离为，
得或；
（2）由（1）得或，
当时，，
当时，，
由，得，
又，，则，
即，且，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由，即，
则，解得，所以直线过定点.
（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，
此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.
（3）已知直线，且由题意知，

令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
17．(1)0
(2)
【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解；
（2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程.
【详解】（1），解得或
当时，：，：满足；
当时，：，：,即，两直线重合，舍去；
故.
（2）由直线：，
即，令，可得，
所以定点，
由：，令，可得，
可知定点，
当时，联立与的方程得，
解得，
，从而，
又直线过点，
故直线的方程为，即.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；
（2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以，直线的方程为，即.
（2）直线，设直线的方程为，
因为直线与直线之间的距离为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
因此直线的方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】(1)设的中点为，求出点的坐标，计算直线的斜率，即可得直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程；
（2）设，由得曲线的方程，最后由曲线和圆外切即可求解.
【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有，
则，，设直线的斜率，则，
所以，
所以线段的垂直平分线的方程为.
（2）设，则由已知有，
由有：，
所以圆，圆心，
圆，圆心，
因为圆和圆外切，所以，解得，
因为，所以.
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