第一章三角形的证明单元复习题（含解析）北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元复习题
一、选择题
1．如图，在中，，，且，则BD长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是（　　）
A．45° B．30° C．60° D．15°
3．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于，两点，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，的平分线分别交于点，，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A． B．
C． D．或
6．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
7．在中，，，，点是的中点，则（　　）cm
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
8．如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在 （　　）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为　 　.cm .
12．在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为　 　．
13．如图，四边形ABDE是矩形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE=AC，∠ADE=62° ，则∠BAF的度数为　 　°
14．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　．（只填序号）
三、解答题
15．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
16．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E．求证：；
17．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．
18．已知：如图，是的角平分线.
求证：.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
20．如图，已知中，垂直平分交于点，交于点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的周长．
21．已知：如图，在中，于点为上一点，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
23．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.
（1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质减解答即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ACP中，∠C=90°，AP=10，CP=5，
∴∠CAP=30°，
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAP=60°，
∴∠B=90°-∠CAB=30°，
故答案为：B.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得∠CAP=30°，由角平分线定义得∠CAB=2∠CAP=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵MN是AB边的垂直平分线，
∴MA=MB，
∴ △ACM的周长AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC，
∵ AC=6，BC=10，
∴△ACM的周长=AC+BC=16，
故答案为：C.
【分析】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠BAD=∠BCD，AD∥BC，AB=CD；【A正确】
∵的平分线分别交于点，
∴ ∠BAE=∠FAE=∠DCF=∠BCF，【D正确】
∵ AD∥BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，∠FAE=∠BEA
∴ ∠BCF=∠BEA
∴ AE∥CF 【C正确】
综上所述，A、C、D正确，B错误
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，熟悉平行四边形的基础性质和角平分线的性质，即可找出错误结论。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：若是腰长时，等腰三角形的边长分别为、、；
∵，不能构成三角形；
∴等腰三角形的边长分别为、、；
∴这个三角形的周长=++=
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，判断三角形的三边长；根据三角形的周长公式和二次根式的加法计算即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：①若顶角的外角等于100°，那么顶角等于80°，两个底角都等于50°；②若底角的外角等于100°，那么底角等于80°，顶角等于20°．
故答案为：D．
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和等于180°进行计算求解即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴三角形ABC为直角三角形，且BC为斜边，
∵D是BC的中点，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半即可求出AD长度.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，如图
∵DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD=12
∴∠DBE=∠A=30°
∵，
∴∠ABC=90° ∠A=60°
∴∠CBD=∠ABC ∠DBE=30°
∴
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC的三条边的垂直平分线上.
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等，可得答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】由作图可知：AD平分∠CAB
∴ ∠CAD=∠BAD，·······················································A正确，不合题意；
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=90°=∠C
∵ AD为公共边
∴
∴ CD=DE，····································································B正确，不合题意；
∵ AC=3，AB=5，∠C=90°
∴ BC=4
由B知：AE=AC=3，
∴ BE=2
设CD=DE=x，则BD=4-x
∴
即
解得x=
∴ CD=DE=，BD=，···········································C正确，不合题意；
∴，·······D错误，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质及三角形全等。根据题中描述，能明确AD是角平分线是解题关键。根据勾股定理求解即可。
11．【答案】4 或12
【解析】【解答】解：矩形如下图：
当AE=3，DE=1时；
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠AEB
∴AE=AB=3
∴矩形的面积为（3+1）×4=12
当AE=1，DE=3时；
同理，可得AE=AB=1；
∴矩形的面积为1×（3+1）=4
综上所述，矩形的面积为4或12.
故答案为：4或12.
【分析】根据矩形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得，∠AEB=∠EBC；根据角平分线的性质和等量代换原则，可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边AE=AB=3或AE=AB=1；根据矩形的面积公式，即可求出其面积.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵点A（8，0），点B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∵DC垂直平分AB，
∴BC=AC，
设OC=x，则AC=BC=8-x，
∵OB2+OC2=BC2即42+x2=（8-x）2
解之：x=3，
∴点C（3，0）
故答案为：（3，0）.
【分析】连接BC，利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用线段垂直平分线的性质可证得BC=AC，设OC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点C的坐标.
13．【答案】34
【解析】【解答】解： 四边形ABDE是矩形 ，
∴AE=AC，AD=AD
AC⊥DC于点C，∴
∴
∴
.
故答案为：34
【分析】根据矩形得性质可得证明，由全等三角形得性质可得，由，计算求解即可.
14．【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵为的角平分线 ，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=BE，BD=BC，
∴ （SAS），故①正确；
∴∠BCE=∠BDA，AD=CE
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠BDA+∠BDC=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故②正确；
∵BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠DBC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠AEB，
∴AE=AD，
∴AE=AD=CE，故③正确；
过点E作EG⊥BC，
∵为的角平分线 ，EF⊥AB，
∴EF=EG，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）
∴BG=BF，
∵AE=CE，
Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确.
故答案为： ①②③④ ；
【分析】根据AAS证明，可得∠BCE=∠BDA，AD=CE，由等腰三角形的性质及邻补角的定义可得∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，据此判断②；根据顶角相等的等腰三角形底角相等可得∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，从而得出∠ADE=∠AEB，可得AE=AD，据此判断③；先证Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），可得BG=BF，再证Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得AF=CG，利用线段的和差可得BA+BC=2BF，据此判断④.
15．【答案】解：设AD=xcm ，
∵BD2+CD2=122+162=400 BC2=202=400
∴BD2+CD2=BC2
∴△BDC是直角三角形
∴∠BDC=90°， ∠ADC=90°
在 Rt△ACD中，设 AD=x，
∵AD2+CD2 =AC2
∴x2+162=(x+12)2
解得x=
∴AB=12+ =
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= + +20=
【解析】【分析】先求出BD2+CD2和BC2，利用勾股定理的逆定理，证明△BDC是直角三角形，在 Rt△ACD中 ，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得出AD的长，再求出AB的长，即可求出数据线ABC的周长。
16．【答案】证明：，
，
平分，，
，
在和中，
，
．
【解析】【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用“HL”证出即可.
17．【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= =70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
18．【答案】证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分，DE⊥AB，，
∴DE=DC，
∵在直角三角形BED中，，
∴，
∴.
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=DC，由含30°角的直角三角形的性质可得BD=2DE，据此证明.
19．【答案】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°-70°-70°＝40°
【解析】【分析】（1）由平分线的概念可得∠BCD＝∠ECD．根据平行线的性质可得∠EDC＝∠BCD，则∠EDC＝∠ECD，据此证明；
（2）由（1）可得∠ECD＝∠EDC＝35°，由角平分线的概念可得∠ACB＝2∠ECD＝70°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝70°， 然后利用内角和定理进行计算.
20．【答案】（1）解：∵，
∴==，
∵垂直平分，
∴DA=DC，
∴，
∴=；
（2）解：由（1）知：DA=DC，
∴的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=10+12=22，
∴的周长为22．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和为180°求出∠C=40°，再根据线段垂直平分线求出 DA=DC，最后计算求解即可；
（2）根据题意，利用三角形的周长公式计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵于点，
∴，
在与中，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据三角形全等的判定（HL）即可求解；
（2）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出BD，再结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：令，则，解得；
令，则；
∴点A的坐标为、B的坐标为；
（2）解：过点C作于点E，
∵点A的坐标为、B的坐标为，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴；
（3）解：如图，作轴于点F，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；
∴点D的坐标为或或或．
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B的坐标；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，根据点A、B的坐标可得OA、OB、AB的值，有角平分线的性质可得OC=CE，利用HL证明△AOC≌△AEC，得到AE=OA=3，设OC=CE=x，则BE=2，BC=4-x，接下来利用勾股定理计算即可；
（3）作DF⊥y轴于点F，由题意可得AB=BD，∠ABD=90°，根据同角的余角相等可得∠ABO=∠BDF，利用AAS证明△ABO≌△BDF，得到DF=OB=4，BF=OA=3，据此可得点D的坐标，同理可得点D1、D2、D3的坐标.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠DAG＝30°，
∴∠BAG＝60°
由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°，
在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3，
∴BE＝
（2）解：如图4，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝.
（3）解：BE＝
【解析】【解答】解：(3)如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4，
∴当CF最小时，△CEF的周长最小，
∵CF≥AC-AF，
∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，
由折叠知，AF＝AB＝3，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4，
∴AC＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2，
∴BE2+22＝（4﹣BE）2，
∴BE＝.
【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠BAG=90°-∠DAG=60°， 由折叠知∠BAE＝∠BAG＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）连接GE， 根据线段的中点及折叠的性质可得BE＝EF=EC ，根据HL证明Rt△GFE≌Rt△GCE，可得
GF＝GC；设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x，在Rt△ADG中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）由折叠知∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，可得△CFE周长=EF+CE+CF＝BE+CE+CF＝BC+CF＝AD+CF＝4+CF，从而得出当CF最小时，△CEF的周长最小，当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出BE.