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【2025中考数学专题复习】
简单几何证明（一证一求）
1．（本题5分）如图，已知，，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．（本题5分）如图，在中，，点是边上的动点（不与点，点重合），作于点于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)计算的最小值．
3．（本题5分）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．（本题5分）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．（本题5分）如图，点，在上，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，，求的度数．
6．（本题5分）如图，在中，，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，；
②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；
③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．
(1)若，求的长；
(2)求证：是等腰三角形．
7．（本题5分）如图，，，分别是和的角平分线，．
(1)求证：；
(2)能否判定？若能，请证明：若不能，说明理由．
8．（本题5分）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心的半圆与边相切于D点，分别交，于点E，F．
(1)求证：点D平分；
(2)当，时，求的长．
9．（本题5分）如图，中，点D，E，F分别是各边中点，连接、、、，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
10．（本题5分）如图，△ABC内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积．
11．（本题5分）如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
12．（本题5分）如图，以为直径作，弦，连接并延长交圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．（本题5分）如图，矩形的对角线与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
14．（本题5分）如图，是的外接圆，为直径，点为上一点，且，过点作直线，直线交延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若垂直平分，垂足为点，，求阴影部分的面积．
15．（本题5分）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)点为上一点，平分，且，求的度数．
16．（本题5分）如图，已知且，、是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
17．（本题5分）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
18．（本题5分）如图，在中，对角线，相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，四边形的周长为10，，，求的长．
19．（本题5分）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
(1)证明：；
(2)连接，证明：四边形是菱形．
20．（本题5分）如图，在中，D是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．（本题5分）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．（本题5分）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，是弧的中点，与延长线的交点为，连接对角线，作交于点，垂足为点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的半径为，且，求的长．
23．（本题5分）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
24．（本题5分）如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若半圆的半径为，，求的长．
25．（本题5分）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
26．（本题5分）如图，Rt中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
27．（本题5分）如图，是的直径，是位于两侧圆上的点，连接，作，交延长线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求的直径．
28．（本题5分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
29．（本题5分）如图，是的直径，点C是上的动点，平分交于点D，交于点M，过点D作交延长线于点N．
(1)求证：；
(2)若时，求线段的长．
30．（本题5分）如图，四边形为菱形，经过A，C两点，且与相切于点A，与相交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若菱形的边长为8，的半径为4，求的长．
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【2025中考数学专题复习】
简单几何证明（一证一求）
1．（本题5分）如图，已知，，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2），，
，
．
，
．
2．（本题5分）如图，在中，，点是边上的动点（不与点，点重合），作于点于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)计算的最小值．
（1）证明∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∴当时，有最小值，即此时最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
3．（本题5分）如图，是的直径，为圆上两点，，垂足为点，连接并延长到点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（1）证明：，，
，
，
是的直径，
是的切线；
（2）解：连结，
是的直径，
垂直平分CD
，
，
，
，
，
的长．
4．（本题5分）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：点E是边的中点，
∵
；
（2），，
，
5．（本题5分）如图，点，在上，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，，求的度数．
（1）证明：，
，
即．
又，
．
（2）解：，
，
又，
，
．
6．（本题5分）如图，在中，，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，；
②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；
③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．
(1)若，求的长；
(2)求证：是等腰三角形．
（1）解：由作图可知：垂直平分，
∵，，
∴
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
7．（本题5分）如图，，，分别是和的角平分线，．
(1)求证：；
(2)能否判定？若能，请证明：若不能，说明理由．
（1）证明：，分别是和的角平分线，
，．
，
．
，
，
∴，
；
（2）解：能判定．
理由如下：，
．
，
，
．
8．（本题5分）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心的半圆与边相切于D点，分别交，于点E，F．
(1)求证：点D平分；
(2)当，时，求的长．
（1）证明：连接，则，
∴．
∵与相切，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即点D平分；
（2）解：连接，则．
∵，
∴，
在中，由，
得：，
∴的半径，
∴的长为．
9．（本题5分）如图，中，点D，E，F分别是各边中点，连接、、、，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵点D，E，F分别是各边中点，
∴， ， ，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点D，E，F分别是各边中点，，
∴，，
∴，
∴，
在直角中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
在直角中，根据勾股定理可得：，即，
解得：；
10．（本题5分）如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积．
（1）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
11．（本题5分）如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
（1）证明：在中，，
又∵C是中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：在矩形中，，
∴，
．
12．（本题5分）如图，以为直径作，弦，连接并延长交圆于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴．
13．（本题5分）如图，矩形的对角线与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
（1）解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵E为的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）在矩形中，
，
∴．
又∵，四边形是平行四边形，
∴是等边三角形．四边形是菱形
∴，，，
在和中，
∵，
∴，．
∴．∴．
14．（本题5分）如图，是的外接圆，为直径，点为上一点，且，过点作直线，直线交延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若垂直平分，垂足为点，，求阴影部分的面积．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：连结、，
垂直平分，
，
，
为等边三角形．
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
．
15．（本题5分）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)点为上一点，平分，且，求的度数．
（1）证明：设与交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
16．（本题5分）如图，已知且，、是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（本题5分）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
为直径，
，即，
∴，
为半径，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则
由（1）得，
，，
，
在中，，
，
解得，
∴的半径为．
18．（本题5分）如图，在中，对角线，相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，四边形的周长为10，，，求的长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∴四边形的周长，
，
， ，
∵四边形是平行四边形，
∴
，
．
19．（本题5分）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F．
(1)证明：；
(2)连接，证明：四边形是菱形．
（1）解：∵四边形是矩形，
．
∵点O是的中点，
．
又
；
（2）由（1）已证，
，
∵四边形是矩形，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
20．（本题5分）如图，在中，D是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：，
，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的长为14．
21．（本题5分）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
由（1）得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（本题5分）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，是弧的中点，与延长线的交点为，连接对角线，作交于点，垂足为点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的半径为，且，求的长．
（1）证明：∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（）知，，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴．
23．（本题5分）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
（1）证明：∵，
，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中点，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴在中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
又∵四边形是菱形，，
．
24．（本题5分）如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若半圆的半径为，，求的长．
（1）解：证明：如图连接，
∵与相切于点，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）如图1，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
即长为．
25．（本题5分）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴由（1）得，
∴，
∵由（1）得，∴，
∴，
∴；
26．（本题5分）如图，Rt中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
（1）证明：如图，连接．
为的直径，
，
．
为中点，
．
．
，
．
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：∵， ，
∴， ．
设的半径为r，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的半径为3，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴=，即，
∴．
27．（本题5分）如图，是的直径，是位于两侧圆上的点，连接，作，交延长线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求的直径．
（1）证明：如图，连接，
，
，
．
是的直径，
．即．
．
，
．即．
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
．即．
．
．即的直径为．
28．（本题5分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
29．（本题5分）如图，是的直径，点C是上的动点，平分交于点D，交于点M，过点D作交延长线于点N．
(1)求证：；
(2)若时，求线段的长．
（1）证明：∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点C作于点E，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
可设，则，
∵，
∴，
∵，∴，
解得：（舍去）或，∴，∴．
30．（本题5分）如图，四边形为菱形，经过A，C两点，且与相切于点A，与相交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若菱形的边长为8，的半径为4，求的长．
（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵经过A、两点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴
∴，又是的半径，
∴与相切；
（2）解：如图所示，连接，设延长线交于点，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵菱形的边长为8，的半径为4，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴．
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