【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2024 舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定 B． C．1 D．2
3．（2024 深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
5．（2024 南关区校级一模）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024 杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
7．（2024 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④EDAB中，一定正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2024秋 莲池区期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
9．（2024 河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC AH D．AB＝AD
10．（2024 昆明）如图，点A在双曲线y（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 成都）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为　 　．
12．（2024 淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 　 　．
13．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　 　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
14．（2024 北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 　 　．
15．（2024 百色）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数是 　 　°．
三．解答题（共5小题）
16．（2023 无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　．
17．（2024 牧野区校级期末）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
18．（2024 无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
19．（2024 陕西）如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2024 江西）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】作图题．
【答案】C
【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可．
【解答】解：A、由作图可知，AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AB＝BC，AD＝AB，即四边相等的平行四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB＝DC，AD＝BC，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
D、由作图可知∠DAC＝∠CAB，∠DCA＝∠ACB，对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
2．（2024 贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【考点】作图—基本作图；垂线段最短；角平分线的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】C
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2024 深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到BDBC，进而得出结论．
【解答】解：由题可得，AR平分∠BAC，
又∵AB＝AC，
∴AD是三角形ABC的中线，
∴BDBC6＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K．首先利用相似三角形的性质证明CN BM＝12，再想办法求出BM，可得结论．
【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴，
∴BT CN＝CD CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴3×45×JK4×JC，
∴JC＝KJ，
∴BJ，
∵cos∠CBJ，
∴，
∴BT，
∵CN BT＝12，
∴CN．
解法二：证明DN＝DM＝1，利用勾股定理CN．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2024 南关区校级一模）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【答案】C
【分析】利用PA+PC＝AC，PB+PC＝AC得到PA＝PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．
【解答】解：∵点P在AC上，
∴PA+PC＝AC，
而PB+PC＝AC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题．
6．（2024 杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出AE，AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB90°＝45°，
∵EP⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴AP＝PE，
∴设AP＝PE＝x，
故AE＝ABx，
∴AP：AB＝x：x＝1：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．
7．（2024 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④EDAB中，一定正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】几何图形问题．
【答案】B
【分析】根据作图过程得到PB＝PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：根据作图过程可知：PB＝CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC＝90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC＝EA，
∵EB＝EC，
∴②∠A＝∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④EDAB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．
8．（2024秋 莲池区期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断．
【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．
9．（2024 河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC AH D．AB＝AD
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BAD．
C、错误．应该是S△ABC BC AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．
10．（2024 昆明）如图，点A在双曲线y（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】作图—复杂作图；反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；反比例函数及其应用．
【答案】B
【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
【解答】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF，
∴AK＝OK，
∴OA，
由△FOC∽△OBA，可得，
∴，
∴OB，AB，
∴A（，），
∴k．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 成都）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为　4　．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用作法得到∠COE＝∠OAB，则OE∥AB，利用平行四边形的性质判断OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长．
【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OEAB8＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
12．（2024 淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 　　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∠C＝90°，根据AD2＝AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝32+（5﹣x）2，
解得x，
∴CD＝BC﹣DB＝5，
故答案为．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．　．
【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）；
（2）取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）AB．
故答案为：；
（2）如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
14．（2024 北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 　到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义等．　．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．
【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．
故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
15．（2024 百色）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连接AE，则∠AED的度数是 　50　°．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．
【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠C＝∠CAE，
∵AC＝BC，∠B＝70°，
∴∠C＝40°，
∴∠AED＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2023 无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　3π　．
【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OMPM3，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝23
＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
17．（2024 牧野区校级期末）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【考点】作图—基本作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
18．（2024 无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）．
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB，
∴OE，
∴CE＝OC+OE＝5，
∴AC＝BC8，
∴sinB．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．
19．（2024 陕西）如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】作∠BMT＝∠A，射线MT交AC于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20．（2024 江西）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【考点】作图—复杂作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；
（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．
【解答】解：（1）如图所示：点P就是三条高的交点；
（2）如图所示：CT就是AB上的高．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．
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