【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：反比例函数（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024 镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 兰州）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024 黑龙江）关于反比例函数y，下列说法正确的是（　　）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．（2024 济宁）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
5．（2024 凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y经过点D，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2024 深圳模拟）如图，直线y＝mx与双曲线y交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（　　）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
7．（2024 泗水县二模）如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．3
8．（2024 宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
9．（2024 孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y的图象上．若点B在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣2 D．2
10．（2024 海南）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
二．填空题（共5小题）
11．（2024 长兴县模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　 　．
12．（2024 日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB＝2，则k的值为　 　．
13．（2024 南通）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为　 　．
14．（2024 南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为　 　．
15．（2024 黔西南州）如图，点A是反比例函数y图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO，OB＝4，OE＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
17．（2024 泰安）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
18．（2024 常州）如图，反比例函数y的图象与一次函数yx的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
19．（2024 成都）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
20．（2024 苏州）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQBP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或，
∴B（，），
∵点B在反比例函数y（k＞0）的图象上，
∴k；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
2．（2024 兰州）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】A
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．
【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
3．（2024 黑龙江）关于反比例函数y，下列说法正确的是（　　）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【答案】D
【分析】反比例函数y（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
4．（2024 济宁）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】C
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y的图象经过点D，
∴k＝15．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2024 凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y经过点D，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
【解答】解：∵双曲线y经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4＝12．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
6．（2024 深圳模拟）如图，直线y＝mx与双曲线y交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（　　）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】符号意识；模型思想．
【答案】A
【分析】由题意得：S△ABM＝2S△AOM，又S△AOM|k|，则k的值即可求出．
【解答】解：设A（x，y），
∵直线y＝mx与双曲线y交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM|xy|，S△AOM|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM|k|＝1，则k＝±2．
又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
7．（2024 泗水县二模）如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】几何直观；模型思想．
【答案】D
【分析】由直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，于是得到S△CDOS△AOC，由于反比例函数y经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，即可得到结论．
【解答】解：∵直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，
∴S△CDOS△AOC，
∵反比例函数y经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，
∴k＝2S△CDO＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，求得D点的坐标是解题的关键．
8．（2024 宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；模型思想；应用意识．
【答案】D
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
9．（2024 孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y的图象上．若点B在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【答案】A
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：2，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y的图象上，则mn＝1，
∵点B在反比例函数y的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n 2m＝﹣4mn＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
10．（2024 海南）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
【考点】反比例函数的性质．
【答案】C
【分析】由于A（1，2）、B（4，2），C（4，4），所以当反比例函数y经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论．
【解答】解：∵A（1，2），B（4，2），C（4，4），
∴当反比例函数y经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，
∴2≤k≤16．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 长兴县模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值．
【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y（x＞0）经过点B，
∴（1+k） （k﹣1）＝k，
整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k（负值已舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
12．（2024 日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB＝2，则k的值为　6+2　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设E（x，x），则B（2，x+2），根据反比例函数系数的几何意义得出x2＝2（x+2），求得E的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：设E（x，x），
∴B（2，x+2），
∵反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象过点B、E．
∴x2＝2（x+2），
解得x1＝1，x2＝1（舍去），
∴k＝x2＝6+2，
故答案为6+2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上点与反比例函数中系数k的关系．
13．（2024 南通）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为　（8，）　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】方程思想；反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】解法1：先连接AD并延长，交x轴于E，构造等腰△CDE，进而得到点E的坐标，根据待定系数法求得直线AE的解析式，再解方程组即可得到点D的坐标；
解法2：过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，依据△AOG∽△DCH，即可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，进而得出D（13﹣8k，12k），再根据反比例函数y（x＞0）的图象经过点D，即可得到k的值，进而求得D的坐标．
【解答】解法1：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A（5，12），可得AO13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为yx，
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k，k＝1（舍去），
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
14．（2024 南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为　4　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得A的坐标，通过证得△EBC≌△FBA，得出CE＝AF，BE＝BF，设B（m，），则4m﹣1，m﹣3，求得k＝4，得到反比例函数的解析式y，把x＝1代入求得函数值4，则a＝4﹣0＝4．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中
∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，），
∵4m﹣1，m﹣3，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
15．（2024 黔西南州）如图，点A是反比例函数y图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝ 　﹣4　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于点A是反比例函数y上一点，矩形ABOC的面积S＝|k|＝4，则k的值即可求出．
【解答】解：由题意得：S矩形ABOC＝|k|＝4，又双曲线位于第二、四象限，则k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO，OB＝4，OE＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2，
∴BE＝2+4＝6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO．
∴OA＝2，CE＝3．
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，
解得．
故直线AB的解析式为yx+2．
设反比例函数的解析式为y（m≠0），
将点C的坐标代入，得3，
∴m＝﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y．
（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为（6，﹣1），
则△BOD的面积＝4×1÷2＝2，
△BOC的面积＝4×3÷2＝6，
故△OCD的面积为2+6＝8．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．
17．（2024 泰安）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD＝2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM＝2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）把y＝3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°，
∵AD＝2DB，
∴ADAB＝2，
∴D（﹣3，2），
把D坐标代入y得：m＝﹣6，
∴反比例解析式为y，
∵AM＝2MO，
∴MOOA＝1，即M（﹣1，0），
把M与D坐标代入y＝kx+b中得：，
解得：k＝b＝﹣1，
则直线DM解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）把y＝3代入y得：x＝﹣2，
∴N（﹣2，3），即NC＝2，
设P（x，y），
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴（OM+NC） OCOM|y|，即|y|＝9，
解得：y＝±9，
当y＝9时，x＝﹣10，当y＝﹣9时，x＝8，
则P的坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．（2024 常州）如图，反比例函数y的图象与一次函数yx的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
【考点】反比例函数综合题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA＝OB，由此可得S△PAB＝2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH＝NH，根据垂直平分线的性质可得PM＝PN，即△PMN是等腰三角形；
（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT＝ET，根据垂直平分线的性质可得QD＝QE，则有∠QDE＝∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ＝∠PBQ．
【解答】解：（1）k＝4，S△PAB＝15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x＝4代入yx，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y，得k＝4．
解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△AOP＝S△BOP，
∴S△PAB＝2S△AOP．
设直线AP的解析式为y＝mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y＝mx+n，
求得直线AP的解析式为y＝x+3，
则点C的坐标（0，3），OC＝3，
∴S△AOP＝S△AOC+S△POC
OC AROC PS
3×43×1，
∴S△PAB＝2S△AOP＝15；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y，
设P（m，），直线PA的方程为y＝ax+b，直线PB的方程为y＝px+q，
联立，解得直线PA的方程为yx1，
联立，解得直线PB的方程为yx1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH＝m﹣（m﹣4）＝4，NH＝m+4﹣m＝4，
∴MH＝NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）∠PAQ＝∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y＝px+q，则有
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为yx1．
当y＝0时，x1＝0，
解得：x＝c﹣4，
∴D（c﹣4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT＝c﹣（c﹣4）＝4，ET＝c+4﹣c＝4，
∴DT＝ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD＝QE，
∴∠QDE＝∠QED．
∵∠MDA＝∠QDE，
∴∠MDA＝∠QED．
∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM．
∵∠PAQ＝∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ＝∠NBE＝∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ＝∠PBQ．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．
19．（2024 成都）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y＝0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，
得a＝﹣1+4，
解得a＝3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y，
得k＝3，
∴反比例函数的表达式y，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m＝﹣2，n＝5，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，
令y＝0，得x，
∴点P坐标（，0），
S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD2×222．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
20．（2024 苏州）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；
（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴AE＝BE＝2．
在Rt△BCE中，BC，BE＝2，
∴CE，
∵OA＝4，
∴C点的坐标为：（，2），
∵点C在的图象上，
∴k＝5，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC，
∴AD，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m，2）．
∵点C，D都在的图象上，
∴m＝2（m），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（，2），
作CF⊥x轴，垂足为F，
∴OF，CF＝2，
在Rt△OFC中，
OC2＝OF2+CF2，
∴OC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键．
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