11.2.1　正弦定理 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11.2.1　正弦定理
1. 借助平面向量的数量积运算，推导出正弦定理，并能用正弦定理解决一些简单的三角形中边与角的计算问题．
2. 体会“由特殊到一般”的数学思想方法．
活动一　了解正弦定理的探求过程　
思考1
在上节中，我们通过等式＝＋两边同时“平方”，推出了余弦定理．还有其他途径将向量等式＝＋数量化吗？
结论：正弦定理：
思考2
你能用其他方法推导出正弦定理吗？
思考3
在正弦定理中，＝＝，这个比值与△ABC外接圆的直径之间存在怎样的关系？
正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦值之间的关系，描述了三角形中边与角的一种数量关系．
活动二　掌握正弦定理的简单应用　
例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝16，A＝45°，a＝16，求角B，C的大小及边c的长度．
(1) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝16”，结论如何？
(2) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝8”结论又如何？
有三种情况，两解，一解，无解．要考虑大角对大边，大边对大角，及正弦定理有a>b sin A>sin B，由此确定解的情况．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b sin 2A＝a sin B.
(1) 求角A的大小；
(2) 若sin B＝，求c的值．
活动三　掌握正弦定理在实际问题中的应用　
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝75°，C＝60°，A，C之间的距离b为100m，求A，B之间的距离c.
如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
思考4
下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？
(2) (3) 　(4)
思考5
哪些类型的解三角形问题可以直接用正弦定理解决呢？
1. (教材改编)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B＝2，b＝3，则sin A 等于(　　)
A. B. C. D.
2. (2024定西开学考试)如图，△ABC内接于圆O，若AB＝，AC＝3，BC＝7，则⊙O的半径是(　　)
A.
B.
C.
D.
3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，A＝45°，B＝75°，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝ B. b＝ C. C＝60° D. b＝
4. (2024哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cos A＋b sin A＝a＋c，则角B＝________．
5. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，B＝45°，求角A，C的大小及c的值．
11．2.1　正弦定理(1)
【活动方案】
思考1：在△ABC中，不妨设C为最大角，过点A作AD⊥BC于点D，与的夹角为α.
因为＝＋，
所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，
即0＝||||·cos (90°＋B)＋||||·cos α.
当C为锐角或直角时，α＝90°－C；
当C为钝角时，α＝C－90°，
则－c sin B＋b sin C＝0，
即＝，
同理可得＝，
所以＝＝.
结论：＝＝
思考2：在Rt△ABC中，令C为直角，
则sin B＝，
即＝AB＝.
令角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则＝，
同理＝，
故＝＝.
思考3：相等
例1　在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝，
所以B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.
又＝，
故c＝＝＝8(＋)；
②当B＝120°时，C＝180°－120°－45°＝15°.
又＝，
故c＝＝＝8(－).
综上所述，当B＝60°时，C＝75°，c＝8(＋)；当B＝120°时，C＝15°，c＝8(－).
跟踪训练1　(1) 在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝.
因为a>b，所以sin A>sin B，
所以B＝30°，C＝180°－45°－30°＝105°.
又＝，
所以c＝·a＝×16＝8(＋3).
(2) 因为b sin A＝16×＝8>8，
所以不存在满足条件的三角形．
跟踪训练2　(1) 因为b sin 2A＝a sin B，
所以由正弦定理可知2sin B sin A cos A＝sin A sin B.
因为sin A sin B≠0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 因为sin A＝sin ＝，
所以sin B所以cos B＝＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B
＝×＋×＝.
由正弦定理，得c＝＝3××＝.　
例2　在△ABC中，B＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理＝，
得c＝＝100×＝50，
所以A，B之间的距离c为50 m.
跟踪训练　在△ABD中，设∠ABD＝α，
则＝，即＝，
解得sin α＝.
因为AB>AD，所以α<60°，
所以α为锐角，
所以cos α＝，A＝120°－α，
所以sin A＝sin (120°－α)＝.
由＝，即＝，
解得BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理，
得＝，即＝，
解得BC＝×sin 30°＝8.
思考4：(1)(3)
思考5：已知两边一角(非夹角)或已知两角一边．
【检测反馈】
1. A　由正弦定理，得＝，则sin A＝＝.
2. A　在△ABC中，由余弦定理可得cos A＝＝＝，则sin A＝.设圆O的半径是R，由正弦定理可得2R＝＝＝5，所以圆O的半径是.
3. ABC　因为A＝45°，B＝75°，所以C＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，得a＝＝＝，b＝＝＝＝，故A，B，C正确，D错误．故选ABC.
4. 　由正弦定理可得sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin C.又sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)，所以sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin A cos B＋cos A sin B，则sin B sin A＝sin A＋sin A cos B.因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，可得sin B＝1＋cos B，即2sin ＝1.又B∈(0，π)，所以B－＝，解得B＝.
5. 在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin A＝sin B＝×＝.
因为a>b，所以A>B，
所以A＝60°或A＝120°.
①当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.
又＝，
故c＝·b＝×＝；
②当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°.
又＝，
故c＝·b＝×＝.
综上所述，当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.