11．2.2　正弦定理 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11．2.2　正弦定理
1. 熟练掌握正弦定理的变形与运用．
2. 掌握三角形中的面积公式．
3. 能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
活动一 巩固正弦定理
例1　在△ABC中，判断下列各命题是否正确．
(1) ＝；
(2) 若a＋c＝2b，则sin A＋sin C＝2sin B；
(3) 若sin B sin C＝sin2A，则bc＝a2.
在三角形中，正弦定理可以将边之间的关系全部转换成角之间的关系，反之可以将角之间的正弦关系转换成边之间的关系．
已知命题：在△ABC中，若cos B＝，sin A＝，则A为钝角．判断该命题的真假．
活动二　利用正弦定理判断三角形的形状　
例2　在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
对于三角形的形状，可以用边之间的关系，也可以用角之间的关系，所以要把条件中的边角关系，通过正弦定理，转换为纯的边或角的关系去判断．
根据下列条件，判断△ABC的形状．
(1) sin2A＋sin2B＝sin2C；
(2)a cos A＝b cos B.
活动三　利用正弦定理证明三角形中的有关性质　
例3　如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明＝.
三角形中有些性质，可以通过正弦定理去证明．
在△ABC中，证明：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.　
活动四　利用正弦定理解决实际问题　
例4　如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC.(精确到1m)
在实际生活中，会遇到一些长度和角度的大小的测量问题，可以将这些量放在三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理去解决．
一艘船以42n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°.求灯塔S与A之间的距离．
1. (教材改编)在△ABC中，若AB＝3，BC＝3，B＝45°，则△ABC的面积为(　　)
A. 2 B. 4 C. D.
2. (2024南通期中)一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30 min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为(　　)
A. 8 n mile B. 16 n mile C. 16 n mile D. 16 n mile
3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
4. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
5. (2024南京月考)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C所对的边，且＝.
(1) 求的值；
(2) 若cos C＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
11．2.2　正弦定理(2)
【活动方案】
例1　因为＝＝＝2R，
所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(1) 因为＝2R＝＝，　
所以该命题正确．
(2) 因为2R sin A＋2R sin C＝2×2R sin B，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
所以该命题正确．
(3) 因为·＝，
所以bc＝a2，
所以该命题正确．
跟踪训练　因为cos B＝，
所以sin B＝，且B为锐角，
所以sin B>sin A，即B>A.所以A为锐角．
故原命题为假命题．
例2　由＝及＝，
得＝，所以tan A＝tan B.
因为A，B∈(0，π)，所以A＝B.
同理可得A＝C，故△ABC是正三角形．
跟踪训练　(1) 由正弦定理，得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是以C为直角的直角三角形．
(2) 由余弦定理，得
a·＝b·，
化简，得a2c2－b2c2＝a4－b4，
即c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
所以a2＝b2或c2＝a2＋b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
例3　在△ABD中，＝，
在△ADC中，＝.
又sin ∠ADB＝sin ∠ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以＝.
跟踪训练　设BC边上的高为ha，AC边上的高为hb，AB边上的高为hc，
则S△ABC＝aha＝bhb＝chc.
因为ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B，
所以S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
例4　过点D作DE∥AC交BC于点E.
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
则∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝＝1 000(m).　
在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°＝1 000sin 35°≈811(m)，
故山的高度约为811m.
跟踪训练　在△SAB中，A＝30°，B＝180°－60°＝120°，S＝60°－30°＝30°，
AB＝42×＝21(n mile).
根据正弦定理，得＝，
即SA＝·AB＝×21＝21(n mile)，
故灯塔S与A之间的距离为21 n mile.
【检测反馈】
1. D　由题意，得S△ABC＝AB·BC·sin B＝×3×3×＝.　
2. B　由题意，得AB＝32×＝16(n mile)，∠BAS＝45°，∠ASB＝30°.由正弦定理，得＝，解得BS＝16 n mile.
3. ACD　因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x>0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；由上可知c的值最大，所以三角形中角C最大．又cos C＝＝＝>0，所以角C为锐角，故B错误；由上可知a的值最小，所以三角形中角A最小．又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C．由三角形中角C最大，且角C为锐角，可得2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，故C正确；由正弦定理，得2R＝.又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正确．故选ACD.
4．2　由题意，得sin C＝.因为 S△ABC＝4，所以ab sin C＝4，解得b＝2.
5. (1) 在△ABC中，因为＝，所以由正弦定理可得＝，
整理得sin B cos A＋cos B sin A＝2sin A，即sin (B＋A)＝2sin A.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin (B＋A)＝sin (π－C)＝sin C＝2sin A，
由正弦定理可得c＝2a，即＝.
(2) 由cos C＝，得sin C＝，
则S△ABC＝ab sin C＝，可得ab＝8.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即(2a)2＝a2＋2－4＝0，
整理得3a4＋4a2－64＝0，
解得a＝2(负值舍去)，
则b＝c＝4，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝10.