11.2.2 正弦定理 2024-2025学年高一数学苏教版(2019)必修第二册

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名称 11.2.2 正弦定理 2024-2025学年高一数学苏教版(2019)必修第二册
格式 docx
文件大小 131.4KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-11 11:47:58

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文档简介

11.2.2 正弦定理
1. 熟练掌握正弦定理的变形与运用.
2. 掌握三角形中的面积公式.
3. 能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
活动一 巩固正弦定理
例1 在△ABC中,判断下列各命题是否正确.
(1) =;
(2) 若a+c=2b,则sin A+sin C=2sin B;
(3) 若sin B sin C=sin2A,则bc=a2.
在三角形中,正弦定理可以将边之间的关系全部转换成角之间的关系,反之可以将角之间的正弦关系转换成边之间的关系.
已知命题:在△ABC中,若cos B=,sin A=,则A为钝角.判断该命题的真假.
活动二 利用正弦定理判断三角形的形状 
例2 在△ABC中,已知==,试判断△ABC的形状.
对于三角形的形状,可以用边之间的关系,也可以用角之间的关系,所以要把条件中的边角关系,通过正弦定理,转换为纯的边或角的关系去判断.
根据下列条件,判断△ABC的形状.
(1) sin2A+sin2B=sin2C;
(2)a cos A=b cos B.
活动三 利用正弦定理证明三角形中的有关性质 
例3 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,用正弦定理证明=.
三角形中有些性质,可以通过正弦定理去证明.
在△ABC中,证明:S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B. 
活动四 利用正弦定理解决实际问题 
例4 如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求山的高度BC.(精确到1m)
在实际生活中,会遇到一些长度和角度的大小的测量问题,可以将这些量放在三角形中,然后利用正弦定理或余弦定理去解决.
一艘船以42n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°,30min后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东60°.求灯塔S与A之间的距离.
1. (教材改编)在△ABC中,若AB=3,BC=3,B=45°,则△ABC的面积为(  )
A. 2 B. 4 C. D.
2. (2024南通期中)一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上,30 min后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上,则灯塔S与B之间的距离为(  )
A. 8 n mile B. 16 n mile C. 16 n mile D. 16 n mile
3. (多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论中正确的是(  )
A. sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6,则△ABC外接圆的半径为
4. (教材改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=________.
5. (2024南京月考)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C所对的边,且=.
(1) 求的值;
(2) 若cos C=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
11.2.2 正弦定理(2)
【活动方案】
例1 因为===2R,
所以a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,
sin A=,sin B=,sin C=.
(1) 因为=2R==, 
所以该命题正确.
(2) 因为2R sin A+2R sin C=2×2R sin B,
所以sin A+sin C=2sin B,
所以该命题正确.
(3) 因为·=,
所以bc=a2,
所以该命题正确.
跟踪训练 因为cos B=,
所以sin B=,且B为锐角,
所以sin B>sin A,即B>A.所以A为锐角.
故原命题为假命题.
例2 由=及=,
得=,所以tan A=tan B.
因为A,B∈(0,π),所以A=B.
同理可得A=C,故△ABC是正三角形.
跟踪训练 (1) 由正弦定理,得a2+b2=c2,
所以△ABC是以C为直角的直角三角形.
(2) 由余弦定理,得
a·=b·,
化简,得a2c2-b2c2=a4-b4,
即c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),
所以a2=b2或c2=a2+b2,
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
例3 在△ABD中,=,
在△ADC中,=.
又sin ∠ADB=sin ∠ADC,∠BAD=∠CAD,
所以=.
跟踪训练 设BC边上的高为ha,AC边上的高为hb,AB边上的高为hc,
则S△ABC=aha=bhb=chc.
因为ha=b sin C,hb=c sin A,hc=a sin B,
所以S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B.
例4 过点D作DE∥AC交BC于点E.
因为∠DAC=20°,
所以∠ADE=160°,
则∠ADB=360°-160°-65°=135°.
又∠BAD=35°-20°=15°,
所以∠ABD=30°.
在△ABD中,由正弦定理,得AB===1 000(m). 
在Rt△ABC中,BC=AB sin 35°=1 000sin 35°≈811(m),
故山的高度约为811m.
跟踪训练 在△SAB中,A=30°,B=180°-60°=120°,S=60°-30°=30°,
AB=42×=21(n mile).
根据正弦定理,得=,
即SA=·AB=×21=21(n mile),
故灯塔S与A之间的距离为21 n mile.
【检测反馈】
1. D 由题意,得S△ABC=AB·BC·sin B=×3×3×=. 
2. B 由题意,得AB=32×=16(n mile),∠BAS=45°,∠ASB=30°.由正弦定理,得=,解得BS=16 n mile.
3. ACD 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由上可知c的值最大,所以三角形中角C最大.又cos C===>0,所以角C为锐角,故B错误;由上可知a的值最小,所以三角形中角A最小.又cos A===,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cos C.由三角形中角C最大,且角C为锐角,可得2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,故C正确;由正弦定理,得2R=.又sin C==,所以2R=,解得R=,故D正确.故选ACD.
4.2 由题意,得sin C=.因为 S△ABC=4,所以ab sin C=4,解得b=2.
5. (1) 在△ABC中,因为=,所以由正弦定理可得=,
整理得sin B cos A+cos B sin A=2sin A,即sin (B+A)=2sin A.
因为A+B+C=π,
所以sin (B+A)=sin (π-C)=sin C=2sin A,
由正弦定理可得c=2a,即=.
(2) 由cos C=,得sin C=,
则S△ABC=ab sin C=,可得ab=8.
由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C,即(2a)2=a2+2-4=0,
整理得3a4+4a2-64=0,
解得a=2(负值舍去),
则b=c=4,
所以△ABC的周长为a+b+c=10.