11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用 同步学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

11.3.1　余弦定理、正弦定理的应用
熟练应用正、余弦定理解三角形．
活动一 巩固正弦定理和余弦定理
1. 复习正弦定理和余弦定理：
2. 常见结论：在△ABC中，
①A＋B＋C＝π；
②sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，cos ＝sin ，sin ＝cos ；
③S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
活动二　掌握解三角形中的边角问题及面积问题　
例1　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
正、余弦定理体现了三角形的边角关系，根据已知条件，选择适当的定理及定理的变形形式去解决．
(1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝5，c＝5，B＝30°，求角C，A的大小及a的值；
(2) 在四边形ABCD中，A＝120°，B＝D＝90°，BC＝5，CD＝8，求四边形ABCD的面积．
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a＝b＋c，sin2A＝sinB sin C，试判断三角形的形状．
利用正、余弦定理将条件中的边角关系转换为边的关系或角的关系，从而判断三角形的形状．
(1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2b cos C，试判断三角形的形状．
(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，试判断三角形的形状．
活动三 掌握三角形中的综合问题
例3　在△ABC中，已知cos ∠ABC＝，AB＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值．
灵活使用正、余弦定理去解决三角形中的边、角及面积问题．
已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，外接圆半径为.求：
(1) 角C的大小；
(2) △ABC面积的最大值．
1. (教材改编)在△ABC中，已知CA＝3，CB＝5，C＝120°，则sin B的值为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023镇江扬中中学期中)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2b cos A＝c，则△ABC的形状是(　　)
A. 等腰直角三角形 B. 等腰钝角三角形 C. 等边三角形 D. 以上结论均不正确
3. (多选)(2024沈阳期中)已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，则下列结论中正确的是(　　)
A. 四边形ABCD为梯形
B. 四边形ABCD的面积为
C. 圆O的直径为7
D. △ABD的三边长度满足AD＋BD＝2AB
4. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝4，则△ABC的面积为________．
5. (2024武汉期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且6S＝a(b＋c).
(1) 若sin B＝，求cos A的值；
(2) 若a＝3，A＝60°，求S的值．
11．3.1　余弦定理、正弦定理的应用(1)
【活动方案】
1. 正弦定理：＝＝；
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
例1　在△ABC中，根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即49＝64＋c2－16c·，
整理，得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
①当c＝3时，S△ABC＝ac sin B＝×8×3×＝6；
②当c＝5时，S△ABC＝ac sin B＝×8×5×＝10.
跟踪训练　(1) 在△ABC中，根据正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝，
所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，a＝10；
当C＝120°时，A＝B＝30°，a＝b＝5.
(2) 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，则AC为直径，∠BCD＝60°.
在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝25＋64－2×5×8×＝49，
所以BD＝7.
在△BCD中，＝2R＝AC，
所以AC＝，
所以AD＝＝，AB＝＝，
则S△ACD＝AD·DC＝××8＝，S△ABC＝AB·BC＝××5＝，
所以S四边形ABCD＝.
例2　在△ABC中，由sin2A＝sinB sin C，得a2＝bc.
又2a＝b＋c，
两边平方，得b2＋c2＋2bc＝4a2＝4bc，
即(b－c)2＝0，所以b＝c.
又2a＝b＋c＝2b，所以a＝b，
所以a＝b＝c，
所以△ABC为正三角形．
跟踪训练　(1) 在△ABC中，由a＝2b cos C，
得sin A＝2sin B cos C，
即sin (B＋C)＝2sin B cos C，
化简，得sin (B－C)＝0，
所以B＝C，
所以△ABC为等腰三角形．
(2) 在△ABC中，由(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，
得(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos A sin B)，
整理，得a2cos A sin B＝b2sin A cos B，
即＝＝，
所以sinA cos A＝sin B cos B，
所以sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
例3　由＝(＋)，得||2＝(||2＋||2＋2·)，
即5＝(＋||2＋2××||×)，
整理，得3||2＋8||－28＝0，
解得||＝2，
所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝＋4－2××2×＝，
所以AC＝，
故＝，所以sin A＝.
跟踪训练　(1) 由题意，得2＝(a－b)·，
所以2＝·(a－b)，
化简，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2) 因为＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则S＝ab sin C＝ab×
＝×2sin A×2sin B
＝2sin A sin B
＝2sin A sin
＝2sin A
＝3sin A cos A＋sin2A
＝sin2A＋
＝＋
＝sin ＋，
所以当2A－＝，
即A＝时，△ABC的面积有最大值，最大值为.
【检测反馈】
1. A　在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＝＝7，则再根据正弦定理，得sin B＝＝＝.
2. C　因为2b cos A＝c>0，所以A为锐角．由余弦定理，得2b×＝c，解得b2＝a2，即a＝b，则B为锐角．由＝以及余弦定理，得＝，化简得＝，即＝，由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
3. ABD　对于A，因为四边形ABCD内接于圆O，∠BCD＝60°，所以∠BAD＝120°.如图，连接AC，BD，由AB＝CD，得∠BDA＝∠CAD.又∠ABD＝∠ACD，所以△BAD≌△CDA(AAS)，所以∠BAD＝∠CDA＝120°，则∠BCD＋∠CDA＝180°，所以BC∥DA，显然AB不平行CD，则四边形ABCD为梯形，故A正确；对于B，在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos 120°＝52＋32－2×5×3×＝49；在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD cos ∠BCD，所以49＝CB2＋52－2×5×CB cos 60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)，则S△BAD＝AB·AD sin 120°＝×5×3×＝，S△BCD＝CB·CD sin 60°＝×5×8×＝，所以SABCD＝S△BCD＋S△BAD＝＋＝，故B正确；对于C，由B可知BD2＝49，即BD＝7，则圆的直径不可能是7，故C错误；对于D，在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，故D正确．故选ABD.
4. 或3　因为A＝60°，a＝，b＝4，所以由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即13＝16＋c2－4c, 整理，得c2－4c＋3＝0，解得c＝3或c＝1.当c＝3时，S△ABC＝bc sin A＝3；当c＝1时，S△ABC＝bc sin A＝.综上，△ABC的面积为或3.
5. (1) 因为6S＝a(b＋c)，
所以6×ac sin B＝a(b＋c).
又sin B＝，所以3ac×＝a(b＋c)，
整理，得ac＝ab，
所以b＝c，即C＝B，
所以cos A＝－cos (B＋C)＝－cos 2B＝－1＋2sin2B＝－1＋2×＝－.
(2)因为6S＝a(b＋c)，
所以6×bc sin A＝a(b＋c).
又a＝3，A＝60°，
则3bc×＝3(b＋c)，即b＋c＝bc.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
即9＝(bc)2－2bc－2bc·，
整理，得(bc)2－4bc－12＝0，
解得bc＝6或bc＝－2(舍去)，
所以S＝bc sin A＝×6×＝.