初中数学苏科版九年级下册 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式复习题 （含解析）

5.3用待定系数法确定二次函数表达式复习题
一、单选题
1．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（ ）

A．30 B．36 C．48 D．56
3．下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中．
… 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点( )
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图，且，则b等于（ ）

A． B．1 C． D．
6．若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 3 …
y … 3 6 6 …
当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．是的二次函数，其对应值如下表：
|… 0 1 2 3 4 …
… 4 0 1 4 9 …
下列叙述不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的对称轴是直线
B．
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴有两个公共点
9．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
10．在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表
x ﹣1 1 4
y 3 ﹣3 3
当x＝2时，函数值为 ．
12．请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线： ．
13．已知函数满足下列两个条件：①时，y随x的增大而增大：②它的图像经过点．请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ．
14．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 ．
15．已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
16．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为 ．
17．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为 ．

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为 ．

三、解答题
19．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线．求抛物线的解析式．

20．如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为D/．若，求抛物线的表达式．
21．如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
22．已知二次函数图象的对称轴是．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________；
(3)若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值．
23．如图，已知二次函数图像的顶点为原点，直线与抛物线分别交于两点，且．

(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于点，求的面积．
24．如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．
25．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值；
(3)如果点和点在函数的图象上，且，，求的值．
参考答案
一、单选题
1．B
【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同，
这个二次函数的解析式为．
故选：B．
2．B
【分析】设抛物线的表达式为，把代入求出的值，再把代入即可求出的值．
【详解】解：设抛物线的表达式为，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入，
．
故选：B．
3．C
【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得．
【详解】解：由可得抛物线对称轴，
又由以及对称轴可得，
，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，，
，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：C
4．C
【分析】待定系数法求得解析式，然后当时求得函数值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴
解得，
所以抛物线解析式为
当时，，
当时，
∴该图象经过点，
故选：C．
5．D
【分析】根据，得到点，，然后代入解方程组即可解题．
【详解】解：∵，
∴点，，
代入可得，解得，
故选D．
6．A
【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可；
【详解】解：设二次函数的解析式为，
将点代入得，
解得，
所以该二次函数的解析式为．
故选：A；
7．B
【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．
【详解】解：将点，，代入得
，解得，
，
该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7，
和时的函数值相等，
则时，的取值范围是：，
故选：B．
8．D
【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：设二次函数为，
则，
解得：，
二次函数的解析式为：，
对称轴为：，故选项A正确，
当时，，
，故选项B正确，
，
图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，故选项C正确，
，
图象与轴有一个公共点，故选项D错误，
故选：D．
9．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
10．B
【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题．
【详解】设，则高为，设面积为S
，
的面积最大，
，
即，
过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，
，
，
，
的周长最小值为：．
故选B．
二、填空题
11．-3
【分析】根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式，再将x=2代入求y的值即可；
【详解】解：由题意，把（-1，3）、（1，-3）、（4，3）、代入y＝a2+bx+c得，
，
解得：，
∴此二次函数关系式为：，
当x=2时，，
故答案为：-3．
12．
【分析】已知对称轴，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．
【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为，
根据顶点式，得，
设，，
则函数的表达式为（本题答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（答案不唯一）
【分析】根据常见的几种函数：一次函数，反比例函数和二次函数的图像和性质写出一个符合上述条件的函数的表达式即可．
【详解】解：若选择二次函数，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴二次函数开口向上，即，
∵它的图像经过，
∴二次函数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
14．
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过点，
，
解得：，
二次函数的解析式为：，即，
故答案为：．
15．3
【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
故答案为：3．
16．或
【分析】分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，观察图象可得．
【详解】解：把代入，得；
把代入，得，解得；
把代入，得，解得；
把代入，得，解得，
分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，如图，
如图，若抛物线与四边形的边有没有交点，
则a的取值范围为或，
故答案为或．
17．
【分析】如图，连接交抛物线对称轴于，连接，由对称的性质可知，，则的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，将代入得，，解得，，则，当，，即，由勾股定理得，，，进而可求周长最小值．
【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于，连接，

由对称的性质可知，，
∴的周长为，
∴当三点共线时，的周长最小，
将代入得，，解得，，
∴，
当，，即，
由勾股定理得，，，
∴的周长的最小值为，
故答案为：．
18．
【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为，
∴顶点坐标为，点坐标为，
∵点为线段的中点，
∴点坐标为，
设直线解析式为（为常数，且），
将点代入得，
∴，
将点代入得，
解得．
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴设抛物线的解析式是为，
∵抛物线交轴于点，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵原抛物线解析式为，
∴，原抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，
∴，，抛物线的解析式为，
∴；
在中，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去）；
综上所述，或，
∴抛物线的表达式为或．
21．（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：二次函数图象的对称轴是，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
原抛物线的顶点为，
将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线，
新抛物线的顶点为，开口方向与原抛物线开口方向相反，
，
新抛物线的解析式为：；
（3）解：，
对称轴为直线，
当时，即时，二次函数在内，随的增大而增大，
当时，最大为1，
，
解得：或（不符合题意，舍去）；
当时，二次函数在内，随的增大而减小，
当时，最大为1，
，
解得：或（不符合题意，舍去）；
当时，当时，最大，此时最大值为2，不符合题意；
综上所述，的值为或．
23．（1）解：∵二次函数图像的顶点为原点，
∴抛物线的对称轴为直线y轴，即直线，
设二次函数解析式为
∵，直线与抛物线分别交于两点
∴点坐标为
将代入
把代入，得，
解得：，
则二次函数的解析式．
（2）解：当时，，则，
∵点与点关于轴对称，则点坐标为
∴，
．
24．（1）解：∵对称轴是直线，，
∴，
根据题意得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：顶点坐标，，理由如下：
当时，，
∴顶点坐标，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
把和代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：．
∴．
25．（1）∵，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线经过，
∴，
解得，
抛物线解析式为．
（2）∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点M，点M满足条件，

∴，解得，，
∴点，
设的解析式为，把点B、点C坐标代入得：，
解得，
∴ 的解析式为，
当时， ,
点，
∴，
在中，，
∴点M到点A，点C距离之和的最小值为 ，
（3）∵点和点在函数的图象上，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
解得 ， ，
∴．